概率中的分组问题
一、分组问题是排列组合中的一个难点，主要有以下三种情况.
１.非平均分组问题
在非平均分组问题中，不管是给出组名或不给出组名，其分组的方法相同. 【例１】 把１２个人分成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数. （１）分成甲、乙、丙三组，其中甲组７人、乙组３个、丙组２人. （２）分成三组，其中一组７人、一组３人、一组２人. 解： （１）先从１２人中任选７人为甲组，余下５人中任选３人为乙组，剩下２人为丙组，则共有种不同的分组方法.（2）先从１２人中任选７人为一组有人有
2平均分组问题
【例２】 有６本不同的书，按下列要求分配，各有多少种不同的分法？
（１）分给甲、乙、丙三人，每人两本. （２）平均分成三份.
解： （１）从６本书中任取２本给一个人，再从剩下的４本中取２本给另一个人，剩下的２本给最后一人，共有＝９０种分法.种选法，剩下的２人为一组，共有
种选法，再从余下５人中任选３
种不同的方法. （２）设平均分成三堆有x种方法，再分给甲、乙、丙三人每人得２本，则应有
∴ ＝１５种不同的分法.
一般地，把n、m个不同元素平均分到m个不同的位置，有种方法，把n、m个不同元素平均分成m组有
3 局部平均分组问题
种分法. 某些分组问题中，有一部分组之间的元素的个数相同，但又不是所有组的元素都相同，这样的分组称为局部平均分组.解决这问题同样要考虑分组时是否给出了组名. 【例３】 （１）把６本不同的书分给４人，两人各得１本，另外两人各得２本，有几种分法？
（２）把６本不同的书分成４份，两份各１本，两份各２本，有几种分法？
（１）可按下面步骤完成：先将６本书分成１本、１本、２本、２本４个部分，然后让四个人去全排列取书，即有
种. （２）先把６本书分成１本、１本、２本、２本的４堆，由于两个１本与两个２本是无区别（没有顺序）的，因此，所求的分法数为
种. 【点评】 两个问题同属局部平均分组问题，但（１）中指定分给了４个人，相当于指定了组名，而（２）没有给出组名，因此分组的情况是不相同的.事实上，（１）中相当于把４本书分成两份２本，两份１本，共有种分配方法，然后把它分给４个人. 在元素相同的组中，若没给出具体的组名，则必须除以相同元素的组数的阶乘，若把问题改为：把６本不同的书分成Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四堆，其中Ａ、Ｂ各２本，Ｃ、Ｄ各１本，则有几种分法？ 该问题的分法有
二.挡板模型与分组问题
【例４】 ５个教师分配到３个班参加活动，每班至少１人，有几种不同的分法？
错解： 把５个老师排成一排，中间投入四块挡板：０|０|０|０|０，只要在４块挡板中任取２块，一共有＝６种不同的方法.错因： ５个教师是互不相同的，而用挡板时，要求这些元素必须相同.
种分法. 正解：先把５位老师分成三堆，有两类：１、１、３和１、
2、2分别有和种，再分到三个班里，共有
3.挡板模型与双排问题
＝１５０种. 在元素无区别分配问题中，通常考虑用挡板模型来解决，但一定要注意题目给出的条件，否则极易出错. 【例５】 从５个班中选１０人组成一个篮球队（无任何要求），有几种选法？
错解： 选把１０个指标排好，插入９块挡块：０|０|０|０|０|０|０|０|０|０ 然后在９块挡板中任取４块即可分成５份，有
＝１２６种分法. 错因： 问题并没有给出“每班至少１人”这个条件，而采用挡板解决时，实际上它就是要求每班至少有１人参加.事实上，这１０个名额可给一个班，也可给两个班„
正解：因为把１０个指标分成５个部分，只须４块挡板，称为第一类元素，１０个指标为第二类元素，共１４个元素.当这些元素都有区别时共有
种排法. 但１０个指标，４块挡板各组之间不管怎么变化，其实就是一种情况的共有＝１００１种不同分法（或）. 【点评】 当分组数超过３个时，若没有给出“每组至少有１个”这个条件时，是不能用挡板法解决的，而要用双排列方法解决.而双排问题就是把元素分成相同的两类，然后加以解决.两类元素排列的问题涉及面很广，它实质上就是有重复元素排列的一种简单情形，在历年的高考中时有出现，应予以重视.
