《数学分析》教学大纲
教学目的
1.通过本课程的教学，使学生获得极限论、一元微积分、无穷级数与多元微积分等方面的系统知识，正确理解和掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法，提高学生的抽象思维、逻辑推理及分析运算能力；
2.为学生进一步学习复变函数论、常微分方程、概率论理数理统计、实变函数论等后继课程提供必要的数学概念、理论、方法以及运算技能；
3.使学生掌握本课程与此同时学数学内容的内在联系，加深对中学数学内容、方法的理解，为用高观点指导中学数学教学打下必要的基础。
4.本课程的教学应使学生理解的掌握常量与变量、直与曲、有限与无限、特殊与一般，具体与抽象等辨证关系，培养的辩证唯物主义观点；应重视数学思想方法的数学，培养学生学数学，用数学的能力，提高学生分析问题解决问题的能力。
教学内容
数学分析是现代数学的基础学科，是学习和掌握其它数学学科及科学技术的基础和工具，是数学专业的一门重要基础课程。在实数范围内用极限方法研究函数性质，本课程的基本内容包括：函数、极限与连续，一元函数微积分学，无穷级数与多元函数微积分学。
教学基本内容及要求
（一）
第一章： 实数集与函数
1，教学基本要求 [目的要求]
（1）理解实数系，实数的性质与不等式； （2）准确理解上确界与下确界、确界存在定理；
(3) 熟练掌握一元实函数、初等函数、基本初等函数、函数的表示； (4) 掌握函数的有界、单调、周期性。 [重点难点] 重点： 基本初等函数；难点：确界
2教学具体内容
实数系，实数的性质与不等式。上确界与下确界、确界存在定理。一元实函数、初等函数、基本初等函数、函数的表示。函数的有界、单调、周期性。
第二章： 数列极限
1，教学基本要求
[目的要求]
1 （1）领会实数的性质，能用数列极限的定义进行分析、证明； （2）掌握数列极限定义、性质、四则运算，极限存在的条件。 [重点难点] 重点：极限 ；难点：极限定义，极限存在的条件
2教学具体内容
数列、数列极限的定义、无穷小量，数列极限和性质，数列极限的四则运算；数列极限和性质，数列极限的四则运算；单调有界收敛定量Cauchy收敛定理。
第三章： 函数极限 1，教学基本要求
[目的要求] （1）准确理解函数极限的定义，性质、四则运算、与数列极限的关系； （2）熟练掌握单侧极限Cauchy收敛原理；
（3）熟练掌握两个重要极限，无穷小量与无穷大量的阶。 [重点难点] 重点：两个重要极限 ；难点：函数极限的定义
2教学具体内容
函数极限定义、单侧极限、函数极限定义的推广。函数极限的性质――唯一性、局部保序性、局部有界性、夹逼性、函数极限的四则运算；函数极限与数列极限的关系――Heine定理、Cauchy收敛原理；两个重要极限 ；无穷小量的比较、高阶、同阶、等价无穷小量、无穷大量和比较、高阶、同阶、等价无穷大理、等价量、等价量的代换。
第四章：连续函数
1，教学基本要求
[目的要求] （1）熟练掌握连续函数的定义、连续函数的四则运算、不连续点的类型、反函数的连续性、复合函数 的连续性；
（2）掌握闭区间上连续函数的性质、理解一致连续的概念。 [重点难点] 重点：连续函数的定义 ；难点：一致连续的概念
2教学具体内容
连续函数的定义、单侧连续、不连续点的类型；连续函数的四则运算，反函数连续性定理、复合函数的连续性，闭区间连续函数的有界性定义、最值性定理、零点存在定理、中间值定理、一致连续的概念、闭区间上连续函数的一致连续性；初等函数连续性质
第五章：导数与 微分
1，教学基本要求
[目的要求] （1） 熟练掌握微分的定义、导数的定义、导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数的求导法则及其应用；
（2）理解一阶微分形式的不变性、高阶导数和高阶微分及运算法则； （3）会应用Leibniz公式、理解和掌握复合函数求高阶导数的链式法则。 [重点难点]
重点：导数的定义；难点：复合函数的求导法则
2教学具体内容
导数的定义和微分的关系导数产生的背景、几何意义、单侧导数；用定义求导数、求导的四则运算、反函数求导法则、基本求导公式，复合函数求导法则——链式法则、一阶微分
2 形式的不变性；微分的定义、导数的定义和微分的关系；高阶导数的定义、运算、高阶微分的概念；参数形式的函数求导，参数方程所确定函数的高阶导数。
第六章：微分中值定理及其应用
1，教学基本要求
[目的要求] （1） 使学生掌握微分中值定理、Taylor公式及其应用（函数的极值与最值；函数的凸性拐点）
（2）熟练掌握LHospital法则和应用；
（3）数学建模及函数方程的近似求解，会进行函数作图。 [重点难点]
重点：中值定理；难点：Taylor公式 \'2教学具体内容
函数单调性；极值、Fermat引理、Rolle定理、Lagrange中值定理、函数单调性凸函数、二阶导数与凸函数的关系、Cauchy中值定理；LHospital法则 ；Taylor公式及其Lagrange型余项、Peano 型余项；求极限、最值问题，求曲线的渐进线方程； 函数的凸性拐点；函数作图。
\'第七章：实数的完备性定理
1，教学基本要求
[目的要求]
使学生掌握实数的完备性定理，确界原理，区间套定理等 [重点难点]
重点：区间套定理 ；难点：完备性定理
2教学具体内容
实数的基本定理；闭区间上的连续函数性质的证明 。
第八章：不定积分
1，教学基本要求
[目的要求] （1）理解不定积分的概念、性质、运算和换元积分法、分部积分法； （2）熟练掌握不定积分的基本公式，分部积分法和换元积分法；
（3）掌握有理函数积分的计算、区分无理函数的积分和可化为有理函数积分的类型 [重点难点]
重点：分部积分法和换元积分法；难点：有理函数积分的计算
2教学具体内容
原函数、不定积分的定义、不定积分线性性质、不定积分的基本公式，基本积分表；换元积分法——第一类换元积分法、第二类换元积分法，分部积分法；有理函数、有理函数的积分、可化为有理函数不定积分的情况。
3
教学基本内容及要求
（二）
第九章：定积分
1，教学基本要求
[目的要求] （1）重点掌握定积分的概念；
（2）了解可积的充要条件，可积函数类；
（3）掌握定积分的性质，微积分基本定理，定积分计算方法（换元法、分部积分法及奇偶函数的定积分等。
[重点难点]
重点：微积分基本定理；难点：定积分的概念
2教学具体内容
定积分的引入和概念； 积分上、下限函数，微积分基本定理；Riemann可积的充要条件和一些可积函数类；定积分的基本性质（定积分的基本性质：线性性，保序性，区间可加性和积分第一中值定理等）；定积分的计算（定积分的换元积分法和分部积分法，奇偶函数的定积分）。
第十章 ：
定积分的应用
1，教学基本要求
[目的要求] （1）重点掌握求面积、弧长、体积和侧面积： （2）了解微元法及其应用。
[重点难点]
重点：求面积 ；难点：微元法
2教学具体内容
求平面图形的面积；求几何体的体积 ；求曲线的弧长 ；求旋转体的侧面积
；定积分在理上的应用 。
第十一章 ：
反常积分
1，教学基本要求
[目的要求] （1） 掌握反常积分敛散性的定义，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子， （2）理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，
（3）理解一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。
[重点难点]
重点：反常积分敛散性的判定；难点：Abel、Dirichlet判别法
2教学具体内容
反常积分的概念和计算 ；绝对收敛和条件收敛的概念，反常积分的Cauchy收敛原理，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel,Dirichlet判别法。
第十二章：
数项级数
1，教学基本要求
[目的要求] （1） 准确理解敛散性概念、级数收敛的必要条件和其它性质， （2）熟练地求一些级数的和；
4 （3）比较熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D`Alembert判别法及其极限形式，Raabe判别法和积分判别法判别正项级数的敛散性；
（4）准确理解Leibniz级数，并比较熟练利用Leibniz级数，Abel、Dirichlet判别法判别一般级数的敛散性。
[重点难点]
重点：级数敛散性的判定；难点：Cauchy、D`Alembert判别法
2教学具体内容
数项级数及其敛散性概念，级数收敛的必要条件和其它性质，一些简单的级数求和。正项级数的概念，正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D`Alembert及其极限形式，Raabe判别法和积分判别法；级数的Cauchy收敛原理，Leibniz级数及其判别法，Abel变换、条件收敛和绝对收敛概念，Abel、Dirichlet判别法，条件收敛和绝对收敛的级数具有的性质。
第十三章：
函数项级数
1，教学基本要求
[目的要求] （1）重点理解点态收敛、一致收敛和内闭一致收敛，函数列一致收敛的判别法； （2）掌握并学会应用函数项级数的Cauchy收敛原理，Weierstra判别法，Abel、Dirichlet判别法，
（3）掌握一致收敛级数的连续性、可导性和可积性
[重点难点]
重点：一致收敛级数的连续性、可导性和可积性 ；难点：一致收敛
2教学具体内容
点态收敛，收敛域，部分和函数，点态收敛函数项级数的基本问题，一致收敛、内闭一致收敛，函数列一致收敛的判别法。函数项级数的Cauchy收敛原理，Weierstra判别法，Abel、Dirichlet判别法，一致收敛级数的连续性、可导性和可积性。
第十四章：
幂级数
1，教学基本要求
[目的要求] （1） 掌握幂级数的收敛半径和收敛域及其半径求法， （2）掌握函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开 [重点难点]
重点：幂级数展开；难点：幂级数展开的条件
2教学具体内容
幂级数概念，收敛半径和收敛域，利用Cauchy-Hadamard定理，D`Alembert判别法求收敛半径，幂级数的连续、可导和可积性，利用幂级数的连续、可导和可积性求幂级数的和。函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开。
第十五章：
Fourier级数
1，教学基本要求
[目的要求]
熟练掌握函数的Fourier级数的概念和Fourier级数各种展开。
[重点难点]
重点：Fourier级数各种展开 ；难点：Fourier级数各种展开
2教学具体内容
Fourier级数的来历及与Taylor展开的比较；周期为2π的函数的Fourier展开；将函数展开为正弦级数与余弦级数；任意周期的函数的Fourier展开。将函数展开为正弦级数与余弦级数；任意周期的函数的Fourier展开。收敛定理的证明（说明思路，不证明）
第十六章：
多元函数的极限和连续
1，教学基本要求
5 [目的要求] （1）理解有界集，内点，边界点，孤立点，聚点，开集和闭集及其关系，闭包， （2）理解闭矩形套定理， Bolzano-Weierstra定理，Cauchy收敛定理， Heine-Borel定理；（3）掌握多元函数的定义，多元函数的重极限和二次极限及其关系，多元函数的连续，、连续等性质，连续函数的有界性、最值定理、一致连续性定理、中间值定理，
（4）掌握连通集和区域等概念。
[重点难点]
重点：多元函数的重极限和二次极限 ；难点多元函数的重极限和二次极限：
2教学具体内容
Rn的极限，有界集，内点，边界点，孤立点，聚点，开集和闭集及其关系，闭矩形套定理， Bolzano-Weierstra定理，Cauchy收敛定理， Heine-Borel定理等。多元函数的定义，多元函数的重极限和二次极限及其关系。多元函数的连续，连续函数的性质：有界性、最值定理、一致连续性定理、中间值定理等，连通集和区域。
第十七章：
多元函数的微分学
1，教学基本要求
[目的要求] （1）重点掌握偏导数，方向导数，全微分，连续、可偏导、可微之间的关系，梯度，高阶偏导数和高阶全微分，
（2）了解混合偏导数的相等，重点掌握多元复合函数的链式法及其应用， （3）了解一阶全微分的形式不变性。
[重点难点]
重点：偏导数 ；难点：多元复合函数的链式法
2教学具体内容
偏增量和全增量，偏导数，全微分，连续，可偏导，可微之间的关系；多元复合函数的链式法及其应用，一阶全微分的形式不变性。方向导数与梯度 ；高阶偏导数和高阶全微分，混合偏导数的相等，Taylor公式及Lagrange余项的计算；Taylor公式的简单应用，条件极值的几个基本结论；最小二乘法；函数的无条件极值与最值的计算；无条件极值在几何及不等式中的应用。
教学基本内容及要求
（三） 第十八章： 隐函数定理及应用
1，教学基本要求
[目的要求] （1）理解隐函数，隐函数组，反函数组的概念及相关定理。
（2）熟练计算隐函数的导数；偏导数和高阶偏导数，计算隐函数组的导数；偏导数。 （3）会求曲线的切线与法平面的方程；曲面在给定点处的切平面与法线方程。 （4）掌握无条件极值与条件极值的求法。
[重点难点]
重点：隐函数的导数 ；难点：条件极值
2教学具体内容
一元及多元隐函数存在定理；由方程或方程组所确定的隐函数的偏导数的计算；通过变量变换进行方程的化简和变换。隐函数组 ；空间曲线的切线与法平面的概念及对应的切线与法平面方程的计算；曲面的切平面与法线的概念；会计算曲面在给定点处的切平面与法线方程；偏导数与在几何中的其它应用； 条件极值 。
第十九章：
含参变量积分
6 1，教学基本要求
[目的要求]
（1）理解含参变量的常义积分的定义及分析性质；
（2）掌握含参变量的反常积分的一致收敛的判别法及一致收敛积分的分析性质； （3）掌握Beta函数和Gamma函数的性质、递推公式及二者之间的关系。 [重点难点]
重点：含参变量积分的定义；难点：一致收敛积分
2教学具体内容
含参变量正常积分 ；含参变量的反常积分 ；掌握Beta函数和Gamma函数的定义、性质、递推公式及二者之间的关系。
第二十章：
曲线积分
1，教学基本要求
[目的要求]
理解第
一、二类曲线积分的概念；掌握计算曲线积分的方法。 [重点难点]
重点：曲线积分的计算 ；难点：曲线积分的概念
2教学具体内容
第一类曲线积分的概念；第一类曲线积分的性质；第一类曲线积分的计算公式。第二类曲线积分的概念及性质：方向性、线性性与路径可加性；第二类曲线积分的计算公式。
第二十一章：
重积分
1，教学基本要求
[目的要求]
（1）理解重积分的概念；掌握二重积分、三重积分的计算； （2）理解二重积分与三重积分的变量代换； （3）掌握重积分的应用
[重点难点]
重点：重积分的计算 ；难点：变量代换
2教学具体内容
二重积分的概念与了解二重积分七条基本性质、按定义计算有界闭区域上的重积分。 直角坐标下二重积分的计算； Green公式与曲线积分与路径无关的条件 ；二重积分变量代换 ；三重积分的计算
；重积分的应用。
第二十二章
曲面积分
1，教学基本要求
[目的要求] （1）理解第
一、二类曲面积分的概念；
（2）掌握利用Green公式、Gau公式和Stokes公式计算曲线积分与曲面积分的方法； （3）理解曲线积分与路径无关的条件；理解梯度、通量与散度、旋度的概念。
[重点难点]
重点：Green公式、Gau公式和Stokes公式；难点：曲面积分的概念
2教学具体内容
第一类曲面积分的概念、计算及应用。第二类曲面积分的概念及性质：方向性、线性性与曲面可加性；第二类曲面积分的计算及应用。Gau公式及其应用；Stokes公式及其应用；Green公式、Gau公式和Stokes公式三者之间的关系。
