高中数学代数教案模板（精选多篇）

推荐第1篇：高中数学主要是代数

高中数学主要是代数,三角,几何三个部分.内容相互独立但是解题时常互相提供方法,等高三你就知道了.

必修的:

代数部分有:

1 集合与简易逻辑.其实就是集合,命题,充要条件三点,很浅显高考也不会单出这类的题2 函数.先是对于函数的描述,有映射定义域对应法则植域;然后是性质,三个,单调性奇偶性周期性;最后是指数函数还有对数函数,是两个基本的函数,要研究他们的性质和图象3 三角.三角其实就是个工具,比较烦人,公式背下来再多练练用的滚瓜烂熟就行了

4 几何.也就是平面解析几何,用坐标法定量的研究平面几何问题.学几个定义,然后是直线的方程,圆的方程,圆锥曲线方程.

高考的重点一般在 常用函数 常用双曲线+直线 数列 三角

二项式定理立体几何排列组合加概率等其他一些知识是比较小的部分

重要的是基础 高一的话上课的基本解题方法一定要熟练掌握 并且不能忘记 到了高三再练习就很麻烦了 还有不要忽视概念 往往很多题目是考概念的

难度方面要视文理科而定 但是70%题目肯定用基本知识就能做的 20%需要结合各种知识并且动脑 真正有难度的题目只有10%

高中数学学习方法谈

进入高中以后，往往有不少同学不能适应数学学习，进而影响到学习的积极性，甚至成绩一落千丈。出现这样的情况，原因很多。但主要是由于学生不了解高中数学教学内容特点与自身学习方法有问题等因素所造成的。在此结合高中数学教学内容的特点，谈一下高中数学学习方法，供同学参考。

一、高中数学与初中数学特点的变化

1、数学语言在抽象程度上突变

初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及非常抽象的集合语言、逻辑运算语言、函数语言、图象语言等。

2、思维方法向理性层次跃迁

高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么等。因此，初中学习中习惯于这种机械的，便于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。

3、知识内容的整体数量剧增

高中数学与初中数学又一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧增加了，单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多，辅助练习、消化的课时相应地减少了。

4、知识的独立性大

初中知识的系统性是较严谨的，给我们学习带来了很大的方便。因为它便于记忆，又适合于知识的提取和使用。但高中的数学却不同了，它是由几块相对独立的知识拼合而成（如高一有集合，命题、不等式、函数的性质、指数和对数函数、指数和对数方程、三角比、三角函数、数列等），经常是一个知识点刚学得有点入门，马上又有新的知识出现。因此，注意它们内部的小系统和各系统之间的联系成了学习时必须花力气的着力点。

二、如何学好高中数学

1、养成良好的学习数学习惯。

建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知

识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。

2、及时了解、掌握常用的数学思想和方法

学好高中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中，常用的有：观察与实验，联想与类比，比较与分类，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。

解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西。高中数学中经常用到的数学思维策略有：以简驭繁、数形结合、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相辅等。

3、逐步形成 “以我为主”的学习模式

数学不是靠老师教会的，而是在老师的引导下，靠自己主动的思维活动去获取的。学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思考、勇于探索的创新精神；正确对待学习中的困难和挫折，败不馁，胜不骄，养成积极进取，不屈不挠，耐挫折的优良心理品质；在学习过程中，要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动去发现问题，注重新旧知识间的内在联系，不满足于现成的思路和结论，经常进行一题多解，一题多变，从多侧面、多角度思考问题，挖掘问题的实质。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。

4、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施

A、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

B、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。

C、熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

D、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。

E、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。

F、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。

G、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。

H、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。

I、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。

推荐第2篇：《数与代数》教案

1 教学内容：

教材P68-70“整理与反思”、“练习与实践”第1-9题 教学目标：

1.学生回顾整理整数与小数的相关知识，加深理解整数与小数的意义，沟通各种数之间的关系，进一步弄清相关概念间的联系与区别，构建整数、小数认识的知识网络。

2.学生通过复习，进一步了解整数、小数的相关知识，掌握数的知识之间的联系；增强用数表达和交流信息的意识和能力，进一步发展数感。

3.学生进一步体会数在日常生活中的广泛应用；感受认数的作用，产生对数的学习兴趣，提高学好数学的自觉性。

教学重点：整数（自然数）和小数的意义、组成及读写。 教学难点：理解数的相关知识间的联系。 教学过程：

一、揭示课题

谈话：小学阶段的数学内容我们已经全部学完了，从今天开始我们要对所学内容进行总复习。这节课我们进行整数和小数的整理与复习。（板书课题）

通过复习，进一步认识整数、小数的意义，掌握整数、小数的有关知识，提高数的应用能力。

二、回顾整理 1．讨论整理。 提问：首先请同学们回忆一下，你了解整数和小数的哪些知识？请你结合小面的问题先自已思考、整理，再与同学说一说。

出示问题：

（1）你能举例说说怎样的数是整数，怎样的数是负数，怎样的数是小数吗？小数的基本性质是什么？

（2）你能说出整数和小数的计数单位吗？相邻计数单位间的进率都是几？举例说一说。

（3）你能举例说说读、写整数和小数要注意什么吗？怎样比较整数和小数的大小？怎样求一个数的近似数？

让学生围绕上面三个问题思考，并在小组里讨论、交流。 2．组织交流。

（1）提问：你能举例说说怎样的数是整数，怎样的数是负数，怎样的数是小数吗？小数的基本性质是什么？

结合学生回答，相机板书。

（2）提问：你能说出整数和小数的计数单位吗？相邻计数单位间的进率都有是几？举例说一说。

根据学生回答呈现数位顺序表。

提问：整数部分计数单位排列有什么规律？每个数级上的数表示什么？小数部分的计数单位按怎样的顺序排列的？ 一个数在不同数位上表示的意义有什么不同？请举个例子说一说。 （3）提问：你能举例说说读、写整数和小数要注意什么吗？怎样比较整数和小数的大小？怎样求一个数的近似数？

让学生依次交流不同内容的认识，举出例子说明。 交流数的读、写法。

交流数的大小比较的方法。 交流求近似数的方法。

三、应用练习

1．做“练习与实践”第1题 学生独立填写。

全班交流，呈现结果。

提问：从直线上看，正数和负数有什么区别？

0右边的□里为什么要写小数？0左边的□里的数是怎样想的？

说明：正数和负数表示相反意义，在直线上都是从0开始按顺序排列，正数都大于0，负数都小于0。

2．做“练习与实践”第2题 （1）指名口答。

提问：你是怎样知道不同的数里的“2”表示多少的？ （2）提问：你能说出这里每个数的组成吗？

说明：一个数表示多少，可以看每个数位上各是由多少个计数单位组成的。 3．做“练习与实践”第3题。

学生读题后指名回答。

4．做“练习与实践”第5题。 学生独立填写在书上。

集体校对，有错的同学说说错误的原因，并订正。 5．做“练习与实践”第6题。 指名学生读一读。

提问：怎样读数，能很方便地读出来？

说明：读数时先分级，按数级读既方便又能读准确。 6．做“练习与实践”第7题。

学生先把语文、数学课本的单价填写在书上的表格中，再算出10本、100本、1000本的总价，然后交流结果并呈现。

提问：你是怎样算的？一个数乘

10、100、1000，怎样很快写出得数？ 一个数除以

10、100、1000，可以怎样写出得数？ 7．做“练习与实践”第8题。

（1）学生各自读题，再指名读一读表中的各个数。 提问：通过读表中的数，你有什么想法吗？

（2）提问：你能把四个省（自治区）的面积改写成用“万平方千米”作单位的数，把四个省（自治区）的人口数精确到万位吗？

学生独立完成后集体交流。 （3）提问：请你分别按面积大小和人口多少，排列四个省（自治区）的顺序。 学生独立完成后集体交流，说说是怎样比较大小的。

四、课堂总结

谈话：这节课我们复习了哪些内容？你有什么收获？还有什么问题？

二

因数与倍数整理与复习

教学内容：

教材P70 “练习与实践”第10-14题，思考题。 教学目标：

1.学生通过回忆和整理，进一步明确因数和倍数的相关知识，加深认识相关概念之间的联系与区别，能求两个数的公因数和公倍数，并能运用这些知识解决相关实际问题。

2.学生在应用相关知识进行判断和推理的过程中，能说明思考过程，进一步培养归纳概括和演绎推理等思维能力，进一步增强分析问题和解决问题的能力。

3.学生进一步体会数学知识之间的内在联系，感受数学思考的严谨性和数学结论的确定性，激发学习数学的兴趣和学好数学的自信心。

教学重点：掌握倍数和因数等相关概念，以及应用概念判断、推理。 教学难点：理解相关概念的联系和区别。 教学过程：

一、揭示课题 1．回顾知识。

提问：上节课，我们已经复习了整数和小数的有关知识。

在整数知识里，我们还学习了因数和倍数，谁能来说说你是怎样理解因数和倍数的？一个数的因数和倍数各有什么特点？

结合学生交流，板书。 2．揭示课题。

引入：这节课，我们复习因数和倍数的相关知识。

通过复习，能进一步了解关于因数和倍数的知识，理解它们之间的联系和区别，并能应用这些知识。

二、基本练习

1．知识梳理。

提高：回想一下，在学习因数和倍数时，我们还学习了哪些相关的知识？ 学生回顾，交流，教师适当引导回顾。 提问：

2、

5、3的倍数各有什么特征？什么叫奇数，什么叫偶像？什么叫质数，什么叫合数？什么叫公因数和最大公因数？什么叫公倍数和最小公倍数？ 根据学生回答，板书整理。 2．做“练习与实践”第10题。 学生独立完成，指名板演。

集体交流，让学生说说找一个数的因数和倍数的方法。 3．做“练习与实践”第11题。

出示题目，学生直接口答。

提问：怎样判断一个数是不是2的倍数？判断是3和5的倍数呢？ 追问：这里哪些是偶数，哪些是奇数？说说你是怎样想的。 4．做“练习与实践”第12题。

学生先独立写出质数和合数，再指名口答。 追问：最小质数是几？最小的合数呢？ 提问：怎样判断一个数是质数还是合数？

指出：在判断一个是质数还是合数时，要看这个数有哪些因数，根据质数和合数的含义作出正确判断。

5．完成下面各题。

（1）写出12和18的公因数，说出最大是几。 （2）写出6和8的公倍数，说出最小是几。

（3）求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 15和3 7和9 8和12 指名学生口答第（1）（2）题，教师板书找公因数、公倍数的过程。

让学生说明怎样找两个数的公因数和最大公因数，公倍数和最小公倍数。 让学生独立完成第（3）题，交流方法并板书结果。 提问：每组数各是怎样找最大公因数和最小公倍数的？ 6．把12分解质因数。 让学生独立完成。

交流结果和方法，板书分解过程和结果。

三、综合练习

1．做“练习与实践”第13题。 指名读第（1）题。

谈话：同学们可以按要求先试着写一写，有困难的同学可以用数字卡片摆一摆，再写出来。

学生尝试练习后同桌交流。

集体校对，引导学生明白可以有序思考，逐一列举。 学生自由读第（2）题后独立解答。 指名口答，集体评议，结合说说有公因数2的数、有公因数3或5的数各有什么特点。

2．做“练习与实践”第14题。 出示题目，学生尝试练习。 展示学生的不同分法：

（1）

2、

10、16和

3、

9、

13、

25、

33、45两类。（2）

2、

3、13和

9、

10、

16、

25、

33、45两类。„„

提问：你是按怎样的标准来分的？ 3．完成思考题。

指名读题，理解题意。

提问：根据“如果每行值6棵，最后一行缺1棵”，你能知道什么？根据“如果每行值5棵或4棵，最后一行也都缺1棵”呢？

指出：根据条件，可以知道总棵树比6的倍数少1，比5和4的倍数也都少1.启发：如果添上1棵，总棵树与

6、5和4有什么关系？、学生尝试解答。

集体交流，让学生说说思考的过程。

四、课堂总结

交流：这节课我们复习了哪些内容？把你的收获和大家分享一下。

3 分数、百分数的认识整理与复习

教学内容：

教材P71-72“整理与反思”、“练习与实践”第1-10题。 教学目标：

1.学生加深对分数和百分数的认识，进一步理解分数的基本性质以及分数与除法的关系，进一步掌握小数、分数和百分数的互相改写，以及求百分数的方法。

2.学生经历知识整理和应用的过程，进一步了解分数、百分数相关知识之间的内在联系，提高观察比较、分析判断能力和解决问题的能力，进一步发展数感。3.学生进一步体会分数和百分数在日常生活中的应用以及作用，增强数学应用意识；感受数学学习的乐趣，树立学好数学的信心。

教学重点：加深理解分数、百分数的意义。 教学难点：分数、百分数在实际生活中的应用。 教学过程：

一、揭示课题

谈话：前几节课我们一起复习了整数和小数的相关知识，这节课我们要对分数和百分数的相关知识进行整理和复习。

通过复习，要进一步认识分数和百分数的意义，体会它们之间的联系与区别，并能运用分数和百分数的相关知识解决一些实际问题。

二、回顾整理 1．回顾讨论。

提问：你了解分数和百分数的哪些知识？请大家联系下面的问题自己回顾整理，并且在小组里交流。

呈现以下四个问题：

（1）什么叫分数？什么叫百分数？

（2）分数和除法有什么联系？请你举例说明。

（3）分数的基本性质是什么？你能用它来说明小数的性质吗？ （4）小数、分数和百分数怎样互相改写？

让学生围绕上面四个问题先独立思考，再在小组里讨论、交流。 2．组织交流，回答上面四个问题。

三、基本练习

1．做“练习与实践”第1题。

学生独立填写后指名口答，说明理由。

强调：分数是看平均分成多少份，表示这样的几分；小数是看表示的十分之几、百分之几、千分之几„„百分数是看这个数量占整体的百分之几。

2．做“练习与实践”第2题。

学生填写在书上，然后集体校对，让学生说说思考过程。

追问：第（2）题把一根绳子平均分成8段，为什么两次填写的结果不同？ 3．做“练习与实践”第3题。 学生独立填写。 集体交流，让学生说说是怎样想的，并说一说每个百分数表示的意义。 4．做“练习与实践”第5题。 学生先尝试填写，再集体交流。

提问：这两组数分别会越来越接近几？ 指出：这两组数按规律可以无限地填下去，这样填写第一组数会越来越接近1，第二组数会越来越接近0.

四、应用练习

1．做“练习与实践”第6题。

学生读题，理解题意，先独立估计。 提问：你估计哪块花圃种玫瑰的面积所占的百分比最大？说说理由。 指出：估计时，可以先想出相应的分数，再估计大小。

学生写出相应的百分数，并交流是怎样想的，再和估计的比一比。 2．做“练习与实践”第

7、8题。学生读题后独立解答，再集体交流。

提问：你能说说种子发芽率的具体含义吗？折扣表示什么？发芽率和折扣各是怎样求的？

3．做“练习与实践”第9题。

学生读题后，提问：你能根据所给信息，在图中表示出李华家上个月的支出情况吗？先独立思考并在图中表示。

五、课堂总结

这节课我们复习了哪些内容？你有什么收获或体会？

4 常见的量整理与复习

教学内容：

教材P73“整理与反思”、“练习与实践”第1-6题。 教学目标：

1.学生进一步掌握质量、时间和人民币的单位及相邻单位的进率，能够根据实际选择、应用合适的单位；掌握单位之间的简单换算，以及量的简单计算。

2.学生在整理、应用常见的量及量的单位过程中，进一步体会各个量的具体意义；能说明对常见的量选择、分析、判断的理由，提高分析、判断和推理等思维能力。

3.学生在复习过程中进一步体会常见的量在日常生活中的应用，培养有据思考、判断、分析等良好的学习品质。

教学重点：常见的量的归纳整理和应用。 教学难点：掌握时间单位间的关系。 教学过程：

一、导入课题 引入：在我们的日常生产、生活和科学研究中，经常要接触各种量，并且进行各种量的计量。在小学阶段，我们学习过质量、时间和人民币这些常见的量和相应的计量单位。今天我们就复习这些常见的量。（板书课题）

通过复习，进一步认识质量、时间和人民币及相应的单位，了解各类量相邻单位的进率，进一步掌握单位间的简单换算，并提高计量单位应用的能力。

二、回顾整理 1．小组整理。

提问：常用的质量单位有哪些？（板书：质量）相邻单位之间的进率各是多少？常用的时间单位、人民币单位各有哪些？（板书：时间 人民币）你能说说这些单位，以及相邻单位间的关系吗？请先独立整理，再小组交流。

学生整理，小组交流，教师巡视、指导。 2．集体交流。

（1）提问：你知道质量单位的哪些知识？

（2）提问：我们学习过哪些时间单位？你知道这些单位间的关系吗？说说你的认识。

提问：闰年有什么规律？怎样判断某一年是闰年还是平年？

提问：我们认识了哪两种计时法，这两种计时法有什么区别和联系？ 24时计时法 普通计时法

（3）提问：关于人民币的单位你有哪些认识？ 生：元 角 分

1元=10角 1角=10分

三、基本练习

1．做“练习与实践”第1题。 学生直接填空。

集体反馈，指名说说分别填写了哪个单位，怎样想的。

指出：填写单位时，要先根据实际明确填写哪种量的单位，再根据具体物体选择合适的单位。

2．做“练习与实践”第2题。

学生先填写在书上，再指名口答结果，选择2—3题说说怎样想的。 提问：通过这题的练习，你对单位换算有了怎样的认识？

3．做“练习与实践”第3题。 学生先完成填空，再集体校队。

追问：每年第一季度的天数怎样计算？

四、应用练习。

1．做“练习与实践”第4题。 指名读题，理解题意。 学生独立计算。

集体校对，让学生说说是怎样计算的。 2．做“练习与实践”第5题。 学生读题，理解题意。

指名口答，让学生说出计算过程。

引导学生完整说出飞船进入预定轨道的时间时2012年6月16日18时55分。 3．做“练习与实践”第6题。 指名读题，理解题意。 学生独立解答。

集体交流，展示学生的解答过程及结果，要求说明怎样想的。

说明：像这样计算载重量的问题，一般要按较大数量计算，求出物体最重可能有多少，和能承载的重量比较、判断。

五、课堂总结 提问：这节课复习了哪些内容？通过这节课的复习，你有哪些收获？

5 四则运算整理与复习

教学内容：

教材P74-75“整理与反思”、“练习与实践”第1-10题。 教学目标：

1.学生进一步掌握整数、小数、分数四则运算的法则及计算法则之间的联系，能选择口算、笔算、估算以及计算器等不同方法进行计算，进一步认识常见的数量关系，并能解决一些简单的实际问题。

2.学生在整理与复习的过程中，进一步了解计算原理，感受知识之间的内在联系，进一步体会基本的数量关系，提高运算能力，以及分析问题和解决问题的能力。

3.学生进一步养成独立、认真计算等学习习惯，培养按规则计算的品质，增强学习数学的积极性，体会学习成功的乐趣。

教学重点：理解四则运算的意义和法则。 教学难点：正确进行四则运算。 教学过程：

一、揭示课题

谈话：前几节课，我们只要复习了数的认识，今天开始我们要复习数的运算。这节课先复习数的四则运算。（板书课题）通过复习，同学们要熟悉掌握四则运算的法则，能选择不同方法进行计算，并能解决一些简单的实际问题。

二、知识梳理 1．小组讨论。

引导：通常所说的四则运算是指加法、减法、乘法和除法。想一想，整数、小数、分数加、减法分别怎样计算？整数、小数和分数乘、除法呢？先独立思考，找一些例子想一想，再在小组里交流你的想法。

学生各自整理后在小组里讨论。

2．集体交流。

（1）提问：整数加、减法是怎样计算的？小数加、减法，分数加、减法呢？ 追问：你能说说这些计算方法之间的联系吗？ 生交流，汇报。

（2）提问：怎样计算整数、小数和分数的乘、除法？你能举出一些例子吗？ 结合学生交流，用简单的例子说明，进一步明确法则。

提问：小数乘、除法计算和整数乘、除法有什么联系？要注意什么问题？ 学生交流，总结。

提问：分数乘、除法计算有什么联系？ 指出：分数乘法用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母；分数除法用被除数乘除数的倒数，转化成分数乘法后按分数乘法的方法进行计算。

三、基本练习

1、做“练习与实践”第1题。直接写出得数。

选择部分题目让学生说说计算的方法，进一步明确计算方法。 2．做“练习与实践”第2题。 独立计算，并指名板演。

提问：比较每组两题的计算方法，你有什么发现？ 3．做“练习与实践”第4题。

学生自由读题，独立思考分别选择哪种算法。

提问：每小题各适合口算、笔算、估算，还是用计算器计算？ 指名口答，并说出想法。

四、应用练习

1．做“练习与实践”第5题。

出示表格，提问：从这张表中你能知道些什么？ 学生回答后独立计算、填表。

集体交流结果，说明算法并呈现表里的结果。

提问：这里应用的是哪一组常见的数量关系？你能说出单价、数量和总价这一组数量关系式吗？

2．做“练习与实践”第6题。

学生读题，理解题意。 学生各自解答，指名板演。

集体校对，说明按怎样的数量关系解答的。

提问：这里应用的是哪一组常见的数量关系？能说出这一组数量关系式吗？ 3．做“练习与实践”第9题。

出示情景图，提问：从图中你能知道哪些数学信息？ 引导学生明确信息。 出示问题（1），学生独立思考、解答。

集体交流，让学生说说思考过程，说明可以用笔算，也可以用估算得出结论。 出示问题（2），学生独立解答。 集体交流，让学生说说思考过程，并板书算式、得数。 提问：你还能提出什么问题？ 4．做“练习与实践”第10题。

出示统计表，让学生说说表中的信息。

提问：怎样比较他们的成绩更合理？把你的想法在小组里交流。 小组讨论后集体交流，指名说出合理的想法及理由。

学生各自计算，求出各人助跑摸高的厘米数想法于身高的百分之几，再比较得到的百分之几。

出示问题（2），学生独立解答，提示可以用计算器计算。

五、课题总结

提问：通过这节课的复习，你有哪些收获？这些知识之间有什么联系？

6 四则混合运算整理与复习（1）

教学内容：

教材P76“整理与反思”、“练习与实践”第1-5题。 教学目标：

1.学生进一步认识整数、小数、分数四则混合运算的运算顺序，能按运算顺序正确进行运算；进一步理解和掌握学过的运算定律和一些规律，并能应用运算定律或规律进行简便运算。

2.学生进一步增强观察、辨析能力和合理、简捷运算的能力，进一步培养分析问题、解决问题的能力。

3.学生通过计算、观察、比较、交流等活动，体验与同学合作交流以及获取知识的乐趣，增进对数学学习的积极情感。

教学重点：四则混合运算的运算顺序；理解和掌握运算律和一些规律。 教学难点：灵活选择合理、简捷的算法。 教学过程：

一、谈话导入，揭示课题 谈话：上节课，我们一起回顾整理了加、减、乘、除四则运算的意义、关系，以及计算法则。今天这节课，我们在此基础上继续复习四则混合运算。（板书课题）

二、整理知识，沟通联系 1．复习运算顺序。

出示“练习与实践”第1题。 指名学生说说每题的运算顺序。

提问：能说说四则混合运算的运算顺序吗？请同桌相互说一说。 集体交流四则混合运算的运算顺序。 （2）学生独立计算，教师巡视、指导。 集体校队，做错的同学自己订正。 2．复习运算律。

（1）引导：在四则混合运算里，我们学习过运算律。回忆一下，我们学过哪些运算律？你能举例说明吗？小组讨论，按要求把课本上的表格填写完整。

小组讨论、填表。

集体交流，结合学生回答，板书呈现填表。 做“练习与实践”第2题。

学生独立计算，指名板演，教师巡视、知道。

集体校对，让学生说说每题是怎样想的，分别运用了什么运算律或规律。 说明：在计算时，如果应用运算律或运算规律，能先把其中的小数、分数计算凑成整数，或者能把一些计算凑成整

十、整百的数使计算变得简单，就可以选择合理、简单的算法，使计算简便。

追问：你觉得应用简便计算要注意些什么？ （3）下面各题，怎样算简便就怎样算。

31194―4―4 20×21

215.01―0.99 （3―4）×12 学生计算，指名板演。

交流算法，要求说明计算方法和依据。

三、实际应用，内化提升

1．做“练习与实践”第

3、4题。指名读题，理解题意。

学生独立列综合算式解答，指名板演，教师巡视、指导。

集体校对，让学生说说每题分别是怎样想的，先算什么，再算什么？ 2．做“练习与实践”第5题。

学生读题，让学生说说题中的条件和问题。 学生各自列综合算式解答，教师巡视，指导。 集体交流，让学生说说每一步算的是什么。

四、回顾反思，总结全课

提问：同学们回顾一下，这节课我们复习了哪些内容？你有什么收获与体会？

7 四则混合运算整理与复习（2）

教学内容：

教材P77 “练习与实践”第6-10题。 教学目标：

1.学生进一步理解和掌握稍复杂的分数、百分数实际问题的数量关系和解题思路，能正确解答稍复杂的分数、百分数实际问题。

2.学生进一步认识分数、百分数实际问题的特点和解题方法，进一步体会分数、百分数实际问题的内在联系；能说明分析问题的过程，提高比较、分析、推理、判断等思维能力，增强分析问题和解决问题的能力。

3.学生加深体会分数、百分数在现实世界的实际应用，增强数学应用意识，提高学习数学的兴趣和学好数学的自信心；培养独立思考、主动交流的学习习惯。

教学重点：稍复杂的分数、百分数实际问题的数量关系和解题方法。 教学难点：理解各类分数、百分数实际问题的数量关系和解题思路。 教学过程：

一、揭示课题

谈话：上节课，我们复习了四则混合运算和运算律。这节课我们要复习分数、百分数的实际问题。（板书课题）通过复习，要进一步理清分数、百分数实际问题的数量关系和解题思路，掌握解题方法，提高解决分数、百分数实际问题的能力。

二、基本练习

1．根据下列问题找出单位“1”的量，并说出数量关系式。 （1）桃树棵树是梨树的几分之几？ （2）桃树棵树比梨树少几分之几？

（3）实际产量超过了计划的百分之几？ （4）实际降价了百分之几？

指名学生口答，并说说单位“1”的量是怎样找的。 2．根据条件找出单位“1”的数量，说出数量关系式。

5（1）男生人数是女生的6；

（2）足球个数是排球的90%；

1（3）大米袋数比面粉多3；

（4）用水量降低了20%。 指名口答，说出数量关系式。

说明：根据上面这样的条件，可以确定单位“1”的量，用单位“1”的量乘几分之几或百分之几，等于几分之几或百分之几的对应数量。

三、应用练习

1．解答下列各题。

（1）李大爷收白菜300千克，已经售出240千克，已经售出几分之几？

4（2）李大爷收白菜300千克，已经售出5，已经售出多少千克？

4（3）李大爷收了一批白菜，已经售出5，正好是240千克，这批白菜有多少千克？

学生读题，思考每题应怎样解答。

指名口答算式或方程，教师板书并计算结果。

提问：这三题里表示单位“1”的量是哪个数量？为什么解答这三题的计算方法不相同？

2．解答下面各题。

5（1）菜场运来西红柿300千克，运来黄瓜的千克数是西红柿的6，运来黄瓜多少千克？

1（2）菜场运来西红柿300千克，运来黄瓜的千克数比西红柿少6，运来黄瓜多少千克？

提问：你能列出每题的算式吗？请你说一说。

追问：为什么第（1）题只有一步计算，第（2）题要两步计算？解答分数、百分数实际问题要注意什么？

3．做“练习与实践”第7题。

学生读题后独立解答，指名板演，教师巡视、指导。

集体校对，让学生说出解题思路，再说说有没有不同解法。 4．对比练习。 出示：（1）某市修建一条12千米长的高架公路，已经修了全长的60%，还有多少千米没有修？

（2）某市修建一条高架公路，已经修了全长的60%，还有4.8千米没有修。这条高架公路长多少千米？

指名读题，说说两题中的条件和问题。 提问：这两题有什么相同点和不同点？

交流解法，教师板书算式和结果。

结合交流要求学生说说这两题分别是怎样想的。 追问：这两题的解题方法为什么不同？

5．做“练习与实践”第8题。

（1）学生读题，说说已知什么条件，第（1）题要求什么。 让学生列式解答，指名板演。

交流：求

一、二等奖的奖券一共多少张可以怎样想？ 这里每一步求的什么？

（2）让学生提出不同的问题，选择板书。

选择一个球两种奖券相差多少张的问题让学生解答。 交流：你是怎样列式的？

这个算是里每一步求的是什么？ 6．做“练习与实践”第9题。

学生读题后独立解答。 集体交流，让学生说说每道题的解题思路，教师板书算式和结果。

提问：比较这三个实际问题，在解法上有什么联系和区别？

四、全课总结

这节课复习了什么内容？通过这节课的复习，你又有哪些收获？还有什么问题呢？

8 解决问题的策略整理与复习（1）

教学内容：

教材P78-79“整理与反思”、“练习与实践”第1-5题。 教学目标：

1.进一步明确解决问题的一般步骤，能按一般步骤解决实际问题；了解小学阶段学习的解决问题的策略；能应用从条件或问题想起的策略分析数量关系并列式解决实际问题；能根据条件提出相应的问题。

2.能用从条件或问题想起的策略说明解决问题的思路，进一步体会实际问题数量之间的联系，培养学生分析、推理等思维能力和解决问题的能力。

3.进一步感受数学知识、方法在解决实际问题里的应用，体会解决问题策略的应用价值；培养勤于思考、善于思考的学习品质。

教学重点：用从条件或问题想起的策略分析数量关系。 教学难点：正确分析数量关系。 教学过程：

一、引入课题

谈话：今天的复习内容，是我们小学阶段学过的解决实际问题。通过今天的复习，要进一步掌握解决问题的一般步骤，整理并掌握学习过的解决问题的策略。对策略的应用，今天着重复习从条件想起、从问题想起分析数量关系的策略，能掌握分析方法，正确说明解决问题的思路并且解答实际问题，提高分析和解决问题的能力。

二、整理与反思 1．回顾讨论。

引导：大家先回顾一下学过的解决问题知识，同桌互相讨论、交流：解决实际问题的一般步骤是怎样的？我们学习过解决问题的哪些策略？可以联系实际问题讨论一下，这些策略在解决什么问题时用过。

2．交流认识。

（1）交流解决问题的步骤。 提问：大家回顾了学过的解决问题的步骤和策略，能说说解决实际问题时的一般步骤是怎样的吗？

（2）交流解决问题的策略。

提问：我们学习过解决问题的哪些策略？可以结合举出一些例子来说一说。 你认为学习解决问题的策略有什么作用？

指出：从条件或问题想起分析数量关系是基本策略，有些问题还要通过列表、画图或者列举、转化、假设的策略才能清楚地找到解决问题的方法。所以学习策略可以帮助我们更清楚地了解数量间的联系，找出解决问题的方法。

三、练习与实践 1．做“练习与实践”第1题。

（1）让学生独立阅读第（1）（2）题。

让学生分别说一说每题的条件和问题，说说两道题哪里不一样。

（2）引导：这两题你能怎样想的？自己先思考准备怎样想，再同桌互相说说你的想法，看看有没有不同的想法，要先求什么，再求什么。

提问：你能说说第（1）题可以怎样想吗？还能怎样想？ 指名几个学生从条件想起说一说是怎样想的。

提问：第（2）题你是怎样想的？有不同的想法吗？ 指名几个学生从问题想起说一说是怎样想的。 （3）学生独立解答，指名板演。

检查列式过程，让学生说说各题的每一步求出的什么。

提问：两题的问题都是求长袖衬衫的单价，为什么解答过程不一样？ （4）引导：通过上面两题的解答，你有哪些体会？ 2．做“练习与实践”第2题。 （1）让学生独立读题，了解题意。

引导学生观察图形，结合图形说说第（1）题小芳走过的路线是怎样的，第（2）题两人是怎样行走的。

引导：先看看小芳和小军的速度各是多少，想想两人大致在哪里相遇，在图上用一个点表示出来。

交流：你估计大致在哪里相遇，怎样想的？

（2）让学生列式解答两个问题，教师巡视、指导。 ①交流：第（1）小题是怎样列式的？这样列式是怎样想的？ 有没有不同的列式？这样列式又是怎样想的？

说明：解答实际问题，有时有不同的解答方法，这是因为分析方法不同，解决问题的过程或方法就可能不一样。

②交流：第（2）题怎样列式？这是根据什么数量关系列式的？ 也有不同的解法吗？这又是根据什么数量关系列式的？ 追问：这两种解法有什么联系? 解答上面两题，都和哪个常见的数量关系有关？ 3．做“练习与实践”第4题。

让学生读题，说说从表格里的对应数值能知道什么，要解决什么问题。 引导：你能解决这个问题吗？自己想办法解答。交流：你是怎样解答的？这是怎样想的？

还有不同的解答方法吗？这又是怎样想的？

提问：这两种解法思路有什么不同？能说说两种解法分别是先求的什么、再求的什么吗？

4．做“练习与实践”第5题。

让学生独立读题，摘录整理条件和问题。交流：你是怎样整理的？ 提问：根据整理的条件和问题，这题可以怎样想？说一说你的想法。 追问：你认为整理的条件和问题，对于解决问题有什么好处？

四、教学总结

今天复习了解决问题的哪些内容？ 通过整理与练习，你有哪些收获？

9 解决问题的策略整理与复习（2）

教学内容：

教材P79“练习与实践”第6-9题。 教学目标：

1.学生能应用画图、列表、转化等策略分析和解决实际问题，能根据问题特点选择不同策略分析数量关系、列式解答，并能解释和说明自己所用的策略。

2.学生能依据相应的策略说明分析实际问题数量关系的思考过程，提高灵活、综合应用策略的能力，培养思维的深刻性和灵活性，发展分析、推理等思维和几何直观，以及分析问题、解决问题的能力。

3.学生进一步感受现实生活存在各类数学问题，体会解决问题策略的实际应用，培养学生面对实际问题用数学方法分析、处理的意识。

教学重点：用画图、列表、转化等策略解决实际问题。 教学难点：灵活选择策略解决实际问题。 教学过程：

一、揭示课题

谈话：上一节课我们复习了解决问题的相关内容，并且重点应用了从条件或问题想起的策略解决实际问题。今天继续复习解决问题，主要应用画图、列表的策略解决问题，并且能自己选择策略灵活地解决实际问题。

二、练习与实践

1．做“练习与实践”第6题。

（1）让学生读题，利用图形理解条件和问题。 交流：你知道了题里有哪些条件，要解决什么问题？（出示图形，根据交流注明长、宽的条件）

这块长方形菜地分成的两个部分各是什么形状的？

引导：要计算这里三角形的面积和梯形的面积，你能根据题里的条件在图上画一画，找到解决问题的思路吗？想一想怎样画，自己画一画。交流：你是怎样画的？

为什么想到在三角形的顶点画宽的平行线段？

说明：通过交流，我们知道根据黄瓜的面积比番茄面积少180平方米这个条件，可以在梯形中画出一个和种黄瓜的三角形地完全一样的三角形地块，这样就能直接看出黄瓜比番茄少的面积是右边这个长方形地块。让画法不合理的订正自己的画法。

（2）引导：现在你能看图说一说，解决这个问题可以怎样想吗？在四人小组里互相讨论，找找可以怎样解答这个问题。

交流：哪些同学想到了解决这个问题的思路？和大家交流一下。

结合交流，帮助学生理解不同思路。

（3）让学生选择一种思路解答，指名不同解法的学生板演。 引导学生结合图形分别说说不同解法中每一步算的什么。 （4）提问：我们刚才画图对于解答问题有什么好处？

2．下面的问题用哪个策略解决比较合适？请你应用恰当的策略解答。

出示：一个长方形长8分米，宽6分米。如果把一条长缩短到原来的一半，或者把一条宽缩短到原来的一半，都能得到一个梯形。这两个梯形面积会相等吗？算一算、比一比。

提问：想想这个图形分别怎样变化的，能用什么策略解决，用你想到的策略算一算、比一比，解决问题。学生独立解答，教师巡视、指导。

交流：你用了什么策略？怎样画图的？这两个梯形面积相等吗？你是怎样计算的？

说明：用画图的策略能找到相应的条件，计算各自的面积。这里虽然长方形通过不同的变化得到的梯形不同，但面积是相等的。

3．做“练习与实践”第7题。

提问：你能说说题里告诉我们什么，要解决什么问题？ 引导：大家想一想杨大爷步行的过程，思考解决问题还需要什么条件；再列表或画图表示行走过程，看看从表里或图中能知道什么新条件。学生列表或画图，教师巡视、指导。

交流：你是怎样列表的？画图的是怎样画图表示的？

引导：大家先观察列出的表格或画出的图形，思考能得出哪个条件，可以怎样解决问题，各人独立解答。交流：你是怎样解答的？

你结合列表或画图，说说这里的每一步是怎样想的吗？列表或画图在解题过程中有什么作用？

4．做“练习与实践”第8题。

（1）让学生先根据题意补充线段图，再同桌交流怎样补充的，讨论怎样解答，有没有不同解答方法，然后选择一种方法解答。

学生画图、交流并解答，教师巡视，指名不同算法的学生板演。 （2）交流：线段图是怎样补充完整的？

你能联系线段图理解这里的不同解法，说说每种解法是怎样想的吗？自己观察、思考，不明白的可以合同学交流。提问：你能说说这些解法各是怎样想的吗？

指名交流，引导学生结合图形理解不同解法。

比较：哪种解法更方便一些？这里应用了哪个策略？ 5．做“练习与实践”第9题。 学生读题，要求交流条件和问题。 提问：下面的线段图表示了哪些条件？还有什么条件没有表示出来？

2引导：根据从第一筐取出9放入第二筐，两筐苹果就同样重这个条件，表示第二筐苹果多重的线段怎样画呢？先看表示第一筐的线段想一想，再画一画。学生画图，教师巡视、指导。

交流：根据条件，表示第二筐苹果有多重的线段怎样画的？说说你的想法。 引导：请你看线段图，想想这两筐苹果的千克数之间有什么关系，能怎样解答，然后用你想到的方法解答出来。如果与困难，可以讨论讨论。学生解答，教师巡视、指导。

交流：你是怎样解答的？用了什么策略？

结合交流板书算式，并引导学生理解不同解法。反思：通过解答这道题，你有哪些体会？

三、总结交流

回顾今天解决问题的内容和过程，都应用了哪些策略？你对画图、列表、假设和转化这些策略的应用，有哪些新的认识？还有哪些收获？

10 解决问题的策略整理与复习（3）

教学内容：

教材P80 “练习与实践”第10-13题，思考题。 教学目标：

1.学生能应用假设、列举等策略分析和解决实际问题，能根据问题特点选择恰当的策略或综合运用策略解决实际问题，并能解释和说明选择的策略和思路。

2.学生能根据策略说明分析问题的思考过程，提高根据问题特点灵活选择、应用策略的能力，提高分析、推理等思维能力和解决问题的能力。

3.学生加深对数学和现实生活联系的体会，进一步体会数学策略、方法在解决实际问题中的应用价值，培养应用数学策略的意识。

教学重点：用假设、列举等策略解决问题。 教学难点：根据问题特点选择合适的策略解决问题。 教学过程：

一、揭示课题

谈话：前两节课我们复习了解决问题的相关内容和策略，主要复习了应用从条件或问题想起、画图、列表和转化等策略解决实际问题。今天继续复习解决问题，主要应用假设、列举等策略解决问题，了解一些实际问题特点和相应的策略，提高解决问题的能力。

二、练习与实践 1．做“练习与实践”第10题。

要求学生读题，看懂表格里的意思。

提问：能说说习题的意思吗？表格里已经填写的分别表示的是什么？

引导：请你在表格里填一填，看看是怎样变化的，经过几次白子和黑子枚数相等，然后根据填表的过程想想可以怎样列式解答，自己列式计算。

学生独立填表，列式解答。

交流：你是怎样填表的？用列表的方法，可以看出这样取放多少次后，白子与黑子正好相等？

你是怎样列式的？能说说怎样想的吗？ 追问：解答这道题时用的什么策略？ 2．做“练习与实践”第11题。

让学生说说题里告诉哪些条件，要求什么问题。

提问：把长90米的绳子分成的三段长度有什么关系？

引导：你准备怎样理清三段绳长的关系，怎样解决问题？同桌讨论一下。 交流：你准备怎样理清绳长的关系？你想怎样解决问题呢？可以有哪些假设的方法？

引导：请你选择一种假设的方法，列式解答。 交流：你怎样假设的？说说你的算式。 用不同假设的同学来说说你的方法。 提问：解答这个问题用了哪些策略？ 3．做“练习与实践”第12题。

让学生观察、阅读，把情境组织成实际问题。

引导：你想怎样解答？自己想一想可以用什么策略解决，然后列式求出结果。 学生解答，教师巡视、指导，指名学生板演。

交流：大家看看这里是怎样解答的，用了什么策略？ 追问：你是怎样假设的？

提问：还可以怎样假设？哪位同学用了这样的假设策略的？说说你的解答过程。

追问：假设的方法虽然不同，但都是根据哪个条件假设的？ 4．用恰当的策略解决下列问题。

出示：货场要运货50吨，用2辆大货车和6辆小货车正好运完。一辆大货车的载重量比一辆小货车多3吨，大货车的载重量是多少吨？小货车呢？

提问：这道题和上面的有什么不同？

引导：想想可以用什么策略解决，自己解答。有困难的可以讨论。 学生解答，教师巡视，指名不同假设方法的学生分别板演。 交流：解答这道题能用什么策略？可以怎样假设呢？ 哪一种解法假设都是小货车的？怎样思考的？

假设都是大货车时要注意什么呢？这里每一步表示的什么意思？ 提问：这里用假设策略时要注意什么？ 5．做“练习与实践”第13题。 （1）指名学生读题。

引导：你能按要求先在表里假设两种门票的张数，再通过调整找出答案吗？那请你自己假设、调整找出答案。

学生假设完成，教师巡视。

交流：你是怎样假设的？这样假设后怎样调整的？

还有假设不同的张数再调整的吗？ 提问：调整时，每张按多少元调整的？

（2）引导：你能用假设的策略列算式解答吗？自己列式解答。 学生列式解答，教师巡视，指名不同假设策略的同学板演。 引导：两种解法，你用了哪一种，怎样想的？；另一种呢？

三、拓展提高

解决思考题。 学生说明条件和问题。

引导：想一想可以用怎样的策略解决问题，用你想到的策略解决，看看能不能得出结果。如果有困难，可以在四人小组里讨论方法。学生解答，教师巡视、交流指导。

交流：你得出的结果是几比几？你是怎样解答的？

四、课堂总结

提问：这节课主要用到了哪些策略？能根据上面的练习说说哪些题适合用假设策略，哪些题适合用列举策略吗？

11 式与方程整理与复习（1）

教学内容：

教材P81-82“整理与反思”、“练习与实践”第1-4题。 教学目标：

1.学生加深理解用字母表示数的意义及方法，进一步体会方程的意义及方程与等式的关系，会用等式的性质解方程，能列方程解答简单的实际问题。2.学生进一步提高用字母的式子表示数量关系的能力，增强符号意识，体会方程思想；进一步提高分析问题和解决问题的能力。

3.学生主动参与整理和练习等学习活动，进一步感受数学与日常生活的紧密联系，体验学习成功的乐趣，发展数学学习的积极情感。

教学重点：掌握方程的意义及解方程的方法。 教学难点：用含有字母的式子表示数量关系。 教学过程：

一、谈话导入

谈话：这节课，我们复习“式与方程”的有关知识。（板书课题）

今天主要复习其中的字母表示数、方程的意义和解方程，并且列方程解决一些简单的实际问题。通过复习进一步掌握用字母表示数，提高解方程和列方程解决简单实际问题的能力。

二、回顾整理

1．复习用字母表示数。

（1）回顾举例。

提问：你能举出一些用字母表示数的例子吗？先独立思考，再与同桌交流。 小组交流后组织汇报，教师相应板书： ①表示计算公式，如C=2（a+b）。 ②表示运算律，如a+b=b+a.③表示数量关系，如s=vt。

提问：用字母可以表示这么多的内容，那么在用字母表示数的乘法式子里，你觉得应该提醒大家注意些什么？

（2）做“练习与实践”第1题。

学生独立在书上完成，教师巡视、指导。 集体订正，选择几题让学生说说是怎样想的。

追问：第（3）题是怎样根据a=3求周长4a和面积a各是多少的？ 提问：列含有字母的式子，是根据数量之间的联系，用字母表示数列出相应的式子。求含有字母式子的值，只要把字母的值直接代入式子计算结果。

2．复习方程与等式。

（1）复习方程的概念。

下面的式子中，哪些是方程，哪些不是方程？为什么？

4203x=15 x-2 x-9x=21

218÷3=6 16+4x=40 a+4＜b 提问：根据刚才的判断，你能说说什么是方程吗？一个式子是方程，必须具备什么条件？

方程与等式有什么关系？请你说一说，并从上面式子中找出例子说明。 根据学生回答呈现集合体。 帮助学生进一步理解：方程是含义未知数的等式；方程是等式，等式不一定是方程。

（2）复习等式的性质及解方程。 ①等式的性质。

提问：等式的性质有哪些？等式的性质有什么应用？

提问：怎样应用等式的性质解下面的方程？说说你的想法。

1出示：x-3=15 0.5x=1 x÷2=2 根据学生说明板书解方程。

指出：根据方程里已知数和未知数的关系，应用等式的性质使方程左边只剩下x，就能求出方程的解。

②做“练习与实践”第2题。 学生观察第2题。

提问：你会解这些方程吗？请你独立解方程。 学生解方程，指名板演。

集体校对，让学生说说解方程的思路。

指名说说检验的方法，选择一题板演检验过程。

提问：解方程与方程的解有什么区别？请你选择一题说说它们的区别。 3．复习列方程解决实际问题。

（1）谈话：学习方程是为了用它解决生活中的实际问题，请同学们回忆一下，列方程解决实际问题的一般步骤有哪些？你认为最关键的是哪一步? 结合学生回答，教师板书: 第一步：弄清题意，用x表示未知数。 第二步：找出等量关系。 第三步：列出方程并解方程。 第四步：检验，写答句。

（2）说出下面各题中数量之间的相等关系。 ①果园有桃树和柳树共1000棵。 ②红花比黄花少25朵。

③学校航模组的人数是美术组的3倍。 ④花金鱼比黑金鱼的1.2倍还多8条。

让学生独立思考，指名说出等量关系，明确要根据条件表示的意思确定数量间的相等关系。

三、巩固深化

1．做“练习与实践”第3题。 学生读题后独立解答。

集体交流，学生说出解题思路，教师板书等量关系和方程，并解方程。 说明：这题的关键是根据条件找出等量关系，再根据等量关系列出方程。 2．做“练习与实践”第4题。 学生读题，理解题意。

提问：鞋的码数与厘米数之间有怎样的关系？ 学生独立完成，把书上的表填写完整。 集体交流，让学生说说是怎样思考的。

追问：求b的码数和求a的厘米数有什么不同？

四、课堂小结

这节课我们复习了哪些知识？你有什么收获？

12 式与方程整理与复习（2）

教学内容：

教材P82“练习与实践”第5-9题。 教学目标：

1.学生进一步掌握列方程解决实际问题的步骤和思路，能根据题意说说数量间的相等关系，正确地列方程解答相关实际问题。

2.学生在分析问题、解决问题的活动中，进一步提高分析数量关系和用方程表示数量关系的能力，体会，模型思想，积累解决问题的经验，发展数学思考。3.学生进一步体会列方程解决实际问题的意义和价值，感受数学与现实生活的联系，培养应用意识；在应用知识的过程中体验成功的乐趣，激发数学学习的兴趣。

教学重点：列方程解决实际问题。

教学难点：分析和理解实际问题的数量关系。 教学过程：

一、揭示课题

谈话：这节课，我们继续复习方程的相关知识，主要复习列方程解决实际问题。（板书课题）

通过复习，进一步掌握列方程解决实际问题的方法，提高用方程解决实际问题的能力。

二、基本练习

1．解答下列问题。

引导：上节课已经复习过列方程解决简单的实际问题，现在再看一道题，大家独立列方程解答，并想想按怎样的步骤解答的，关键是哪一步。

出示：甲、乙两地间的公路长240米，一辆汽车从甲地开往乙地，行驶了1.5小时后离乙地还有75千米。这辆汽车的速度是多少千米╱时？

学生独立读题并列方程解答，指名板演。 交流：这题是怎样解答的？说说是怎样想的。 方程是根据怎样的等量关系列出来的？

还能找出怎样的等量关系？根据这个等量关系可以怎样列方程？ 2．把下列各题中数量间的相等关系填写完整，并列出方程。

（1）学校书法组有42人，比音乐组的2倍少4人。音乐组有多少人？

○ =书法组人数

○ =4人

（2）学校书法组和音乐组一共42人，书法组人数是音乐组的2倍。书法组和音乐组各有多少人？

○ =书法组和音乐组一共的人数 学生独立读题，完成数量关系式，设未知数并列出方程。

指名学生说出等量关系，设未知数为x，口头列出方程；根据交流呈现等量关系式和相应的方程。

追问：方程是根据什么列出的？

三、应用练习

1．做“练习与实践”第5题。

学生读题，理解题意。

学生独立解答，教师巡视，指名列不同方程的学生板演。

集体交流，让学生说说这是哪一类实际问题，不同方程相应的等量关系各是怎样的，检查列方程解题过程。

2．做“练习与实践”第6题。 学生读题后独立解答。 集体交流，让学生说说解答这题的数量关系式和方程，教师板书。

3．出示：水果店运来苹果的千克数是橘子的3倍，一共480千克。运来橘子多少千克？

引导：同桌相互说说数量之间的相等关系，应该怎样列方程。 提问：这里数量间有怎样的相等关系？方程怎样列的？ 4．做“练习与实践”第7题。 学生读题后独立解答，指名板演。

集体交流、评议，让学生说说思考的过程，应该怎样找数量间的相等关系。 5．做“练习与实践”第8题。

指名学生读题，说说题中的条件和问题。 提问：你能说说“甲种衬衫按四折销售”和“乙种衬衣按五折销售”的意思吗？

学生独立解答，教师巡视、指导。

集体交流，提问：这题中单位“1”的量是什么？数量关系式应该怎样列？ 引导：比较第

7、8题，为什么都用方程解答？列方程时怎样表示题里两个未知数量的？

四、拓展练习

出示“练习与实践”第9题，引导学生了解题意。 （1）出示数表和3个方框。 ①让学生按横框直接在书上的数表里框4个数，同桌相互说说自己框的4个数之间有什么关系。

要求再框几次，验证自己发现的关系，看看能发现什么规律。 提问：这样每次框出的4个数之间有什么关系？

如果用a表示框里的第一个数，后面3个数分别怎样表示？自己想一想、填一填。

交流：你是怎样填的？说说你的想法和填的结果。 引导：这4个数的和可以怎样表示？ 学生计算，教师巡视。

集体交流，教师相机板书：4a+6。

②引导：请每人分别用另两个长方形框连续框几次，看看又能发现什么规律，在下面每个相应的框里表示其余3个数，看看和可以怎样表示。如果有困难，可以同桌商量完成。

学生活动，教师巡视、指导。

集体交流，让学生说说填写的结果及思考的过程，呈现并板书交流的结果。 （2）框数、猜数游戏。 出示第（2）题，了解要求。

引导：框出4个数算出它们的和，能不能按刚才表示4个数和的式子，说出4个数各是多少呢？谁愿意来报出一组4个数的和，大家想一想这4个数分别是多少？

指名一人报出和，其余学生说出4个数，交流结果和思考方法，引导学生了解可以根据表示和的式子试着列方程，看能根据哪个式子列出方程求出结果。

要求：现在同桌两人一组，一人框4个数说出和，另一人说出这4个数；两人交换进行游戏。

学生活动，教师巡视、指导。

提问：根据4个数的和说出4个数各是多少，其实是用到了什么知识？

五、课堂总结

提问：这节课复习了什么内容？你又有哪些新的认识和收获？还有什么不懂的问题？

13 比和比例整理与复习

教学内容：

教材P83-84“整理与反思”、“练习与实践”第1-6题。 教学目标：

1.学生进一步巩固比和比例的意义、性质，加深认识比和分数、除法之间的联系；进一步认识比例尺，巩固解比例的方法，能应用比和比例的知识解决有关实际问题。

2.学生在回顾整理与练习应用的过程中，进一步认识知识的内在联系，加深对数量比较的认识，提高分析、推理、判断等思维能力，增强运用比和比例知识解决实际问题的能力。

3.学生在复习过程中感受数学知识系统性的特点，体验数学与生活实际的密切联系，培养学生的数学应用意识，激发学生学习数学的自信心。

教学重点：比和比例的意义、性质及应用。 教学难点：正确解答有关比和比例的问题。 教学过程：

一、揭示课题

谈话：这节课我们要对比和比例的相关知识进行整理和复习。在整理与复习过程中，同学们要主动回顾、整理比和比例的知识，系统掌握比和比例的知识及应用，进一步增强运用比和比例知识解决实际问题的能力。

二、知识梳理 1．唤醒记忆。

提问：请同学们回忆一下，我们学过了比和比例的哪些内容？ 学生自由回答，教师相应板书。 2．复习比的知识。 （1）出示问题：

①什么是比？什么是比的基本性质？用比的知识可以解决哪些实际问题？ ②比和分数、除法有什么联系？

③什么叫求比值？什么叫化简比？请你举例说明。

学生在小组里交流，互相补充、修正，教师巡视、指导。 （2）全班交流。

①什么是比？什么是比的基本性质？用比的知识可以解决哪些实际问题？ 结合交流，教师相应板书。

②引导：比和分数、除法有什么联系呢？请你填写课本上的式子，相互说一说它们之间的联系和区别。

集体交流，教师相应板书。 提问：能根据这个式子说说比和分数、除法之间的联系吗？它们有什么区别？ 提问：比的基本性质是什么？比的基本性质与分数的基本性质、商不变的规律有什么联系？

交流小结比的基本性质，依据相互间的联系说明比的基本性质与商不变的规律、分数的基本性质本质上是相同的。

③什么叫求比值？什么叫化简比？求比值和化简比的依据和结果有什么不同？

结合交流，教师相应板书。

（3）做“练习与实践”第1题。 学生独立完成，填写在书上。

集体交流，让学生说说是怎样想的。 3．复习比例的知识。

（1）出示问题：

①什么是比例？什么是比例的基本性质？写出一个比例说说自己的认识。 ②什么是解比例？怎样应用比例的基本性质解比例？举例说一说。 ③什么是比例尺？根据比例尺求图上距离或实际距离的方法是怎样的？ 小组讨论、交流。

（2）按出示的问题全班交流，结合学生回答，相应板书。

三、组织练习

1．做“练习与实践”第2题。

出示第（1）题，学生根据要求先量出每副图片的长和宽，并写出长和宽的比。 集体交流，有错的同学订正。

提问：估计哪两个比能组成比例？你是怎样估计的？ 让学生算一算，写出比例。

交流写出的比例，说明能组成比例的理由，并与估计结果比较。 2．做“练习与实践”第4题。

（1）出示统计表。

引导：你理解表中每个百分数的含义吗？选择几个百分数，在小组里相互说说它的含义。

小组交流后指名汇报，选择2至3个百分数说说含义。 （2）出示问题（1）。

指名学生口答，并让学生说说思考的过程。

（3）提问：从表中还能获得哪些信息？你还能提出哪些问题？ 学生小组讨论后集体交流。 3．做“练习与实践”第5题。 （1）学生读题，理解题意。

让学生自己写出比，并求出每种地砖的铺地面积。 交流：两种地砖面积的比是怎样的？说说你的方法。

（2）提问：求两种地砖铺地面积是怎样的问题？你是怎样解答的？ 结合学生回答，教师板书算式、得数，并让学生说说每一步求的什么？ 提问：按比例分配实际问题有什么特点？解答时通常应该怎样想？ 4．做“练习与实践”第6题。

指名学生读题，了解题意。

要求学生独立操作、计算，教师巡视、指导。

集体交流，让学生说说是用怎样的方程计算的，注意理解不同的思路、方法。 追问：这里不同的解题方法各是怎样想的？

四、课堂总结

提问：今天这节课我们复习了哪些内容？在整理与复习的过程中，你又有了哪些收获和体会？

14 正比例和反比例整理与复习

教学内容：

教材P84-85 “练习与实践”第7-10题。

教学目标：

1.学生进一步认识成正比例和反比例的量，掌握两种量是否成正比例或反比例的思考方法，能正确判断两种量成不成比例，成什么比例。

2.学生通过判断两种相关联的量是否成正比例或反比例，加深理解成正比例和反比例关系的特点，体会数形结合和函数思想，提高分析、判断和初步演绎推理能力。

3.学生进一步体会生活中常见的相关联的变换关系，感受比和比例的应用价值，体会不同领域数学内容之间的联系，激发学习数学的积极性。

教学重点：正确判断两种相关联量的正比例和反比例关系。 教学难点：有条理地说明判断正、反比例的理由。 教学过程：

一、揭示课题

谈话：上节课我们复习了比和比例的相关知识，这节课我们一起复习正比例和反比例。（板书课题）

通过复习，进一步认识正比例和反比例的意义、正比例图像，了解正、反比例的区别和联系，掌握判断两种量是否成正比例或者反比例的方法，能正确地进行判断。

二、回顾梳理

1．提问：请同学们回忆一下，怎样的两种量是成正比例的量？怎样的两种量是成反比例的量？

根据学生回答板书。

提问：你能举一些生活中成正比例或反比例的例子吗？在小组里相互说一说。 全班交流，让学生举例说一说。 2．做“练习与实践”第7题。

提问：每张表里有哪两种量？每张表里的两种量是成正比例、反比例，还是不成比例？先独立分析每张表的数量变化过程，再把你的想法与同桌交流。 集体交流，引导学生判断并说明理由。

提问：我们是怎样判断两种量成不成比例，成比例的是成正比例还是反比例的？

3．做“练习与实践”第8题。

学生理解题意后独立思考，判断结论。

指名学生说说各题中两种量是否成比例，成比例的是成正比例还是成反比例，并说明理由，结合交流板书相应的关系式。

三、综合练习

1．做“练习与实践”第9题。 （1）学生练习。

出示第9题，让学生说说图中的信息。

要求学生独立思考和完成第（1）-（3）题，再和同桌相互说一说。 （2）学生交流。

①提问：这辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油量成正比例吗？为什么？ 让学生判断并说出判断理由。

②让学生说说问题（2）判断的方法。

结合图像说明：可以先在横轴上找到表示75千米在图像上的对应点，再通过图像上的对应点找出和确定耗油升数。

③出示学生根据第（3）题画出的图像。

提问：怎样描出路程和耗油量对应的点画出图像的？

2．做“练习与实践”第10题。 出示表格，让学生说说表中的信息。 （1）出示问题（1），提出要求： ①画一画：根据表中数据描点连线。

②议一议：哪一杯中纯酒精与蒸馏水体积的比和其他几杯不一样？在小组里交流你的想法和理由。

学生独立操作后小组讨论。

集体交流，展示学生画出的图像，说说是怎样画的。 让学生判断结果，并说出理由。 （2）出示问题（2）（3），学生独立解答。

集体交流，让学生说说解答结果及思考方法。

四、课题总结

提问：通过这节课的复习，你有什么收获？还有什么困惑吗？

推荐第3篇：高等代数教案第一章基本概念

第一章

一 综述

基本概念

1．本章是本门课程所需要的最基本概念（集合、映射、整数的一些性质、数环和数域）和方法（数学归纳法、反证法）.所需位置不同,可根据课时安排及进度分散处理.如集合、整数的一些整除性质、数学归纳法、数环和数域可先讲,映射可放在线性空间前讲.2．从内容上讲,除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外,其它内容是学生在中学数学当中熟知的,只不过是将有关内容的系统化、理论化（如整数的整除性、映射、数学归纳法,其在中学中熟知其一些事实,今在理论上加以严密论证）.3．新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念,数学归纳法作为定理的论证.4．学习本部分的难点是：从概念出发进行推理论证,这需要从具体例子引导训练,逐步培养.二 重点、难点

1.重点在于所有基本概念,特别是引入的新概念.2.难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明.

1．1

集

合

一 教学思考

1．集合可以作为不定义的概念来处理,有些教材上给出了一个简单刻化.2．确定一个集合A,就是要确定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.说明一个集合包含哪些元素时,常用“列举法”、“示性法”（描述法）.3．中学代数大部分的内容是计算,因此一开始遇到证明题时,往往不知从何入手,此需注意培养学生的推理能力,这里应通过证明“集合相等”来加强这方面的训练.4．为稍拓宽知识,可讲解一下补集、幂集等概念.二 重点、要求

1．重点、难点：卡氏积的概念及从概念出发（集合相等、子集等）进行推理.2．要求：使学生了解有关集合的刻化及运算,培养推理能力.三 教学过程

1．集合：简称集,在此是一个不定义的原始概念,通常可给出如下描述性的解释：即所谓集合,是指由某些确定的事物（或具有某种性质的事物）组成的集体.其中每个事物称为这个集合的元素.常用大写字母A、B、C表示集合,用小写字母a、b、c表示集合的元素.若a是集合A的元素,就说a属于A,记作aA,或者说A包含a.若a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作aA,或者说A 不包含a.常采用两种方法：

（1）列举法：列出集合的所有元素（包括利用一定的规律列出无限集）的方法.如A1,2,3,.（2）示性法（描述法）：给出集合所具有的特征性质.如Bx|x3x40表示方程

2x23x40的解集.2．集合的分类（按所含元素的个数分）： 有限集：只含有有限多个元素的集合.无限集：由无限多个元素组成的集合.空集：不含任何元素的集合.用表示.约定：是任何集合的子集.3．集合间的关系：

（1） 设A、B是两个集合.

\"xAxB\"）子集：若A的每个元素都是B的元素,则称A是B的子集（即若..记作AB

- 1如：f:RR,xx;g:RR,x2．映射的合成

x2.有fg.（1）定义3.设f:AB,g:BC是两个映射,对xA,有f(x)B,从而g(f(x))C,这样,对xA,就有C中唯一的g(f(x))与之对应,就得到A到C的一个映射,这个映射是由f:AB和g:BC所决定的,称为f与g的合成.记作gf.即：gf:AC,xg(f(x)).

例子：f:RR,xx2;g:RR,xsinx .则

gf:RR,xsinx2;fg:RR,xsin2x.

（2）映射合成满足结合律：

设f:AB,g:BC,h:CD,则由合成映射的定义可得AD的两个映射：h(gf),(hg)f,则h(gf)(hg)f.3．几类特殊映射

定义4.设f:AB,对xA,有f(x)B,则所有这样的象所作成B的子集,用f(A)表示,即f(A)f(x)|xA,叫做A在f下的象,或叫做映射f的象.（1）满射: 定义5.设f:AB是一映射,若f(A)B,则称f是A到B上的一个映射,也称f是一个满射.（2）单射: 定义6.设f:AB是一个映射,若对x1,x2A,只要x1x2,就有f(x1)f(x2),则称f是A到B的一个单射,简称单射.（3）双射（1-1对应）:定义7.若f:AB既是单射又是满射,即

1）若 f(x1)f(x2)x1x2,x1,x2A；

2）f(A)B.则称f是A到B的一个双射.特别若f是A到A上的一个1-1对应,就称f为A的一个一一变换；有限集A到自身的双射称为A的一个置换.如：jA是A的一个一一变换,同样jB是B的一个一一变换.由映射合成及相等：若f:AB,则有fjAf,jBff.TH1.2.1令f:AB是一个映射,则：下述两条等价：1）f是双射；2）存在g:BA使得gfjA,fgjB.且2）成立时,其中的g由f唯一决定.（4）可逆映射及其逆映射

定义8.设f:AB,若存在g:BA,使得gfjA,fgjB,则称f是可逆映射,且称g为f的逆映射.求其逆的方法

由定理知：f:AB可逆f是双射.而验证双射有具体方法,所以可先证f可逆（双射）,再求其逆.而由TH1证知f可逆时其逆唯一为g:BA,yx（若f(x)y)（即对yB,找在f下的原象）.（5）代数运算

引例：我们常说整数加法是整数的一个“代数运算”.其意思是说对任一对整数(a,b),有确定的唯一一个整数（通过相加）与之对应,用映射的观点来说整数加法是ZZZ的一个映射：:(a,b)ab.同样实数乘法亦然.一般地：

定义9.设A是一个非空集合,我们把AAA的一个映射叫做集合A的一个代数运算.若集合A 有代数运算,也说A对封闭.

- 3要从中体会严格的推理论述.此与多项式相应的问题平行,到时应对照学习.1.整除、带余除法 （1）整除

这时a叫做b的一个因数,而b叫做a的一个倍数.若a不整除b（即对dZ,adb）,记作a|b.B）整除的性质：

1）a|b,b|ca|c；

（传递性） 2）a|b,a|ca|(bc); 3）a|b,cZa|bc；

4）由2）、3）a|bi,ciZ,i1,2,3,,na|bcii；

5）1|a,a|0,a|a(aZ)；由此任意整数a有因数1,a,它们称为a的平凡因数； 6）若a|ba|b；

7）a|b且b|aab或ab.（对称性） (2) 带余除法

“整除”是整数间的一种关系,任意两个整数可能有这种关系,可能没有这种关系,一般地有：

TH1.4.1(带余除法) 设a,bZ,且a0；那么q,rZ使得baqr

且0ra.满足上述条件的q,r是唯一的.2.最大公因数、互素 （1）最大公因数

且c|a,c|bc|d（即d能被a与b的任一个公因数整除）.则称d为a与b的一个最大公因数.最大公因数的概念可推广至有限个整数.B）最大公因数的存在性（及求法）

TH1.4.2 任意n(n2)个整数a1,a2,,an都有最大公因数；若d为a1,a2,,an的一个最大公因数,则d也是；a1,a2,,an的两个最大公因数至多相差一个符号.C）性质

TH1.4.3 设d为a1,a2,,an的一个最大公因数,那么t1,t2,,tnZ使得A）定义1.设a,bZ,若dZ使得bad,则称a整除b（或b被a整除）.用符号a|b表示.d|a且d|bA）定义2.设a,bZ,dZ,若d满足：1）（即d是a与b的一个公因数）；2）若cZdt1a1ta22tnan.略证：若a1a2an0,则d0,从而对tiZ都有0t1a1t2a2tnan；若ai不全为0,由证明过程知结论成立.

（2）互素

定义3.设a,bZ,若(a,b)1,则称a,b互素；一般地设a1,a2,,anZ,若(a1,a2,,an)1,则称a1,a2,,an互素.3.素数及其性质

（1）定义4.一个正整数p1叫做一个素数,若除1,p外没有其他因数.（2）性质

1）若p是一个素数,则对aZ有(a,p)p或(a,p)1.（注意转换为语言叙述,证易；略）

2）aZ且a0,1；则a可被某一素数整除.3）TH1.4.5 设p是一个素数,a,bZ,若p|ab,则p|a或p|b.

TH1.4.4 n个整数a1,a2,,an互素t1,t2,,tnZ使得t1a1t2a2tnan1.

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推荐第4篇：高等代数教案第四章线性方程组

第四章

线性方程组

一 综述

线性方程组是线性代数的主要内容之一.本章完满解决了关于线性方程组的三方面的问题,即何时有解、有解时如何求解、有解时解的个数,这在理论上是完美的.作为本章的核心问题是线性方程组有解判定定理（相容性定理）,为解决这个问题,从中学熟知的消元法入手,分析了解线性方程组的过程的实质是利用同解变换,即将方程的增广矩阵作行变换和列的换法变换化为阶梯形（相应得同解方程组）,由此相应的简化形式可得出有无解及求其解.为表述由此得到的结果,引入了矩阵的秩的概念,用它来表述相容性定理.其中实质上也看到了一般线性方程组有解时,也可用克莱姆法则来求解（由此得所谓的公式解——用原方程组的系数及常数项表示解）.内容紧凑,方法具体.其中矩阵的秩的概念及求法也比较重要,也体现了线性代数的重要思想（标准化方法）.线性方程组内容的处理方式很多,由于有至少五种表示形式,其中重要的是矩阵形式和线性形式,因而解线性方程组的问题与矩阵及所谓线性相关性关系密切；本教材用前者（矩阵）的有关问题讨论了有解判定定理,用后者讨论了（有无穷解时）解的结构.实际上线性相关性问题是线性代数非常重要的问题,在以后各章都与此有关.另外,从教材内容处理上来讲,不如先讲矩阵及线性相关性,这样关于线性方程组的四个问题便可同时讨论.二 要求

掌握消元法、矩阵的初等变换、秩、线性方程组有解判定定理、齐次线性方程组的有关理论.重点：线性方程组有解判别法,矩阵的秩的概念及求法.

4.1 消元法

一 教学思考

本节通过具体例子分析解线性方程组的方法——消元法,实质是作方程组的允许变换（同解变换）化为标准形,由此得有无解及有解时的所有解.其理论基础是线性方程组的允许变换（换法、倍法、消法）是方程组的同解变换.而从形式上看,施行变换的过程仅有方程组的系数与常数项参与,因而可用矩阵（线性方程组的增广矩阵）表述,也就是对（增广）矩阵作矩阵的行（或列换法）初等变换化为阶梯形,进而化为标准阶梯形,其体现了线性代数的一种重要的思想方法——标准化的方法.二 内容要求

主要分析消元法解线性方程组的过程与实质,以及由同解方程组讨论解的情况（存在性与个数）,为下节作准备,同时指出引入矩阵的有关问题（初等变换等）的必要性,矩阵的初等变换和方程组的同解变换间的关系.三 教学过程

11x213x2x3151．引例：解方程组x1x23x3

3（1）

32x4x5x21233定义：我们把上述三种变换叫做方程组的初等变换,且依次叫换法变换、倍法变换、消法变换.2．消元法的理论依据

TH4.1.1初等变换把一个线性方程组变为与它同解的线性方程组（即线性方程组的初等变换是同解变换.）

3．转引

在上面的讨论中,我们看到在对方程组作初等变换时,只是对方程组的系数与常数项进行了运算,而未知数没有参加运算,也就是说线性方程组有没有解以及有什么样的解完全决定于它的系数和常数项,因

- 1a11a21Aa12a22a1na2n,则A可经过一系列行初等变换和第一种列初等变换化为如下形式：

am1aam2mn1010001brr1； 000000000000进而化为以下形式：

1000c1r1c1n0100cc2r12n0001crr1crn.其中r0,rm,rn,\"\"表示不同的元素.0000000000005）用矩阵的初等变换解线性方程组

a11x1对线性方程组：a12x2a1nxnb1ax1a22x2a2nxnb212

（1） am1x1am2x2amnxnbma11a12a1n由定理1其系数矩阵Aaaa21222n可经过行初等变换和列换法变换化为 am1am2amn1000c1r1c1n0100cc2r12n0001crr1crn；则对其增广矩阵 000000000000

- 3y1d1c1r1kr1c1nknydckck22r1r12nn2,这也是（1）的解,由kr1,,kn的任意性（1）有无穷多解.yrdrcrr1kr1crnknyr1kr1ynknx12x23x3x452x4xx3124例1 解线性方程组.x12x25x32x48x12x29x35x421解：对增广矩阵作行初等变换：

23151140132A01252801295210200100001212003213 60013x2xx24122同解,故原方程组的一般解为所原方程组与方程组113x3x42631x2xx42122.131x3x4624.2 矩阵的秩

线性方程组可解判别法

一 教学思考

1．本节在上节消元法对线性方程组的解的讨论的基础上,引入了矩阵的秩的概念,以此来表述有解判定定理,在有解时从系数矩阵的秩与未知数的个数间的关系可讨论解的个数,其中在有无数解时引入了一般解与通解的概念.2．矩阵的秩的概念是一个重要的概念,学生易出问题.定义的表述不易理解,应指出秩是一个数（非负整数）r,其含义是至少有一个r阶非零子式,所有大于r阶（若有时）子式全为0.重要的是“秩”的性质——初等变换下不变,提供了求秩的另一方法——初等变换法.3．本节内容与上一节和下一节互有联系,结论具体,方法规范,注意引导总结归纳.二 内容要求

1． 内容：矩阵的秩、线性方程组可解判定定理

2． 要求：掌握矩阵的秩的概念、求法及线性方程组求解判定定理 二 教学过程

1．矩阵的秩 （1）定义

- 5x1x2x31x1x2x3 xxx23124.3 线性方程组的公式解

一 教学思考

1．本节在理论上解决了当线性方程组有解时,用原方程组的系数和常数项将解表示出来——即公式解,结论的实质是克拉默法则的应用.其中过程是在有解判定的基础上选择r个适当方程而得,可归纳方法步骤（方程的选择、自由未知量的选择）,内容规范完整,理论作用较大,实用性较小.2．作为特殊的线性方程组——齐次线性方程组的解的理论有特殊的结果,易于叙述和理解,需注意其特殊性（与一般的区别,解的存在性、解的个数等）.二 内容要求

1．内容：线性方程组的公式解,齐次线性方程组的解

2．要求：了解线性方程组的公式解,掌握齐次线性方程组的解的结论 三 教学过程

1．线性方程组的公式解

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2

（1）有解时,用方程组的系数和常数项把解本节讨论当方程组am1x1am2x2amnxnbm表示出来的问题——公式解.处理这个问题用前面的方法——消元法是不行的,因为这个过程使得系数和常数项发生了改变,但其思想即化简得同解线性方程组的思想是重要的,所以现今能否用其它方法把（1）化简得同解方程组且系数和常数项不变,才可能寻求公式解.x12x2x32,(G1)为此看例,考察2x13x2x33,(G2)

（2）

4xxx7,(G)3123显然G1,G2,G3间有关系G32G1G2,此时称G3是G1,G2的结果（即可用G1,G2线性表示）.则方程组（2）与x12x2x32(G1)同解.2x3xx3(G)2321同样地,把（1）中的m个方程依次用G1,G2,,Gm表示,若在这m个方程中,某个方程Gi是其它若干个方程的结果,则可把（1）中的Gi舍去,从而达到化简的目的.即现在又得到化简（1）的方法：不考虑（1）中那些是其它若干个方程的结果,而剩下的方程构成与（1）同解的方程组.现在的问题是这样化简到何种程度为止,或曰这样化简的方程组最少要保留原方程组中多少个方程.由初等变换法,若（1）的r(A)r,则可把（1）归结为解一个含有r个方程的线性方程组.同样

TH4.3.1设方程组（1）有解,r(A)r(A)r(0),则可以在（1）中的m个方程中选取r个方程,使得剩下的mr个方程是这r个方程的结果.因而解（1）归结为解由这r个方程组成的方程组.下看如何解方程组：

- 7

推荐第5篇：数与代数教案四

数与代数教案四

1．运算定律。 加法交换律 a+b=b+a

加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)运算定律乘法交换律 a×b=b×a

乘法结合律 (a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配率 (a+b)×c=a×c+b×c

2．混合运算。

（1

里面的。）

计算：（710－18×4）÷

简便运算：

①2.5×12.5×4×8②4×43＋4×57

③（21－78）×17④5.03－2.14－1.86

推荐第6篇：近世代数

近世代数是数学的一个重要分支和学科,是20世纪初期形成的代数学结构体系, 也是当今代数化的最基础的研究对象和研究内容。它是以基本代数学为工具来进行分析和研究, 以研究代数系统的性质与构造为中心的一门学科, 是现代数学各个分支的基础。

我觉得近世代数的基本思想、基本理论与方法已经渗透到科学领域的各个领域与实际应用的各个方面, 据调查近世代数在编码和信息安全方面的应用更被认为是近几十年来纯粹数学应用的一个成功而光辉的典范。近世代数是我们大学数学系的重要基础课之一, 它具有严密的逻辑性和特有的抽象性。从我们师范教育的角度看，中学数学教学内容绝大部分是属于代数的，在一些难题中都必须用到近世代数相关知识。因此,近世代数成为数学系数学与应用数学师范与非师范类专业以及信息与计算科学专业的重要的专业必修课程之一。

在大一学习了高等代数后，我觉得近世代数这门课程是继学生学习完了高等代数后一门继续深人的课程。在这门课程中, 不仅积聚了大量的概念和定理,课后还汇集了大量的证明题。我觉得学好它有助于完善学生的知识结构体系、培养学生的抽象思维能力和严格的逻辑推理能力、提高学生的综合素质与运用创新能力。可以让学生展开想象的翅膀, 吸取理论的精华, 培养自己的创造性思维能力。

署名曾凤香2010-11-24

推荐第7篇：近世代数

近世代数是数学的一个重要分支和学科,是20世纪初期形成的代数学结构体系, 也是当今代数化的最基础的研究对象和研究内容。它是以基本代数学为工具来进行分析和研究, 以研究代数系统的性质与构造为中心的一门学科, 是现代数学各个分支的基础。

我觉得近世代数的基本思想、基本理论与方法已经渗透到科学领域的各个领域与实际应用的各个方面, 据调查近世代数在编码和信息安全方面的应用更被认为是近几十年来纯粹数学应用的一个成功而光辉的典范。近世代数是我们大学数学系的重要基础课之一, 它具有严密的逻辑性和特有的抽象性。从我们师范教育的角度看，中学数学教学内容绝大部分是属于代数的，在一些难题中都必须用到近世代数相关知识。因此,近世代数成为数学系数学与应用数学师范与非师范类专业以及信息与计算科学专业的重要的专业必修课程之一。

在大一学习了高等代数后，我觉得近世代数这门课程是继学生学习完了高等代数后一门继续深人的课程。在这门课程中, 不仅积聚了大量的概念和定理,课后还汇集了大量的证明题。我觉得学好它有助于完善学生的知识结构体系、培养学生的抽象思维能力和严格的逻辑推理能力、提高学生的综合素质与运用创新能力。可以让学生展开想象的翅膀, 吸取理论的精华, 培养自己的创造性思维能力。

署名曾凤香2010-11-24

推荐第8篇：高中数学复数教案

高中数学复数教案

教学目标：（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系； （3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．

教学重点难点：复数的概念，复数相等的充要条件．用复平面内的点表示复数Ｍ．

以及复数的运算法则

教学过程：

一、复习提问：

1．复数的定义。

2．虚数单位。

二、讲授新课

1．复数的实部和虚部：

复数z=a+bi中中的a与b分别叫做复数的实部和虚部

2．复数相等

如果两个复数的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。

3．用复平面（高斯平面）内的点表示复数

复平面的定义:立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面．

复数可用点 来表示．其中x轴叫实轴，y轴 除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上，不在虚轴上． 4．复数的几何意义：

复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的． 5．共轭复数

(1)复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数） （2）a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．（3复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称． 6.复数的四则运算：加减乘除的运算法则。 小结：

1．在理解复数的有关概念时应注意：

（1）明确什么是复数的实部与虚部；

（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；

（3）弄清复平面与复数的几何意义；

（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。

2．复数集与复平面上的点注意事项：

（1）复数 中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。

（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。

（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。

（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应： 3复数的四则运算的规律和方法。

推荐第9篇：高中数学集合教案

集合与集合的表示方法

(详案) 系别: 专业: 学号: 姓名:

数学科学学院

数学与应用数学 201200701082 刘晓程

一、教学目标

1.知识与技能目标

1．切实理解、掌握集合的定义．

2．正确判定元素与集合的关系，熟练使用符号，理解集合中元素的涵义．

3．掌握几种常用数集、熟练掌握集合的表示方法

2.过程与方法目标

引导学生通过观察、归纳、猜想、验证，对具体情境中的数学信息作出合理的解释，能用集合来描述事物的数学关系，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观目标

（1）通过形象生动的例子来陶冶学生的情操；

（2）通过观察、归纳、猜想、验证等教学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、学会，同时培养学生勇于探索，积极合作精神以及公平竞争的意识。

二、教学重点、难点与关键

教学重点：集合与集合的性质

教学难点：集合与集合的性质

教学关键：集合的表示方法

三、教学方法

本节课采用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动。首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数、数形结合，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对集合的全面的体验和理解。在确定集合的性质和寻求生活实例中的集合的过程中，引导学生观察、比较、分析和概括，以小组讨论的形式，进行合作探究．

四、教学过程

一、提出问题、引入新课

1、请写出小于10的自然数；（0、

1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、

8、9）

2、请写出小于9的偶数。

（

2、

4、

6、8）

二、开始新课

一、集合的与元素的定义

一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。

练习1：下列指定的对象中，能构成一个集合的是（124）

1、你所在的班级中，体重超过60kg的学生的全体；

2、大于5的自然数全体；

3、班级里性格开朗的女生的全体；

4、英语字母的全体；

5、与1接近的实数的全体。

二、集合、元素的表示：

集合通常用英文大写字母A、B、C···来表示，它们的元素通常用英文小写字母a、b、c···来表示。

三、集合与元素的关系：

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA，读作“a属于A”；反之，如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA，读作“a不属于A”。

例如：A表示方程X=1的解的集合，则1A，2A

四、集合中元素的性质：

（1）确定性：集合中的元素必须是确定的。

如：xA或xA必居其一

（2）互异性：集合的元素必须是互异或不相同的。

如：方程x—2x+1=0的解集为{1}而非{1，1} （3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的。

如：{1，2}，{2，1}为同一集合

五、集合的分类：

根据含有的元素的个数分为：有限集和无限集

问题：我们看这样一个集合：

{x│xx10}它有什么特征？

显然这个集合没有任何元素，我们把这样的集合叫做空集，记作φ。 练习2.（1）0------φ （2）{0}------φ 重要的特定数集：

非负整数集（自然数集）：N={0，1，2，3，4„}；

正整数集：N或N*={1，2，3，4，„}；

整数集：Z．

有理数集：Q；

实数集：R； 2

六、集合的表示方法：

（1）列举法：把集合的元素一一列举出来写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．

注意：用列举法表示集合时，列出的元素要求不遗漏，不增加，不重复，但与元素的列出顺序无关。

例如：A={xN│0

2述集合的方法．（常用于表示无限集），一般格式如下： {××××∣××××××××} ↑ ↑ ↑

该集合中的 分隔号 这些元素具有什么共同

元素是什么 性质、特征或表达式？

例如：{-1，1}； {x│x=1} 大于3的全体偶数构成的集合； {x│x>3, 且x=2n,nN}

练习3：用列举法表示下列集合：

1．大于0.9并且小于4.9的自然数的集合： 2．15的正因数的集合：

3．绝对值等于2的整数的集合： 用描述法表示下列集合：

1．绝对值等于5的实数的全体构成的集合： 2．不小于-2的全体实数的全体构成的集合： 3．梯形的全体构成的集合：

课堂小结：

1.集合的定义及其元素 2.集合、元素的表示 3.集合与元素的关系 4.集合元素的性质 5.集合的分类 6.集合的表示方法

课后作业：

教科书习题1.1-A第

1、

2、3题

习题1.1-B第

2、3题

1、使同学们初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法；

2、使同学们初步了解“属于”关系的意义；

3、使同学们初步了解有限集、无限集、空集的意义

推荐第10篇：高中数学等差数列教案

等差数列

教学目的：

1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；

2．会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题

教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式

教学难点：等差数列的性质

教学过程：

引入：① 5，15，25，35，„和② 3000，2995，2990，2985，„

请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？

共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列

二、讲解新课：

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的

差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{an},若an－an1=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公

2．等差数列的通项公式：ana1(n1)d【或anam(nm)d】 an的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：a2a1d即：a2a1d

a3a2d即：a3a2da12d

a4a3d即：a4a3da13d

„„

由此归纳等差数列的通项公式可得：ana1(n1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项a如数列①1，2，3，4，5，6； an1(n1)1n（1≤n≤6）

数列②10，8，6，4，2，„； an10(n1)(2)122n（n≥1） 数列③1234;,;,1,;an1(n1)1n（n≥1） 5555555

由上述关系还可得：ama1(m1)d

即：a1am(m1)d

则：ana1(n1)d=am(m1)d(n1)dam(nm)d

即的第二通项公式anam(nm)d∴ d=aman

mn

如：a5a4da32da23da14d

三、例题讲解

例1 ⑴求等差数列8，5，2„的第20项

⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13„的项？如果是，是第几项？

解：⑴由a18,d58253n=20，得a208(201)(3)49 ⑵由a15,d9(5)4得数列通项公式为：an54(n1)

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得40154(n1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100例2 在等差数列an中，已知a510，a1231，求a1,d,a20,an

解法一：∵a510，a1231，则 a14d10a12∴ana1(n1)d3n5



d3a111d31

a20a119d55

解法二：∵a12a57d31107dd3

∴a20a128d55ana12(n12)d3n小结：第二通项公式anam(nm)d

例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列un中，设数列的第s项和第t项分别为us和ut，计算usut

st

解：通过计算发现usut的值恒等于公差

st

证明：设等差数列{un}的首项为u1，末项为un，公差为d，usu1(s1)d



utu1(t1)d⑴-⑵得usut(st)d

usut

d st

(1) (2)

小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率

例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各解：设an表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列， 由已知条件，可知：a1=33,a12=110，n=12

∴a12a1(121)d,即10=33+11d解得：d7因此，a233740,a340747,a454,a561,

a668,a775,a882,a989,a1096,a11103,

答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.

例5 已知数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看anan1（n≥2）是不是一个与n无关的常解：当n≥2时, （取数列an中的任意相邻两项an1与an（n≥2））

anan1(pnq)[p(n1)q]pnq(pnpq)p为常数

∴{an}是等差数列，首项a1pq，公差为

注：①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

②若p≠0, 则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.

③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=p n+q (p、q是常数3通项公式

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足

3四、练习：

1.（1）求等差数列3，7，11，„„的第4项与第10项.解：根据题意可知：a1=3,d=7－3=4.

∴该数列的通项公式为：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈N*） ∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39.（2）求等差数列10，8，6，„„的第20项.解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.

∴该数列的通项公式为：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.

（3）100是不是等差数列2，9，16，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：根据题意可得：a1=2,d=9－2=7.

∴此数列通项公式为：an=2+（n－1）×7=7n－5.令7n－5=100,解得：n=15,∴100是这个数列的第15项.

（4）－20是不是等差数列0，－31，－7，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：

由题意可知：a1=0,d=－31∴此数列的通项公式为：an=－7n+7,令－7n+7=－20,解得n=47

2227

因为－7n+7=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.2.在等差数列{an}中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1与d; （2）已知a3=9, a9=3,求a12.

a11.解：（1）由题意得：a13d10,解之得：

d3a16d19（2）解法一：由题意可得：a12d9,解之得a111



d1a18d3

∴该数列的通项公式为：an=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴a12=0 解法二：由已知得：a9=a3+6d,即：3=9+6d,∴d=－1 又∵a12=a9+3d,∴a12=3+3×（－1）=0.Ⅳ.课时小结

五、小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－an1=d ，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：ana1(n1)d，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：anam(nm)d和an=p n+q (p、q是常数)的理解与应用.



第11篇：高中数学环保教案

会泽实验高中

一、背景说明：由于环境原因，许多城市都已实行限量用水。然而，如何做才能真正节约水呢？能节多少水？可以减少家庭多少水费的支出？让学生通过自己的调查和查看水表，了解家中用水的情况，并对采取节水措施前后用水量变化的现象进行分析，利用已有的数学知识进行统计和有关计算。通过讨论找出解决问题的方法。最后，和家人一起制订出一套合适的家庭节水方案。

二、活动的目的与意义：增强学生的节水意识，主动参与意识，保护环境从我做起从身边做起的意识。参加人员：高二（1）班全体学生

三、课时安排：6---8课时

四、活动过程：

（一）提出问题 引导关注

（提前布置：向家人了解家庭用水情况。）

1、提出问题：

（1）你家几口人？一个月用多少吨水？交多少水费？

（2）为什么每个家庭月用水量不一样？

（3）为什么要节约用水？怎样才能做到节约用水？

（二）展开探究 自主学习

1、设计研究方案

（1）收集、整理需要研究的问题。（减少家庭用水）

（2）共同制定研究问题的方案。

① 通过讨论拟订家庭节水措施。

a、刷牙时关上水龙头。

b、在淋浴中涂肥皂时关上水。

c、安装（或改造成）节水马桶。

d、淘米洗菜用过的水再做它用。

e、把衣服储满后才用洗衣机清洗，清洗衣服后的水再做它用。

f、随时关紧水龙头，安装节水龙头。

② 设计调查表格。

（3）出示水表挂图——复习查看水表的方法。（劳动课已学）

2、实施调查项目 整理调查结果

（1）记录：家中一周用水量（单位：吨）。采取节水措施后，再记录家中一周用水量。

注意：调查期间，除节水措施外，其它条件不要发生变化。

（2）计算：节水前后家中用水量的变化。如果水费价格为1.11元/吨，你们家一月可节约水费多少元？一年可节约水费多少元？将计算结果告诉父母及同学。 （3）作图：将节水前后的家中用水量及水费的变化，用条形统计图或折线统计图来表示。张贴在教室里。 （4）分析、比较调查结果。

（5）得出结论：采取节水措施后，减少了家庭用水。

3、了解水资源现状 进一步提高节约用水的意识 （1）播放资料：地球上水资源分布状况。 我国各大城市水资源现状。 马鞍山市城市居民用水的来源。 （2）讨论：

①地球是个水球有70%的水域面积，为什么说可供人类饮用的水十分有限？

②人类的活动对自然界水域的水质有哪些影响？

③了解马鞍山市水价调整情况，国家有关水的政策、法令等资料。 （4）思考；了解了水资源的现状后，你什么打算？

如果是从我做起，你能作些什么？

（三）实践应用 深化拓展

1、制订家庭节水方案：根据你家实际情况和家人一起制订一套适合的家庭节水方案。

2、集体交流：在全班交流各自的节水措施及活动体会。

3、综合分析，达成共识，再次制订适合多数家庭的节水措施。向全校师生发出实施家庭节水的倡议，并将倡议书张贴在社区。号召更多的家庭都能做到节约用水。

4、辅导学生将活动中的感悟撰写成科学小论文或调查报告。

5、表扬节水活动中做得好的学生及家庭，相互交流经验，鼓励大家坚持下去。

6、制定新一轮的研究计划。

五、预期的成果：

1、使学生初步掌握节约用水的方法，知道节约用水不仅可以减少家庭开支，更重要的是节约资源。

2、使学生会收集整理资料

3,、能够增强学生的节约用水意识，主动参与意识，保护环境从我做起。

第12篇：数与代数教案1（定稿）

五年级下册

第 9单元 总复习

第1课时

数与代数（1）

【教学内容】

教材第116页的第1题及第118页练习二十八第1～4题

【教学目标】

1.使学生进一步理解因数与倍数的含义，掌握因数、倍数的特征，能写出一个数的所有因数。

2.掌握2，5，3的倍数的特征，能利用这一特征解决一些问题。3.进一步理解质数和合数的含义，并能正确判断。 4.通过复习，能发现不懂的地方，并加以改正。 【教学过程】

一、知识梳理

1.因数与倍数。

（1）什么是因数？什么是倍数？请举例说明。 如：3×4=12 3和4是12的因数，12是3和4的倍数。 （2）你对因数和倍数还有哪些了解？

由学生自己回忆知识、语言表达所了解的知识点，教师引导学生着重说到下面几个问题：

①一个数的最小因数是1，最大因数是本身。 ②一个数的最小倍数是本身，没有最大倍数。

③一个数的因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的。

五年级下册

④一个数的因数与倍数是相互存在的，不能孤立说因数或倍数。 ⑤什么叫公因数，什么叫公倍数？ 2.2，5，3的倍数的特征。

（1）2的倍数有什么特征？是2的倍数的数称什么数？不是2的倍数的数称什么数？举例说明。

学生举例，教师板书。 偶数：2，4，6，8，10…… 奇数：1，3，7，9，11……

（2）5的倍数有什么特征？举例说明。 学生举例，教师板书。 5，10，25，35，40 教师：既是5的倍数，又是2的倍数有什么特征？

（3）3的倍数有什么特征？6的倍数，9的倍数一定是3的倍数吗？为什么？3的倍数一定是6的倍数吗？

提示：因为6=2×39=3×3 可以看出：6包含有因数3，9也包含因数3，从而得出：6的倍数中一定包含因数3，9的倍数也一定包含因数3。

所以，6和9的倍数一定是3的倍数。 3.质数和合数。

（1）什么样的数叫做质数？质数又称作什么数？ （2）什么样的数叫做合数？ （3）1是质数吗？是合数吗？

五年级下册

二、复习讲授

1.写出36的所有因数和100以内的倍数。（1）学生独立完成。

（2）说一说你是怎么写的，怎样写才能不缺写也不多写。 2.从下面四张卡片中取出三张，按要求组成三位数。 0 5 8 7 （1）奇数 。 （2）偶数 。

（3）5的倍数 。

（4）3的倍数 。 （5）既是2的倍数又是5的倍数 。 （6）既是2的倍数又是3的倍数 。

（7）是2，3，5的倍数 。 由学生独立完成，能写几个就写几个，然后，全班反馈，老师集体评价。

3.将下列各数填入相应的圈里（数字可重复使用） 1 2 4 8 9 10 12 15 21 57 91 68

五年级下册

练习要求：

（1）学生分别将各数写在相应的圈里。 （2）学生交流：说一说自己的判断过程。 （3）回答下列问题：

①自然数中，除了奇数，剩下的一定是偶数吗？为什么？举例说明。

②自然数中，除了合数，剩下的一定是质数吗？为什么？举例说明。

③所有的偶数都是合数吗？为什么？举例说明。 ④所有的合数都是偶数吗？为什么？举例说明。 ⑤所有的质数都是奇数吗?为什么？举例说明。

三、巩固作业

1.完成课本第118页的第1题。

此题是有关

2、

3、5倍数特征的习题，练习时，由学生独立完成，然后全班反馈。

2.完成课本第118页的第2～4题。

五年级下册

第3题：此题是巩固求两个数最大公因数和最小公倍数的习题。练习时，让学生独立完成，全班反馈。交流时，让学生说出求最大公因数与最小公倍数的方法。

第4题：此题是有关公倍数的实际问题。练习时，教师要引导学生理解题意：4个装一排正好能装完，6个装一排也正好装完，说明松花蛋的数量就是4和6的公倍数。学生明确题意后，让学生找出4和6的公倍数，并根据70多个松花蛋这个条件，判断出是72。

四、课堂作业

判断题。（对的打“√”错的打“×”） 1.5的倍数大于4的倍数。（ ） 2.4的倍数一定是2的倍数。（ ）

3.偶数加偶数和是偶数，奇数加奇数和是奇数。（ ） 4.自然数是由奇数和偶数组成的。（ ） 5.两个质数相乘，积一定是合数。（ ）

五、课堂小结

师：通过本节课的学习，你有什么收获？（学生交流） 【板书设计】

数与代数（1）

什么是因数？什么是倍数？

如：3×4=12 3和4是12的因数，12是3和4的倍数。

【教学反思】

五年级下册

本课时主要对因数与倍数的有关知识进行复习。由于概念较多，学生对此容易混淆，所以本课时教学时教师应先引导学生复习有关概念，并对这些概念进行辨析。此外，由于本单元的内容比较抽象，所以教师要有意识地培养他们的概括能力，这可通过相关练习让学生逐步体会。

第13篇：复数代数形式的四则运算教案

复数代数形式的四则运算

—乘除运算

授课人：霍阳

郜格

陈丹

董秀清

宋广东 指导教师：黄海鹏

一、教学目标：

1、理解复数代数形式的四则运算法则

2、能运用运算律进行复数的四则运算

3、培养类比思想和逆向思维

4、培养学生探索精神和良好的自学习惯

二、教学重点：复数的加减运算、乘除运算

三、教学难点：灵活准确地进行复数代数形式的四则运算及类比思想

四、教学方式：学生自主探究 教师指导学习

五、教学用具：多媒体

六、教学过程

（一） 知识回顾

1、复数的乘法运算

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数， 则它们积为z1•z2＝(a＋bi) (c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i

复数的积仍然为一个复数，复数的乘法与多项式的乘法相似。 复数乘法满足(1)交换律：z1•z2＝z2•z1；

(2)结合律(z1•z2)•z3＝z1•(z2•z3)； (3)分配律z1 (z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

2、共轭复数

实部相等而虚部互为相反数的两个数。复数z的共轭复数用z表示。

若z＝a＋bi，则z＝a－bi (a，b∈R)

zz＝a2＋b

2z+z=2a z-z=2bi

3、复数的除法运算(乘法的逆运算)

复数a＋bi除以复数c＋di的商是指

abi满足(c＋di) (x＋yi)＝a＋bi的复数x＋yi，记作 (c＋di≠0)

cdiabiacbdbcad根据复数相等的定义：＝2＋i 222cdicdcd利用共轭复数性质：

abi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)acbdbcad＝＝＝＋i cdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2c2d

2（二）习题讲解 例

1、已知复数z(13i)(1i)(13i)w,wzai(aR)，当 2时，

iz求a的取值范围。

思路：先根据四则运算法则算化简z，然后得w，然后球的解不等式。

例

2、已知复数z满足z5且(34i)z是纯虚数，则z=___________ 思路：先求z在代入模的运算，进而用共轭得出

例

3、已知复数z12i,z2z1i（1）求z2 （2）在ABC的三个内角

(2i1)z1C，求uz2的取值范围。 2w，进而求其模，zA，B，C依次成等差数列，且ucosA2icos2思路：（1）将z1代入式子求z2（2）利用三角形内角和、等差数列性质求得B，再利用二倍角公式求得u的最简解析式，进而利用三角函数的值域求范围。

七、小结

1、知识点：复数的求模公式、四则运算

2、知识点：复数的求模公式、乘法运算、复数的模

3、知识点：三角形内角和、等差中项、二倍角公式，升幂公式、降幂公式

八、作业

11

11、（1）已知z1510i，z234i，，求z.

zz1z2（2）已知(12i)z43i，求z及

2、

九、

zz.

教学反思：

第14篇：高中数学系列教案封面

高中数学系列教案

选修2-1

第二章 圆锥曲线与方程

陈

敏

江苏省海门中学数学教研室

第15篇：高中数学二次函数教案

二次函数

一、知识回顾

1、二次函数的解析式

（1） 一般式：顶点式：双根式：求二次函数解析式的方法：

2、二次函数的图像和性质

二次函数fxax2bxc(a0)的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 。

（1）当a0时，抛物线开口，函数在上递减，在上递增，当x

（2）当a0时，抛物线开口，函数在上递减，在上递增，当x

（3）二次函数fxaxbxc(a0) 2b2a时，函数有最值为b2a时，函数有最为。

当时，恒有 fx.0 ，当时，恒有 fx.0 。

2（4）二次函数fxaxbxc(a0)，当b4ac0时，图像与x轴有两个交点，2

M1(x1,0),M2(x2,0),M1M2x1x2a.

3.常见的实根分布情况设x1x2为f(x)=0（a>0）的两个实根。

（1）当x1m,x2m时，则有___________________

（2）当在区间（m,n）有且只有一个实根时，则有：__________________________

(3) 当在区间（m,n）有两个实根时，则有：_________________________________

(4)当在两个区间中各有一个实根mx1npx2q时，——————————

二、基础训练

1、已知二次函数fxaxbxc(a0)的对称轴方程为x=2,则在f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)中，相等的两个值2

为，最大值为。

22函数fx2xmx3，当x(,1]时，是减函数，则实数m的取值范围是3函数fxx2axa的定义域为R，则实数a的取值范围是

22 （4已知不等式xbxc0 的解集为11），则bc23

5若函数f(x)=(x+a)(bx+2a) (常数a、b∈R) 是偶函数，且他的值域为（-∞，4]，则6 设二次函数y=f(x)的最大值为13，且f(3)= f(-1)=5，则7已知二次函数f(x)x4ax2a6(xR)的值域为[0,),则实数a

三、例题精讲

例1 求下列二次函数的解析式 2

(1) 图像顶点的坐标为(2,-1),与y轴交点坐标为（0，11）；

(2) 已知函数f(x)满足f(0)=1,且f(x+1)-f(x)=2x；

(3) f (2)=0,f(-1)=0且过点（0，4）求f(x).例2 已知函数f(x)ax2(b8)xaab，当x(3,2)时，f(x)0,当x(,3)(2,)时，f(x)0。（1）求f(x)在[0,1]内的值域。

（2）若axbxc0的解集为R，求实数c的取值范围。

例3 已知函数f(x)ax2bx(a0)满足条件f(x5)f(x3)且方程f(x)x有等根，（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m,n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]？如果存在，求出m,n的值；若不存在说明理由。

2例4已知关于x的方程mx2+(m-3)x+1=0①若存在正根，求实数m的取值范围②2个正根m的取值范围③一正一负根m的取值范围④2个负根的m的取值范围

四、巩固练习

1.

2.若关于x的不等式x2-4x≥m对任意 x∈（0，1]恒成立，则 m的取值范围为不等式ax2+bx+c＞0 的解集为（x1,x2）(x1 x2

223 函数y2cosxsinx的值域为x

axb4 已知函数f(x)(a,b为常数且ab0)且f(2)1，f(x)x有唯一解，则yf(x)的解析式为

225.已知a,b为常数，若f(x)x4x3,f(axb)x10x24，则5ab26.函数f(x)4xmx5在区间[2,)上是增函数，则f(1)的取值范围是

7.函数f(x)=2x-mx+3, 当x∈[-2,+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2]时是减函数，

8.若二次函数f(x)axbxc满足f(x1)f(x2)(x1x2)则f(x1x2)9.若关于x的方程ax2x10至少有一个负根，则a的值为

10.已知关于x的二次方程x+2mx+2m+1=0

(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围。（2）若方程两根均在（0，1）内，求m的范围。

11.若函数f(x)=x+(m-2)x+5的两个相异零点都大于0，则m的取值范围是

12.设f(x)=lg(ax-2x+a) (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围；（2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围。 222222

第16篇：甘肃省高中数学优质课教案

甘肃省高中数学优质课教案

【授课教师】 苏文云

【授课地点】 临泽一中

【授课时间】 2007年11月3日

【教学内容】 抽象函数问题分类解析

【教学目标】

1、知识目标：

（1）、理解抽象函数并掌握抽象函数的一般解题策略；

（2）、通过对抽象函数的研究，进一步加深对函数概念和性质的理解；

（3）、渗透特殊值法，化抽象为具体、转化等数学思想方法。

2、能力目标：

（1）、重视基础知识的教学，基本技能的训练和能力的培养。

（2）、逐步培养与提高学生的探索能力，研究能力以及正确地分析问题，解决问题的能力。

（3）、通过教师指导，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。

3、德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生情操，培养学生坚韧不拔的意志、实事求是的科学态度和勇于创新的精神。

【教学重点】

抽象函数性质的研究及应用

【教学难点】

抽象函数性质研究中学生思维能力的形成，以及综合应用知识分 1

析问题和解决问题能力的培养与提高。

【教学方法】自主探索，合作交流

【课型】拓展研究课

【教学过程】

一、课题引入：在高考对函数的考察中，经常出现未给出函数解析式，仅给出函数恒等式或函数方程的一类抽象函数推理问题，重点考察考生对函数概念、函数性质的掌握与应用，以及逻辑思维能力和抽象概括能力。由于其具有题型的新颖性、内容的综合性、解法的灵活性、思维的抽象性的特点，因而此类问题已成为高考备考中热点、重点和难点。

二、知识再现：

1、抽象函数关系式相应的函数模型

f(x+y)=f(x)+f(y)-b。y=ax+b

f(m-x)=f(m+x)y=a(x-m)2+n

f(x+y)=f(x)f(y)（或 f(x-y)=f(x)/f(y) ）y=ax(a>0且 a≠1)

f(xy)=f(x)+f(y)（或f(x/y)=f(x)-f(y)）y=logax(a>0且a≠1) f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)y=cosx

2、如何解决抽象函数问题？

利用赋值法, 类比猜测法等多种方法从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题。

三、抽象函数问题归类与研究。

（一）研究函数性质

例1：定义在R上的函数f(x)满足

f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R) 当x＜0时，f(x)＞0

(1)、判断函数f(x)的奇偶性。 (2)、证明f(x)是R上的减函数。 解：（1）令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0)①

令x=y=0得f(x)=0②

由①②得f(-x)=-f(x)

∴f(x)是奇函数。

（2）设x1﹤x2则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)

∵x1﹤x2

∴x1-x2﹤o

∴f(x1-x2)﹥0

∴f(x1)﹥f(x2)

∴f(x)是R上的减函数。

探究:上述若为选择或填空题，应如何解答？

例２设函数f(x)的定义域为R，且对任意的x，y有f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)，并存在正实数c，使f(c/2)=0。试问f(x)是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。分析与思考：f(x)是否为周期函数→能否联想到一个特殊模型→能否依特殊模型猜测周期性→能否依特殊模型的周期及特性猜测f(x)的周期性

解:猜测f(x)是以2c为周期的周期函数。

∵f[(x+c/2)+c/2]+f[(x+c/2)-c/2]=2f(x+c/2)f(c/2)=0

∴f(x+c)=－f(x)

∴f(x+2c)=－f(x+c)=f(x)

故f(x)是周期函数，2c是它的一个周期。

点评：这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类比，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。

（二）求参数范围

例３ 已知函数f(x)对任意x,y∈R有f(x)+f(y)=2+f(x+y)，当X＞0时，f(x)＞2，f(3)=5，求使得f(a2-2a-2)＜3成立的实数a的取值范围。分析与思考: 如何解不等式f(a2-2a-2)＜3→能否将该不等式具体化→若不能具体化如何解不等式

解：设x

1、x2∈R且x1＜x2则x2-x1＞0

∴f(x2-x1)＞2即f(x2-x1)-2＞0

∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-2＞f(x1)

∴f(x2)＞f(x1)

故f(x)为增函数， 又 f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-2=3f(1)-4=5

∴f(1)=3

∴f(a2-2a-2) ＜3=f(1), 即a2-2a-2＜1

∴-1＜a＜3

点评：这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉符号“f”，转化为代数不等式（组）求解，但要特别注意函数定义域的作用。

四、巩固练习：定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=f(4-x)且f(2-x)+f(x-2)=0， 求 f(2000)的值。

五、小结

１、研究抽象函数性质的方法与技巧；

２、以抽象函数为载体的参数取值范围的求法

３、注意数学方法（赋值法、迭代法）和数学思想在解题中的渗透。

六、布置作业

第17篇：高中数学开学第一课教案

高中数学开学第一课教案

（一）

一、自我介绍

我姓x，是你们的数学老师，手机：xxxxxxxxx，QQ：xxxxxxx，因为是数学老师所以在自我介绍的时候喜欢给出自己的数字特征，也是希望通过这些方式能拓宽与大家交流的平台，希望能与大家在课堂中相识，在生活中相知，不仅能成为你们知识的传授者，方法的指引者，更希望成为你们情感上的依赖者。

二、相信大家对于高中学习都充满着好奇，和初中相比，高中课程与初中课程有很大的不同。今天这节课我们不急于上新课，我想和大家聊一聊数学，一起来思考为什么要学习数学及如何学好数学这两个问题。

（一）为什么要学习数学

相信高一的第一节课是各位科任老师各显神通的时候，通过各种有趣的方式来突出每门课的重要性，作为数学老师我表达上不如文科老师迂回婉转和风趣幽默，我们更喜欢用数字说明问题。大家知道北大最著名的院系是什么系吗？早在蔡元培先生任北大校长时，就列数学系为北大第一系，这种传统一直保持到现在。为什么数学系在高校中有如此重要的地位？课本主编寄语是这样描述的：数学是有用的，数学有助于提高能力。

著名数学家华罗庚在《人民日报》精彩描述了数学在\"宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁\"等方面无处不有重要贡献。

问题1：大家知道海王星是怎么发现的，冥王星又是怎么被请出十大行星行列的？

海王星的发现是在数学计算过程中发现的，天文望远镜的观测只是验证了人们的推论。

1812年，法国人布瓦德在计算天王星的运动轨道时，发现理论计算值同观测资料发生了一系列误差。这使许多天文学家纷纷致力这个问题的研究，进而发现天王星的脱轨与一个未知的引力的存在相关。也就是说有一个未知的天体作用于天王星。1846年9月23日。柏林天文台收到来自法国巴黎的一封快信。发信人就是勒威耶。信中，勒威耶预告了一颗以往没有发现的新星：在摩羯座8星东约5度的地方，有一颗8等小星，每天退行69角秒。当夜，柏林天文台的加勒把巨大的天文望远镜对准摩羯座，果真在那里发现了一颗新的8等星。又过了-天，再次找到了这颗8等星，它的位置比前一天后退了70角秒。这与勒威耶预告的相差甚微。全世界都震动了。人们依照勒威耶的建议，按天文学惯例，用神话里的名字把这颗星命名为\"海王星\"。

1930年美国天文学家汤博发现冥王星，当时错估了冥王星的质量，以为冥王星比地球还大，所以命名为大行星。然而，经过近30年的进一步观测和计算，发现它的直径只有2300公里，比月球还要小，等到冥王星的大小被确认，\"冥王星是大行星\"早已被写入教科书，以后也就将错就错了。经过多年的争论，国际天文学联合会通过投票表决做出最终决定，取消冥王星的行星资格。8月24日据国际天文学联合会宣布，冥王星将被排除在行星行列之外，从而太阳系行星的数量将由九颗减为八颗。事实上，位居太阳系九大行星末席70多年的冥王星，自发现之日起地位就备受争议。

马克思说：\"一种科学只有在成功运用数学时，才算达到了真正完善的地步。\"正因为数学是日常生活和进一步学习必不可少的基础和工具，一切科学到了最后都归结为数学问题。

其实在我们的周围有很多事情都是可以用数学可以来解决的，无非很多人都没有用数学的眼光来看待。

问题2：基督教徒认为上帝是万能的。你们认为呢？如何来证明你的结论呢？（让同学发言）

我的观点：上帝不是万能的。为什么呢？仔细听我讲来。

证明：（反证法）假如上帝是万能的

那么他能够制作出一块无论什么力量都搬不动的石头

根据假设，既然上帝是万能的，那么他一定能够搬的动他自己制造的那石头

这与\"无论什么力量都搬不动的石头\"相矛盾

所以假设不成立

所以上帝不是万能的。

问题3：抓阄对个人来说公平吗？5张票中有一张奖票，那么先抽还是后抽对个人还说公平吗？

当然，我们学习的数学只是数学学科体系中很基础，很小的一部分。现在课本上学的未必能直接应用于生活，主要是为以后学习更高层次的理科打好基础，同时，也为了掌握一些数学的思考方法以及分析问题解决问题的思维方式。哲学家培根说过：\"读诗使人灵秀，读历史使人明智，学逻辑使人周密，学哲学使人善辩，学数学使人聪明…\"，也有人形象地称数学是思维的体操。下面我们通过具体的例子来体验一下某些数学思想方法和思维方式。

故事一：据说国际象棋是古印度的一位宰相发明的。国王很欣赏他的这项发明，问他的宰相要什么赏赐。聪明的宰相说，\"我所要的从一粒谷子（没错，是１粒，不是１两或１斤）开始。在这个有64格的棋盘上，第一格里放１粒谷子，第二格里放２粒，第三格里放４粒，即每下一格粒数加倍，……如此下去，一直放满到棋盘上的64格。这就是我所要的赏赐。\"国王觉得宰相要的实在不多，就叫人按宰相的要求赏赐。但后来发现即使把全国所有的谷子抬来也远远不够。

人们通常凭借自己掌握的数学知识耍些小聪明，使问题妙不可言。

数学游戏：两人相继轮流往长方形桌子上放同样大小的硬币，硬币一定要平放在桌面上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，放最后一颗的硬币的人算赢。应该先放还是后放才有必胜的把握。

数学思想：退到最简单、最特殊的地方。

故事二：聪明的渡边：20世纪40年代末，手写工具突破性进展-圆珠笔问世，它以价廉、方便、书写流利在社会上广泛流传，但写到20万字时就会因圆珠磨小而漏油，影响了销售。工程师们从圆珠质量入手，从改进油墨性能入手进行改良，但收效甚微。于是厂家打出广告：解决此问题获奖金50万元。当时山地制笔厂的青年工人渡边看到女儿把圆珠笔用到快漏油时就德育不用这一现象中受到启发，很好地解决了这一问题，你认为他会怎么做呢？

渡边的成功之处就在于思维角度新，从问题的侧面轻巧取胜。也正体现了数学学习中经常用到的发散式思维。在数学学习中，既要有集中式思维又要有发散式思维。集中式思维是一种常用思维渠道，即为对问题的归纳，联系思维方式，表现为对解题方法的模仿和继承；而发散式思维即对问题开拓、创新，表现为对问题举一反三，触类旁通。在解决具体问题中，我们应该将两种思维方式相结合。

学数学有利于培养人的思维品质：结构意识、整体意识、抽象意识、化归意识、优化意识、反思意识，尽管数学在培养学生的这些思维品质方面和其他学科存在着交集，但数学在其中的地位是无法被代替的。总之，学习数学可以使人思考问题更合乎逻辑，更有条理，更严密精确，更深入简洁，更善于创造……

（二）如何学好数学

高中数学的内容多，抽象性、理论性强，高中很注重自学能力的培养的，高中不会像初中那样老师一天到晚盯着你，在高中一定要注重自学能力的培养，谁的自学能力强，那么在一定的程度上影响着你的成绩以及你将来你发展的前途。同时要注意以下几点：

第一：对数学学科特点有清楚的认识

主编寄语里是这样描述数学的特征的：数学是自然的。数学的概念、方法、思想都是人类长期实践中自然发展形成的，以数域的发展为例，从自然数到有理数到实数再到复数，都是由自然的认知冲突引起的。因此，在学习过程中我们有必要了解知识产生的背景，它的形成过程以及它的应用，让数学显得合情合理，浑然天成。数学中没有含糊不清的词，对错分明，凡事都要讲个为什么，只要按照数学规则去学去想就能融会贯通，但是如果不把来龙去脉想清楚而是\"想当然\"的话，那就学不下去了。

第二：要改变一个观念。

有人会说自己的基础不好。那我问下什么是基础？今天所学的知识就是明天的基础。明天学习的知识就是后天的基础。所以要学好每一天的内容，那么你打的基础就是最扎实的了。所以现在你们是在同一个起跑线上的，无所谓基础好不好。过去的几年里我分别带过五十一中和一中的学生，两边学生的课堂感觉差不多，应该说接受能力不相上下，有的时候我会选择在五十一中开公开课，因为课堂气氛活跃、轻松，但是成绩差异却是很大，原因在于我们同学外课自主时间的投入太少，学习习惯不太好。

第三：学数学要摸索自己的学习方法

学习、掌握并能灵活应用数学的途径有千万条，每个人都可以有与众不同的数学学习方法。做习题、用数学解决各种问题是必需的，理解、学会证明、领会思想、掌握方法也是必需的。此外，还要发挥问题的作用，学会提问，热心帮助别人解决问题，用自己的问题和别人的问题带动自己的学习。同时，注意前后知识的衔接，类比地学、联系地学，既要从概念中看到它的具体背景，又要在具体的例子中想到它蕴含的一般概念。

第四：养成良好的学习习惯（与一中学生相比较）

㈠课前预习。怎样预习呢？就是自己在上课之前把内容先看一边，把自己不懂的地方做个记号或者打个问号，以至于上课的时候重点听，这样才能够很快提高自己的水平。但是预习不是很随便的把课本看一边，预习有个目标，那就是通过预习可以把书本后面的练习题可以自己独立的完成。一中的同学预习就已经有好几个层次了，先是课本，再是精编，再是高考题典，上课对于他们来说是第一轮高考复习。

㈡上课认真听讲。上课的时候准备课本，一只笔，一本草稿。做不做笔记你们自己决定，不过我不大提倡数学课做笔记的。不过有一点，有些知识点比较重要，课本上又没有的，我要求你们把它写在课本上的相应的空白地方。还有如果你觉得某个例题比较新或者比较重要，也可以把它记在书本的相应位置上，这样以后复习起来就一目了然了。那么草稿要来干什么的呢？课堂上你可以自己演算还有做课堂练习。

㈢关于作业。绝对不允许有抄作业的情况发生。如果我发现有谁抄作业，那么既然他这样喜欢抄，我就要你把当天的作业多抄几遍给我。那有人会问，碰到不会做的题目怎么办？有两个办法：

一、向同学请教，请教做题目的思路，而不是整个过程和答案。同学之间也要相互帮助，如果你让他抄袭你的作业这样不是帮助他而是害他，这个道理大家应该明白吧。我非常提倡同学之间的相互讨论问题的，这样才能够相互促进提高。

二、向老师请教，要养成多想多问的习惯。我的办公室在二楼二号，欢迎大家前来交流

㈣准备一本笔记本，作为自己的问题集。把平时自己不懂的和不大理解的还有易错的记录下来，并且要及时的消化，不懂的地方问老师。这是一个很好的办法，到考试的时候就可以有重点、有针对性的自己复习了。我高中的时候就是采用这样的方法把数学成绩提高。

好的开始是成功的一半，新的学期开始了，请大家调整好自己的思想，找到学习的原动力。播种一种思想，收获一种行为；播种一种行为，收获一种习惯；播种一种习惯，收获一种性格；播种一种性格，收获一种命运。愿每位同学都有个好的开始。 高考状元学习数学的经验：

【认认真真做好笔记】

高一高二打基础时，做好笔记很重要。\"我每次都是上课时认真用草稿纸记笔记，然后回家再把笔记誊抄到笔记本上，这样通过两次抄写就基本印象深刻了\"。另外，对于一些易错或难题，她的诀窍是在错题或难题的旁边用一些活泼可爱的话标注。比如在错题边写：\"下次再错就不可原谅啦，并在旁边打个打打的笑脸\"。

【主动寻求解题思路法】

在学习过程中，我曾有这样的经历，有时见到一道题目一时找不到思路，就迫不急待去翻看答案，看答案时往往觉得答案的每一步都顺理成章，该用哪个定理，该用什么方法，非常简单，就自认为把题目已经理解透了。过几天再做这道题，还是无从下手。我觉得出现这种情况主要是因为我对这道题的接受是一个被动的过程。在这个过程中我只是机械地看到了具体解题过程，而没有真正理解解题思路。

主动寻求解题思路法与这种被动接受的学习方法正好相反，这种方法强调从简单习题入手，因为做简单的习题会比较轻松一些，简单的做出来之后再由浅入深。当在练习过程中遇到了难一点的题目时，有意识强迫自己不看答案、不看书套公式、不求助于别人(这些都是被动方法)，而是静下心来，积极调动自己的大脑知识库，主动寻求解题思路。这样由浅入深地训练自己，加上对常见题型的归类分析，再见到数学、物理习题时就会在第一时间反应出该题所考查的知识点和思维方式，有得心应手的感觉。

【选择题去掉选项法】

解选择题有很多种方法，面对简单的选择题，也需要一些简单的技巧，这需要同学们平时在学习中慢慢摸索。但是我觉得解选择题最好的办法就是去掉选项法。培养自己的解题能力，也就是培养自己不被错误选项干扰的能力。尤其是面对一些比较难的、特别繁琐的选择题，我们可以把这些选项给去掉，把它当做填空题来做，把答案写出来之后，再从选项中去找，如果找不到的话，说明你肯定犯了错误。这样的话，还可以避免很多问题--比如有些同学容易看错题目，他做题目的时候，常常根据自己看错的一些数据去做，刚好选项里面有这样的答案，这样的话，就会选择错误答案；再者就是，有一些题目是理论性的选择题，可能它的选项本身就带有很大的误导性，去掉选项就不会受它的误导。

【吃透课本法】

很多同学觉得，数学课本上面的题目很简单，都是老师上课讲过的内容，下课以后，往往就把课本放在一边，去做其他一些他们认为难度更高的习题，刚开始我也是这样做的。可是到考试的时候往往是难题做出来了，简单的题目却容易失分--尤其是前面的选择题、填空题这样一些小题。所以要特别注重学习课本，把课本上每一道题都做到位，这也是我要讲的第一点。第二点就是课本上的基本概念和基本思路。课本上面不光是习题重要，更重要的是它的基本概念和基本思路。数学课本有很多黑体字的大概念，这些都是我们平时很注意的，但是在一些小字里面，往往有一些非常细微的概念和原理是容易被忽视的，而考试的时候，往往就是把那些我们忽视的问题拎出来考。而一考大家就\"倒一大片\"。所以我们在看课本的时候，一定要把课本上的每一个字，每一个句子，即使很细小的一些原理都要看到。三角函数、立体几何、解析几何的习题中，有很多重要结论，都是应该记住的。吃透课本，不管怎么强调它的重要性都不为过。

【普通解题法】

从微观上看，数学的学习就是如何解出每一道数学题。我的经验是关注通法，即关注普通解题法，有余力再掌握一些技巧。由于文科的数学题难度一般都不太大，基础题(即用通法可以顺利解出的题目)占绝大多数。对于文科学生来说，老师上课的时候本身就会比较注重基础，他首先讲的可能就是通法，那么这个时候就必须把老师讲的例题记下来。通法肯定会有一个固定的解题思路，上课的时候就得领会这个解题思路，课后最好再选一些类似的题目做一做，以便熟能生巧。其实解普通的题目也有多种方法，有通法，还有一些带有技巧性的方法。我觉得对于文科学生来说，通法更加重要一些，因为它能解答这一类型的所有题目，所以我觉得更实用。当然，学有余力的同学还可以研究一些技巧，但我本人不提倡钻得太深，因为这样会浪费时间。事实证明，通法掌握好了，高考一般都能取得优秀甚至是拔尖的成绩。

【错题集法】

除了典型例题，还需要重视自己出错的题目。错题集是许多成绩好的学生必备的，我也不例外，而在这里我强调的是如何充分利用自己的错题集。错题大约可以分两种：一种是自己根本不会做，因为太难了，没有思路；另一种是自己会做，因为粗心而做错。我觉得，最有价值的错题是第二类。因为粗心也有许多种，我们也要分析它。第一，看错题目。是看错数字还是理解错题意？为什么会看错题？怎么样误解了题意？以后会不会犯同样的错？第二，切入点、思路出错，这样的思维解法根本不适合这类题目。第三，计算错误。为什么会算错？有没有方法杜绝？怎样才能真正做到细心？其实在高考中，有多少题目是你不会做的呢？最终的竞争，还是在于你究竟能做对多少。如果你能把自己粗心的错误杜绝，那么在高考中一定会赢得非常好的成绩。

【主动寻求解题思路法】

在学习过程中，我曾有这样的经历，有时见到一道题目一时找不到思路，就迫不急待去翻看答案，看答案时往往觉得答案的每一步都顺理成章，该用哪个定理，该用什么方法，非常简单，就自认为把题目已经理解透了。过几天再做这道题，还是无从下手。我觉得出现这种情况主要是因为我对这道题的接受是一个被动的过程。在这个过程中我只是机械地看到了具体解题过程，而没有真正理解解题思路。

主动寻求解题思路法与这种被动接受的学习方法正好相反，这种方法强调从简单习题入手，因为做简单的习题会比较轻松一些，简单的做出来之后再由浅入深。当在练习过程中遇到了难一点的题目时，有意识强迫自己不看答案、不看书套公式、不求助于别人(这些都是被动方法)，而是静下心来，积极调动自己的大脑知识库，主动寻求解题思路。这样由浅入深地训练自己，加上对常见题型的归类分析，再见到数学、物理习题时就会在第一时间反应出该题所考查的知识点和思维方式，有得心应手的感觉。 【知识点网络总结法】

我学习数学的第一个方法是知识点网络总结法。平时做数学题时，一些题目往往会让我们感觉到无从下手，这个时候如果我们能联想到这道题目所考察的知识点，就可以以此为线索对症下药，找到解题的突破口。所谓的知识点网络总结法就是在平时做题时，如果遇到解答中出现困难的题目，就将与这道题目有关的解题方法和所考查的知识点在题目的旁边列出来，然后在本子上总结出来。这样经过一段时间的训练，在考试的时候看到题目就能联想到有关的知识点，并迅速找到相应的解题方法。使用这种方法一方面可以提高解题速度，为考生节约不少时间，另一方面做题的正确率很高，提高了解题命中率。

【适当放弃法】

\"舍得，舍得，有舍才有得\"，这是大家常说的一句话。对于数学这门学科来说，我认为要根据自己的实力，为自己准确定位，保证基础题全部答对，并适当放弃自己力不从心的高难题，这样达到智力资源的优化配置，才能取得较好的成绩。

每个人都有自己的长处和短处，扬长补短应该是一种比较有效的应试方法。俗话说\"狗熊嘴大啃地瓜，麻雀嘴小啄芝麻\"，我这个小嘴\"麻雀\"，在数学学习中没有多大的优势。在平时考试中，数学最后一道题对我而言难度就挺大的，我经常只是做出第一问，第二问基本上是无可奈何、屡战屡败。在高考中，我一看最后一道题的第二个问题挺难的，于是很快决定放弃了这个难啃的\"地瓜\"，并立刻回头检查前面已经做过的试题，幸运的是检查出做错的一道5分的选择题。或许，正是由于这样量力而行的战术，我保住了\"芝麻\"--基础题，只在较难题目上失去了12分，其他题全部做对，做到了数学考试的超水平发挥。

【总结规律法】

\"题海战术\"是为了做题而做题，只要是题，统统拿来做，只注重做题的数量，却忽视了做题的质量。我做的题也很多，类型也很广，但在做题时我并不局限于这道题本身，而是能够进行发散性思考，想想如果把这一题的题目、条件改变一下能演变出什么题，从这道题我有什么额外收获。对同类型题，只要我觉得自己已经非常熟练了，就不再继续做这种类型的题目了，转而做其他类型的题目。你做的题目类型越多，你的视野就越开阔。我觉得这样做题才是高效率的。

在做完很多类型的题目之后，我们还要进行总结：对哪一种类型的题目可以用哪些方法解答，这一种方法可以解答哪些类型的题目。同时，把自己做错的题目记在一个本子上，总结一下错的原因和教训，以后决不让同一块石头绊倒两次。

2013年高中数学开学第一课教案

（一）

高中一年级的新同学们，当你们踏进高中校门，漫步在优美的校园时，看见老师严谨而热心的教学和师兄、师姐深切的关怀时，我想你们会暗暗决心：争取学好高中阶段的各门学科。在新的高考制度\"3+综合\"普遍吹散全国大地之时，代表人们基本素质的\"3\"科中，数学是最能体现一个人的思维能力，判断能力、反应敏捷能力和聪明程度的学科。数学直接影响着国民的基本素质和生活质量，良好的数学修养将为人的一生可持续发展奠定基础，高中阶段则应可能充分反映学习者对数学的不同需求，使每个学生都能学习适合他们自己的数学。

一、高中数学课的设置

高中数学内容丰富，知识面广泛，高一年级上学期学习第一册（上）：第一章集合与简易逻辑；第二章函数；第三章数列。高一年级下学期学习第一册（下）：第四章三角函数；第五章平面向量。高二年级上学期学习第二册（上）：第六章不等式；第七章直线和圆的方程；第八章圆锥曲线方程。高二年级下学期学习第二册（下）：第九章直线、平面、简单几何体；第十章排列、组合和概率。高二结束将有数学\"会考\"。高三年级文科生学习第三册（选修1）：第一章统计；第二章极限与导数。高三年级理科生学习第三册（选修2）：第一章概率与统计；第二章极限；第三章导数；第四章复数。高三还将进行全面复习，并有重要的\"高考\"。

二、初中数学与高中数学的差异。

1、知识差异。初中数学知识少、浅、难度容易、知识面笮。高中数学知识广泛，将对初中的数学知识推广和引伸，也是对初中数学知识的完善。如：初中学习的角的概念只是\"0-1800\"范围内的，但实际当中也有7200和\"-300\"等角，为此，高中将把角的概念推广到任意角，可表示包括正、负在内的所有大小角。又如：高中要学习《立体几何》（第九章直线、平面、简单几何体），将在三维空间中求角和距离等；还将学习\"排列组合\"知识，以便解决排队方法种数等问题。如：①三个人排成一行，有几种排队方法，（=6种）；②四人进行乒乓球双打比赛，有几种比赛场次？（答：=3种）高中将学习统计这些排列的数学方法。初中中对一个负数开平方无意义，但在高中规定了i2=--1，就使-1的平方根为±i.即可把数的概念进行推广，使数的概念扩大到复数范围等。这些知识同学们在以后的学习中将逐渐学习到。

2、学习方法的差异。

（1）初中课堂教学量小、知识简单，通过教师课堂教慢的速度，争取让全面同学理解知识点和解题方法，课后老师布置作业，然后通过大量的课堂内、外练习、课外指导达到对知识的反反复复理解，直到学生掌握。而高中数学的学习随着课程开设多（有九们课学生同时学习），每天至少上六节课，自习时间三节课，这样各科学习时间将大大减少，而教师布置课外题量相对初中减少，这样集中数学学习的时间相对比初中少，数学教师将相初中那样监督每个学生的作业和课外练习，就能达到相初中那样把知识让每个学生掌握后再进行新课。

（2）模仿与创新的区别。

初中学生模仿做题，他们模仿老师思维推理教多，而高中模仿做题、思维学生有，但随着知识的难度大和知识面广泛，学生不能全部模仿，即就是学生全部模仿训练做题，也不能开拓学生自我思维能力，学生的数学成绩也只能是一般程度。现在高考数学考察，旨在考察学生能力，避免学生高分低能，避免定势思维，提倡创新思维和培养学生的创造能力培养。初中学生大量地模仿使学生带来了不利的思维定势，对高中学生带来了保守的、僵化的思想，封闭了学生的丰富反对创造精神。如学生在解决：比较a与2a的大小时要不就错、要不就答不全面。大多数学生不会分类讨论。

3、学生自学能力的差异

初中学生自学那能力低，大凡考试中所用的解题方法和数学思想，在初中教师基本上已反复训练，老师把学生要学生自己高度深刻理解的问题，都集中表现在他的耐心的讲解和大量的训练中，而且学生的听课只需要熟记结论就可以做题（不全是），学生不需自学。但高中的知识面广，知识要全部要教师训练完高考中的习题类型是不可能的，只有通过较少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯通这一类型习题，如果不自学、不靠大量的阅读理解，将会使学生失去一类型习题的解法。另外，科学在不断的发展，考试在不断的改革，高考也随着全面的改革不断的深入，数学题型的开发在不断的多样化，近年来提出了应用型题、探索型题和开放型题，只有靠学生的自学去深刻理解和创新才能适应现代科学的发展。

其实，自学能力的提高也是一个人生活的需要，他从一个方面也代表了一个人的素养，人的一生只有18---24年时间是有导师的学习，其后半生，最精彩的人生是人在一生学习，靠的自学最终达到了自强。

4、思维习惯上的差异

初中学生由于学习数学知识的范围小，知识层次低，知识面笮，对实际问题的思维受到了局限，就几何来说，我们都接触的是现实生活中三维空间，但初中只学了平面几何，那么就不能对三维空间进行严格的逻辑思维和判断。代数中数的范围只限定在实数中思维，就不能深刻的解决方程根的类型等。高中数学知识的多元化和广泛性，将会使学生全面、细致、深刻、严密的分析和解决问题。也将培养学生高素质思维。提高学生的思维递进性。

5、定量与变量的差异

初中数学中，题目、已知和结论用常数给出的较多，一般地，答案是常数和定量。学生在分析问题时，大多是按定量来分析问题，这样的思维和问题的解决过程，只能片面地、局限地解决问题，在高中数学学习中我们将会大量地、广泛地应用代数的可变性去探索问题的普遍性和特殊性。如：求解一元二次方程时我们采用对方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解，讨论它是否有根和有根时的所有根的情形，使学生很快的掌握了对所有一元二次方程的解法。另外，在高中学习中我们还会通过对变量的分析，探索出分析、解决问题的思路和解题所用的数学思想。

三、如何学好高中数学

良好的开端是成功的一半，高中数学课即将开始与初中知识有联系，但比初中数学知识系统。高一数学中我们将学习函数，函数是高中数学的重点，它在高中数学中是起着提纲的作用，它融汇在整个高中数学知识中，其中有数学中重要的数学思想方法；如：函数与方程思想、数形结合思想等，它也是高考的重点，近年来，高考压轴题都以函数题为考察方法的。高考题中与函数思想方法有关的习题占整个试题的60%以上。

1、有良好的学习兴趣

两千多年前孔子说过：\"知之者不如好之者，好之者不如乐之者。\"意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。\"好\"和\"乐\"就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣。兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它就要去实践它，达到乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。在数学学习中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的\"认识\"过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢？

（1）课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。

（2）听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。

（3）思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。

（4）听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？

（5）把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，如角的概念、至交坐标系的产生、极坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归现实才能使对概念的理解切实可靠，在应用概念判断、推理时会准确。

2、建立良好的学习数学习惯。

习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间，以便加宽知识面和培养自己再学习能力。

3、有意识培养自己的各方面能力

数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力共五大能力。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平时学习中要注意开发不同的学习场所，参与一切有益的学习实践活动，如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注意观察，比如，空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、训练、应用中得到发展。特别是，教师为了培养这些能力，会精心设计\"智力课\"和\"智力问题\"比如对习题的解答时的一题多解、举一反三的训练归类，应用模型、电脑等多媒体教学等，都是为数学能力的培养开设的好课型，在这些课型中，学生务必要用全身心投入、全方位智力参与，最终达到自己各方面能力的全面发展。

四、其它注意事项

1、注意化归转化思想学习。

人们学习过程就是用掌握的知识去理解、解决未知知识。数学学习过程都是用旧知识引出和解决新问题，当新的知识掌握后再利用它去解决更新知识。初中知识是基础，如果能把新知识用旧知识解答，你就有了化归转化思想了。可见，学习就是不断地化归转化，不断地继承和发展更新旧知识。

2、学会数学教材的数学思想方法。

数学教材是采用蕴含披露的方式将数学思想溶于数学知识体系中，因此，适时对数学思想作出归纳、概括是十分必要的。概括数学思想一般可分为两步进行：一是揭示数学思想内容规律，即将数学对象其具有的属性或关系抽取出来，二是明确数学思想方法知识的联系，抽取解决全体的框架。实施这两步的措施可在课堂的听讲和课外的自学中进行。

课堂学习是数学学习的主战场。课堂中教师通过讲解、分解教材中的数学思想和进行数学技能地训练，使高中学生学习所得到丰富的数学知识，教师组织的科研活动，使教材中的数学概念、定理、原理得到最大程度的理解、挖掘。如初中学习的相反数概念教学中，教师的课堂教学往往有以下理解：①从定义角度求

3、-5的相反数，相反数是的数是_____.②从数轴角度理解：什么样的两点表示数是互为相反数的。（关于原点对称的点）③从绝对值角度理解：绝对值_______的两个数是互为相反数的。④相加为零的两个数互为相反数吗？这些不同角度的教学会开阔学生思维，提高思维品质。望同学们把握好课堂这个学习的主战场。

五、学数学的几个建议。

1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。

2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。

3、记忆数学规律和数学小结论。

4、与同学建立好关系，争做\"小老师\"，形成数学学习\"互助组\"。

5、争做数学课外题，加大自学力度。

6、反复巩固，消灭前学后忘。

7、学会总结归类。可：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类

同学们在高中有优美的学习环境，有一群乐于事业的热心教师，全体教师经验丰富，他们甘愿为你们做铺路石直至你们走进高等学校大门。我们数学组的全体教师一定会使你们成为数学学习的成功

第18篇：1.1高中数学集合教案

课题：1.1集合

教学目的：知识目标：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法

.（2）使学生初步了解“属于”关系的意义

.（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；

（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；

（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；

教学重点：集合的基本概念及表示方法

教学难点 ：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合

授课类型：新授课

课时安排：2课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程 ：

一、复习导入：

1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；

2．教材中的章头引言；

3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）；

4．“物以类聚”，“人以群分”；

5．教材中例子（P4）。

二、新课讲解：

阅读教材第一部分，问题如下：

（1）有那些概念？是如何定义的？

（2）有那些符号？是如何表示的？

（3）集合中元素的特性是什么？

（一）集合的有关概念（例题见课本）：

1、集合的概念

（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。

（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

2、常用数集及其表示方法

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N

（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N*或N+

（3）整数集：全体整数的集合。记作Z

（4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q

（5）实数集：全体实数的集合。记作R

注意：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。

（2）非负整数集内排除0的集。记作N*或N+ 。Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0

的集，表示成Z*

3、元素对于集合的隶属关系

（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作

4、集合中元素的特性

（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，

或者不在，不能模棱两可。

（2）互异性：集合中的元素没有重复。

（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

注：

1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

2、“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。

练习题

1、教材P5练习

2、下列各组对象能确定一个集合吗？

（1）所有很大的实数。 （不确定）

（2）好心的人。（不确定）

（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）

阅读教材第二部分，问题如下：

1．集合的表示方法有几种？分别是如何定义的？

2．有限集、无限集、空集的概念是什么？试各举一例。

（二）集合的表示方法

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的

方法。

例如，由方程 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}

注：（1）有些集合亦可如下表示：

从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}

所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}

（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只

有一个元素。

描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条

件写在大括号内表示集合的方法。

格式：{x∈A| P（x）}

含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。

例如，不等式 的解集可以表示为： 或

所有直角三角形的集合可以表示为：

注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。

如：{直角三角形}；{大于104的实数}

（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}

3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

注：何时用列举法？何时用描述法？

（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。

如：集合

（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。如：集合 ；集合{1000以内的质数}

注：集合 与集合 是同一个集合

吗？

答：不是。

集合 是点集，集合 =是数集。

（三） 有限集与无限集

1、有限集：含有有限个元素的集合。

2、无限集：含有无限个元素的集合。

3、空集：不含任何元素的集合。记作Φ，如：

练习题：

1、P6练习

2、用描述法表示下列集合

①{1，4，7，10，13}

②{-2，-4，-6，-8，-10}

3、用列举法表示下列集合

①{x∈N|x是15的约数}{1，3，5，15}

②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}

注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}

③

④{-1，1}

⑤{（0，8）（2，5），（4，2）}

⑥

{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（

三、小结：本节课学习了以下内容：

1．集合的有关概念

（集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集）

2．集合的表示方法

（列举法、描述法、文氏图共3种）

3．常用数集的定义及记法

四、课后作业 ：教材P7习题1.1

4，4）}

第19篇：高中数学等差数列教案(二)

课题：3.3 等差数列的前n项和

（二）

6161,又∵n∈N*∴满足不等式n＜的正整数一共有30个.2

2二、例题讲解例1 .求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.解：由2n－1＜60,得n＜

即 集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以a1=1, an(a1an)30=59,n=30的等差数列.∵Sn=2,∴S30(159)

30=2=900.

答案：集合M中一共有30个元素，其和为900.

例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}

解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*} 由3n+2＜100,得n＜322

3,且m∈N*,∴n可取0，1，2，3，…，32.

即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.

把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.

它们可组成一个以a1=2,d=3, a33=98,n=33的等差数列.

由Sn(a1an)n=2,得S33(298)

33=2=1650.

答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.例3已知数列an,是等差数列，Sn是其前n项和，

求证：⑴S6，S12-S6，S18-S12成等差数列；

⑵设Sk,S2kSk,S3kS2k （kN）成等差数列

证明：设an,首项是a1，公差为d

则S6a1a2a3a4a5a6

∵S12S6a7a8a9a10a11a12

(a16d)(a26d)(a36d)(a46d)(a56d)(a66d)(a1a2a3a4a5a6)36dS636d∵S18S12a13a14a15a16a17a18

(a76d)(a86d)(a96d)(a106d)(a116d)(a126d)

(a7a8a9a10a11a12)36d(S12S6)36d∴

S6,S12S6,S18S12是以36d同理可得Sk,S2kSk,S3kS2k是以kd为公差的等差数列.

三、练习：

1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.

分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.

解：根据题意，得S4=24, S5－S2=27

则设等差数列首项为a1,公差为d, 2

4(41)d4a2412则 

(5a5(51)d)(2a2(21)d)271122

a13解之得：∴an=3+2（n－1）=2n+1.d2

2．两个数列1, x1, x2, ……,x7, 5和1, y1, y2, ……,y6, 5均成等差数列公差分别是d1, d2, 求xx2x7d1与1y1y2y6d2

解：5＝1＋8d1, d1＝d147, 又5＝1＋7d2, d2＝, ∴1＝; d2278

x1+x2+……+x7＝7x4＝7×15＝21,2

y1+y2+ ……+y6＝3×(1＋5)＝18,

∴x1x2x77＝.y1y2y66

3．在等差数列{an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求数列{an}的前n项和SnSn解法1：∵a4＝a1＋3d, ∴ －15＝a1＋9, a1＝－24,

3n(n1)3512512

∴ Sn＝－24n＋＝[(n－)－],36226

∴ 当|n－51|最小时，Sn最小， 6

即当n＝8或n＝9时，S8＝S9＝－108最小.

解法2：由已知解得a1＝－24, d＝3, an＝－24＋3(n－1),

由an≤0得n≤9且a9＝0,

∴当n＝8或n＝9时，S8＝S9＝－108最小.

四、小结本节课学习了以下内容：an是等差数列，Sn是其前n项和，则Sk,S2kSk,S3kS2k （kN

五、课后作业：

1．一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.解：由(n－2)·180＝100n＋n(n1)×10， 2

求得n2－17n＋72＝0,n＝8或n＝9,

当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8.

2．已知非常数等差数列{an}的前n项和Sn满足

10Snm23n2(m1)nmn

解：由题设知

2n2(n∈N, m∈R), 求数列{a5n3}的前n项和.Sn＝lg(m32

即 Sn＝[(m1)n2mn(m1)n2mn)＝lgm＋nlg3＋lg2, 52(m1)mlg2]n2＋(lg3＋lg2)n＋lgm2,55

∵ {an}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 (m1)lg2≠0且lgm2＝0, ∴ m＝－1, 5

212 ∴ Sn＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,55

3 则 当n=1时，a1＝lg3lg2 5

21当n≥2时,an＝Sn－Sn1＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2) 55

41＝nlg2lg3lg2 55∴

41nlg2lg3lg2 55

4 d=an1an=lg2 5

41a5n3=(5n3)lg2lg3lg2 55

11=4nlg2lg3lg2 5

31数列{a5n3}是以a8=lg3lg2为首项,5d=4lg2为公差的等差数列，∴数列5∴an＝

{a5n3}的前n项和为

n·(lg331211lg2)＋n(n－1)·(4lg2)＝2n2lg2(lg3lg2)n 255

3．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.

解：设这个数列的首项为a1, 公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等12a166d35432, 解得d＝5.差数列，由已知得6a230d6a130d27

解法2：设偶数项和与奇数项和分别为S偶，S奇，则由已知得

S偶S奇354S32,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d, ∴ d＝5.偶S27奇

4．两个等差数列，它们的前n项和之比为5n3, 2n1

解：a9a1a17b9b1b1717(a1a17)S8.17\'17S173(b1b17)2

5．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110 解：在等差数列中，

S10, S20－S10, S30－S20, ……, S100－S90, S110－S100, 成等差数列，∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，

10S10＋109·D＝S100＝10, 解得D＝－22 2

∴ S110－S100＝S10＋10×D＝－120, ∴ S110＝－110.

6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13

值范围；

(2) 指出S1, S2, S3, ……, S121211S12ad01122a111d02解：(1) ,1312a6d01S1313a1d02

∵ a3＝a1＋2d＝12, 代入得247d024, ∴ －

(2) S13＝13a70, ∴ a6＋a7>0, ∴a6>0,S6最大.

六、板书设计（略）

七、课后记：

第20篇：代数知识复习

代数知识复习

选择题（每题3分，共30分）

1．下列运算正确的是 ()

22235A.a6a2a3B.5a3a2aC.(a)aaD.5a2b7ab

2的结果是（）

A．－2B．±2C．2D．

43、从2010年4月14日青海玉树地震发生后，截止至4月23日15时，中华慈善总会接收社会各界通过银行捐赠的玉树地震救灾款已达5.95亿元。用科学记数法保留两位有效数字表示“5.95亿”应记为（）

A、5.95×1010B、5.9×109C、6.0×108D、5.9×107

4、不等式组2x40

的解集在数轴上表示正确的是（）

A

B

CD

5．若抛物线yax22xc的顶点坐标为(2,3)，则该抛物线有 ()

A.最大值3B.最小值3C.最大值2D.最小值

26.已知关于x的方程2x2－9x＋n＝0的一个根是2，则n的值是()

A．n＝2B．n＝10C．n＝－10D．n＝10或n＝2

7．若关于x的一元二次方程nx22x10无实数根，则一次函数y(n1)xn的图像不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8．如图，在某中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的

路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线

OABC和线段OD，下列说法正确的是（）A、乙比甲先到终点；B、乙测试的速度随时间增加而增大；C、比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇；D、比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快

9．如图，边长为4的正方形OABC放置在平面直角坐标系中，OA在x轴正半轴上，OC在y轴正半轴上，当直线yxb中的系数b从0开始逐渐 变大时，在正方形上扫过的面积记为S．则S关于b的函数图像是 ()

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10．在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）

Ａ．(602x)(402x)2816

Ｂ．(60x)(40x)2816

Ｃ．(602x)(40x)2816

Ｄ．(60x)(402x)2816

一、填空题（每题3分，共18分）

11、不等式–3x25的解集是

12、若二次根式a 与是同类二次根式，则ab = ______________________

13、观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）1! = 1，2! = 2×1，3! = 3×2×1，4! = 4×3×2×1，„„，那么计算：

14、关于x的一元二次方程 k1xk212009!=__________。 2010!6x80 的解为_________________．

15．已知关于的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，则

P＝______ , q＝__．

216、如图为二次函数y的图象，给出下列说法： axbxcx

21，x3xbxc0①ab0；②方程a的根为x；③12

abc01x3；④当x1时，y随x值的增大而增大；⑤当y0时，． 其中，正确的说法有．（请写出所有正确说法的序号）

二、解答题（共72分）

3 x5y19

17、（10分）计算：①、2sin60º＋21－(

2010)0–②、4x3y6

18、（6分）解方程：

19．（8分）先化简，再求值：(

20、某班到毕业时共结余班费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T恤或一本影集作为纪念品．已知每件T恤比每本影集贵9元，用200元恰好可以买到2件T恤和5本影集．

⑴求每件T恤和每本影集的价格分别为多少元？

⑵有几种购买T恤和影集的方案？

21.关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2。

（1）求k的取值范围；

（2）如果x1+x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值。

22、（10分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单

3x20 x1x(x1)a2a14a1)a.，其中22a2aa4a4a

2价x（元）符合一次函数ykxb，且x65时，y55；x75时，y45．

（1）求一次函数ykxb的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

23、（10分）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

24、阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如23+=（1+）．善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．

22∴a=m+2n，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子

=（ +

分别表示a、b，得：a=，b=； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+

）2；

（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？

《高中数学代数教案模板.doc》

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