高中数学必修4示范课教案

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课题：1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二) 教学目的：

知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；

能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。

德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，

实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；

教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用 授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：

一、复习引入：

二、讲解新课：

1.奇偶性

请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？

(1)余弦函数的图形

当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。 例如：

f(-11)=,f()= ,即f(-)=f()；…… 323233由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。

定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

例如：函数f(x)=x+1, f(x)=x-2等都是偶函数。

(2)正弦函数的图形

观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。

也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。

定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。

24例如：函数y=x, y=

1 都是奇函数。 x如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。 注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称；

（2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。 首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。

2.单调性

从y＝sinx，x∈［－当x∈［－

3］的图象上可看出： ,22，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.223当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.22结合上述周期性可知：

＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1223增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小

22正弦函数在每一个闭区间［－到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.3.有关对称轴

观察正、余弦函数的图形，可知

y=sinx的对称轴为x=k2 k∈Z y=cosx的对称轴为x=k k∈Z （1）写出函数y3sin2x的对称轴； （2）ysin(x4)的一条对称轴是（ C ）

(A) x轴， (B) y轴， (C) 直线x

4.例题讲解

例1 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)4， (D) 直线x4

1sinxcosx;

1sinxcosx44(2)f(x)=sinx-cosx+cos2x; (3)f(x)lg(sinx1sinx);

2lg(1x2)（4）f(x)

|x2|22xx (x0)（5）f(x)； 2xx (x0)例2 (1)函数f(x)＝sinx图象的对称轴是

；对称中心是

. (2)函数f(x)3sinxcosx图象的对称轴是 ；对称中心是 .例3 已知f(x)=ax+bsin3x+1(a、b为常数)，且f(5)=7,求f(-5).例4 已知已知f(x)log11sinx.

21sinx(1) 求f(x)的定义域和值域； (2) 判断它的奇偶性、周期性； (3) 判断f(x)的单调性.

例5 (1)θ是三角形的一个内角，且关于x 的函数f(x)=sain(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，求θ的值. (2)若函数f(x)=sin2x+bcos2x的图象关于直线x例6 已知f(x)loga(sin1.有关奇偶性

（1）f(x)sin|x||sinx| （2）(x)28对称，求b的值.

xxsin4)(a0,a1)，试确定函数的奇偶性、单调性.221sinxcosx

1sinxcosx有关单调性

（1）利用公式sinsin2cos2sin2，求证f(x)sinx在[,]上是22增函数；

（2）不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0； ①sin()；

18102317②cos()cos()

54（3）比较sin1,sin2,sin3大小；sin(3)sin1sin(2) （4）求函数y2sin(3x

三、巩固与练习

练习讲评

（1）化简：2sin2cos4 2)sin(4)的单调递增区间；

asin（2）已知非零常数a,b满足

55tan8，求b的值；

15aacosbsin55bcos（3）已知8sin10cos5,8cos10sin53 求值：（1）sin()；（2）sin(解：

（1）2sin2cos4 23)

2sin2212sin223(1sin22)3cos223|cos2|3cos2

（2）

a8sincoinb5515a8cossincosb5515

888sincoscoinsin()a155155155tan3888b3coscossinsincos()1551551552（3）两式平方相加得164160sin()100sin()；

510cos58sin10sin538cos

两式平方相加得10016480sin803cos

即1322sincos,sin() 2253

5四、小 结：本节课学习了以下内容： 1． 2． 3．

五、课后作业：见教材

六、板书设计：

七、教学反思

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