余弦定理的证明方法大全(共十法)
一、余弦定理
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC中,已知ABc,BCa,CAb,则有
a2b2c22bccosA, b2c2a22cacosB, c2a2b22abcosC.
二、定理证明
为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可: 在ABC中,已知ABc,ACb,及角A,求证:a2b2c22bccosA.证法一:如图1,在ABC中,由CBABAC可得:
CCBCB(ABAC)(ABAC)
ABAC2ABAC
b2c22bccosA
AB图122即,a2b2c22bccosA.证法二:本方法要注意对A进行讨论.
(1)当A是直角时,由b2c22bccosAb2c22bccos90b2c2a2知结论成立.(2)当A是锐角时,如图2-1,过点C作CDAB,交AB于点D,则
在RtACD中,ADbcosA,CDbsinA. 从而,BDABADcbcosA.在RtBCD中,由勾股定理可得: BC2BD2CD2
(cbcosA)2(bsinA)2
c22cbcosAb2
AD图2-1BC即,a2b2c22bccosA. 说明:图2-1中只对B是锐角时符合,而B还可以是直角或钝角.若B是直角,图中的
点D就与点B重合;若B是钝角,图中的点D就在AB的延长线上.(3)当A是钝角时,如图2-2,过点C作CDAB,交BA延长线于点D,则 在RtACD中,ADbcos(A)bcosA,CDbsin(A)bsinA. 从而,BDABADcbcosA.在RtBCD中,由勾股定理可得:
C BCBDCD
(cbcosA)2(bsinA)2
c22cbcosAb2
DA图2-2B222即,abc2bccosA.综上(1),(2),(3)可知,均有a2b2c22bccosA成立.证法三:过点A作ADBC,交BC于点D,则
BDAD在RtABD中,sin,cos.
ccCDAD在RtACD中,sin,cos.
bbCD222βαA图3B由cosAcos()coscossinsin可得: ADADBDCDADBDCDcosA
cbcbbc2AD22BDCDc2BD2b2CD22BDCD
2bc2bcb2c2(BDCD)2b2c2a2
2bc2bc2整理可得a2b2c22bccosA.证法四:在ABC中,由正弦定理可得
abcc.sinAsinBsinCsin(AB)从而有bsinAasinB,………………………………………………………………①
csinAasin(AB)asinAcosBacosAsinB.…………………………②
将①带入②,整理可得acosBcbcosA.…………………………………………③ 将①,③平方相加可得a2(cbcosA)2(bsinA)2b2c22bccosA.
即,a2b2c22bccosA.证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),再由两点间距离公式可得a2(cbcosA)2(bsinA)2c22cbcosAb2.即,a2b2c22bccosA.
A(O)图4BxyC证法六:在ABC中,由正弦定理可得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.于是,a24R2sin2A4R2sin2(BC)
4R2(sin2Bcos2Ccos2Bsin2C2sinBsinCcosBcosC) 4R2(sin2Bsin2C2sin2Bsin2C2sinBsinCcosBcosC) 4R2(sin2Bsin2C2sinBsinCcos(BC)) 4R2(sin2Bsin2C2sinBsinCcosA)
(2RsinB)2(2RsinC)22(2RsinB)(2RsinB)cosA
b2c22bccosA
即,结论成立.证法七:在ABC中,由正弦定理可得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.于是,a2b2c22bccosA
4R2sin2A4R2sin2B4R2sin2C8R2sinBsinCcosA
2sin2A2sin2B2sin2C4sinBsinCcosA
2sin2A2cos2Bcos2C4sinBsinCcosA
22cos2A22cos(BC)cos(BC)4sinBsinCcosA 由于cos(BC)cos(A)cosA,因此
cos2Acos(BC)cos(BC)2sinBsinCcosA
cosAcos(BC)2sinBsinC
cosAcosBcosCsinBsinCcos(BC).这,显然成立.
即,结论成立.证法八:如图5,以点C为圆心,以CAb为半径作C,直线BC与C交于点D,E,延长AB交C于F,延长AC交C于G.
F2bcosA-cEBaGbbCbb-acA则由作图过程知AF2bcosA, 故BF2bcosAc.由相交弦定理可得:BABFBDBE, 即,c(2bcosAc)(ba)(ba), 整理可得:abc2bccosA.222D图5证法九:如图6,过C作CD∥AB,交ABC的外接圆于D,则ADBCa,BDACb.分别过C,D作AB的垂线,垂足分别为E,F,则AEBFbcosA,故CDc2bcosA.由托勒密定理可得ADBCABCDACBD, 即,aac(c2bcosA)bb.
bCD整理可得:abc2bccosA.证法十:由图7-1和图7-2可得a2(cbcosA)2(bsinA)2, 整理可得:a2b2c22bccosA.
AE222aac图6FBCEAbsinAaBCbsinADc-bcosAc-bcosAaBbcosAD
余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.
图7-1图7-2