高中数学正余弦定理教案模板（精选多篇）

推荐第1篇：高中数学余弦定理

高中数学余弦定理

[教学设计说明]

一、教案说明：

在进入21世纪的当前，教育正在由应试教育向素质教育转变，实施素质教育就要求每位教师加强素质教育课堂教学模式和教学策略的研究，这是历史赋予我们这一代教育工作者的重任，也是一种机遇和挑战。

《余弦定理》一课教学模式和策略设计就是想让素质教育如何落实在课堂教学的每一个环节上进行一些探索和研究。旨在通过学生自己的思维活动获取数学知识，提高学生基础性学力(基础能力)，培养学生发展性学力(培养终身学习能力)，诱发学生创造性学力(提高应用能力)，最终达到素质教育目的。为此，我在设计这节课时，采用开放式课堂教学模式，以学生参与为主，教师启发、点拨的课堂教学策略。

开放式教学模式是充分建立在学生学习过程认识上的一种模式，其充分注重“人”的学习心理，通过设置开放性问题，问题的层次性推进和教师启发、点拨发展学生有效思维，提高数学能力，达到上述三种学力的提高、培养和诱发。以学生参与为主，教师启发、点拨教学策略是体现以学生发展为本的现代教育观，在开放式讨论过程中，提高学生的数学基础能力，发展学生的各种数学需要，使其获得终身受用的数学基础能力和创造才能。

根据上述的体会、想法，我在余弦定理第一节教学课的设计上进行一些探索，用图解说明如下：

二、教学目标：

1．掌握余弦定理及其多种推导过程。

2．通过一题多解，培养学生思维的灵活性，提高数学交流能力。 3．综合运用正弦定理和余弦定理解决有关的实际问题。

三、教学重点、难点：

重点是余弦定理的推导及其应用。难点是综合运用正弦定理和余弦定理解决有关解斜三角形的应用题。 [教学过程]

一、借助直观，激发兴趣，提出问题。

问题一：判别给出的四个三角形模型的形状(不用测角工具) 。

学生在回答过程中发现，有些三角形是很难凭自己经验知识和直观感觉就能做出判断。显然，我们可测出三角形的三边长，这个问题就可归纳到这样的问题：已知三角形三边长，求三个角(只需求最大角)大小问题。

二、学生思考，小组交流，解决问题。

问题二：在ΔABC中，已知a=7，b=5，c=3，求最大角。

学生不同的解法简录：

方法一(方程思想)：如图，BC²=CD²+BD²

即a²=：(b-ccosA)²十(csinA)²

方法二(解析法)：如图建立直角坐标系，B(ccosA，csinA) C(b，0)，由│BC│=a可得。

方法三(三角法)：如图，设∠CAD=α,∠BAD=β AD=x, CD=y，则c²-(a-y)²=b²-y²， 2ay：b²+a²-c²，X²+y²=b²

cosA：COS(a十β)：COSaCOSβ—sinasinβ

教师巡视，启发点拨学生参与一题多解解法探求，组成四人小组交流发言，形成开放性求解研究的趣味，结果发现学生有三种不同的解法。有利于发展学生思维的广阔性，优化学生思维的品质，提高数学交流能力。

三、让学生在实践中归纳整理得到余弦定理。归纳得：

并把这些数学表达式叙述成数学语言。

让学生掌握由特殊到一般，类比、抽象和归纳等数学思想方法，并探求出一般结论——余弦定理。

四、使学生认识到数学源于实践，服务实践。

问题三：如何用余弦定理判别△ABC形状(已知三边长a、b、c)。

解:不妨设a

a2十b2>，c2 △ABC为锐角三角形，a2十b2=c2ABC为直角三角形，a2十b2ABC为钝角三角形。 解决开始提出的问题，使学生认识到，通过自己主动参与而能自行获取数学知识，并能学到摄取知识的数学思想方法，逐步形成发现、研究、解决问题的方法，诱发创造才能。

问题四：请你设计一种方法，在河的一侧测量出对岸某两点间距离(工具有尺和测角器)。

学生方案实录：

方案一：如图一，在A、B所在对岸取点C，使A、B、C三点共线，再测出∠ACD=90°，CD=a，∠CDA=α，∠CDB=α，即可求AB=a(tgβ—tgα) 方案二：如图二，在A、B所在对岸取三点P、C、D，测出∠APC=∠BPD=90°，PC=a，PD=b，∠APB=θ，∠ACP=α，∠PDB=β，则AP=atgα，BP=btgβ，再由余弦定理可求得AB长。 方案三：如图三，在A、B所在对岸取C、D两点，测出∠BCD=α，∠CDB=β，CD=a，由正弦定理得再测出∠ACD=Φ ,∠ADC=θ，由正弦定理得 在△ABD中, 再由余弦定理求得AB=√AD2+BD2-2AD.BDcos(β-θ) 以四人小组展开讨论、交流，教师巡视、启发、点拨，最终出现三种解决问题的方法。通过开放性应用数学问题的解决，让学生思维得到升华，并在问题解决中感悟到探索价值，发展创造性思维。

五、小结。

增强学生记忆，加深理解，发展思维，培养数学交流能力。在教师启发、点拨下，让学生参与完成小结。1．掌握余弦定理表达式、各种变形表达式及语言叙述。2．余弦定理适用范围，重视正、余弦定理的综合应用。

推荐第2篇：正余弦定理

正弦、余弦定理

一.填空

1．在ABC中，BCa，ACb，SABC

4

ab，则BC、AC两边的夹角等于____． 2.∠A=60°，∠B=30°，a=3, 则b=,c=,∠C=3.∠A=45°，∠B=75°，b=8, 则a=,c=,∠C=.4．在ABC中，a8，B60

，C75

，则b________．

5.在ABC中，a2+b2=c2,则ABC是

6.在ABC中，a2+b2>c2, a2+c2>b2 ，c2+b2>a2则ABC是三角形。 7.在ABC中，a2+b2

8.在ABC中，a∶b∶c=5∶12∶13则ABC是 9．在ABC中，sin2

Asin2

Bsin2

C，则C___________．

10．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则∠ABC的余弦值为___________． 11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b6，B＝120°，则a＝________________.

12．△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知A=

46

,a3，b4则角

二.选择题

1．在ABC中，b10，c15，C30

，则此三角形解的情况是（） A．一解B．两解C．无解D．无法确定 2．在△ABC中，若b2asinB，则A等于（）

A．300

或600

B．450

或600

C．1200

或600

D．300

或1500

3．在ABC中，a6，B30

，C120

，则ABC的面积是（）

A．9B．18C．9D．18 4．在ABC中，若

sinAcosB

a

b

，则B的值为（） A．30

B．45

C．60

D．90

5．在ABC中，AB1，BC2，则角C的取值范围是（）

A．(0,



]B．(0,]C．(,

6362]D．[6

,) 6．在ABC中，a，b1，B30

，则ABC的面积为是（）

A．

32B．34C．32或3D．32或4

7．在ABC中，下列命题中正确的是（） A．若sinA

112，则A30B若cosA

，则A60C．a80，b100，A45

的三角形有一解 D．a18，b20，A150

的三角形一定存在

8．如果满足ABC60

，AC12，BCk的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（）A．k8B．0k12C．k12D．0k12或k83

9．在ABC中，(sinAsinBsinC)23(sin2Asin2Bsin2

C)，则这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形D．等边三角形

三解答题

1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2

c2

b2



12

ac.求cosB的值；

2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，又A60°，sinB:sinC2:3.（1）求

b

c

的值； （2）若△ABC的AB边上的高为33，求a的值.

推荐第3篇：正余弦定理

正余弦定理

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有abc2R． sinsinsinC

2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；abc，sin，sinC；③a:b:csin:sin:sinC； 2R2R2R

abcabc④． sinsinsinCsinsinsinC②sin（正弦定理主要用来解决两类问题：

1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。）

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况） 如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：

当无交点则B无解、

当有一个交点则B有一解、

当有两个交点则B有两个解。

法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：

当a

当bsinA

当a=bsinA或a>b时，B有一解

注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。

3、三角形面积公式：SC111bcsinabsinCacsin． 22

2222222

4、余弦定理：在C中，有abc2bccos，bac2accos，

c2a2b22abcosC．

b2c2a2a2c2b2a2b2c

25、余弦定理的推论：cos，cos，cosC． 2bc2ac2ab(余弦定理主要解决的问题：

1、已知两边和夹角，求其余的量。

2、已知三边求角)

6、如何判断三角形的形状：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若a2b2c2，则C90；

②若abc，则C90；③若abc，则C90．

正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,

C、D两点，

并测得∠ACB=75, ∠BCD=45, ∠ADC=30,

∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B

本题解答过程略

附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.

内心：三角形三内角的平分线相交于一点.

垂心：三角形三边上的高相交于一点.OOOO222222数学必修5第一章《解三角形》

1.1 正弦定理与余弦定理（习题课）

一、课前练习：

1、在△ABC中，若b2asinB，则A等于（）

A．30或60B．45或60 C．120或60D．30或150

2、在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则角C___________。

3、三角形△ABC中AB=14，角C60，AC：BC=8：5，求△ABC的面积S。

二、课堂练习： 00000000

abc

1、在ABC中，若A60，asinAsinBsinC等于（）

1A、2；B、2；CD、。

2、在OAB中，O为坐标原点，A(1,cos),B(sin,1),(0,

2]，则当OAB的面积达

最大值时，。

3、在ABC中，A:B1:2，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，求cosA。

4、在△ABC中，bcbca，且

三、课后练习：

1、在ABC中，(ac)(ac)b(bc)，则A=（）

A、30；B、60；C、120；D、150

2、在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosAsinB,则△ABC的形状为（）

A、钝角三角形； B、锐角三角形;C、直角三角形； D、无法确定其形状。

3、在ABC中，∠A=60°, a=6 , b=2, 那么满足条件的ABC共有个。 222c13，求角A和tanB的值。 b

2S3，则a=。

4、在ABC中，b

8，cABC

5、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA

（1）求sin

6、在ABC中，已知(abc)(abc)3abc，sinAsinB

状.21。 3BCcos2A的值； （2）若a3，求bc的最大值。 23，试判断三角形的形

47、已知ABC的周长为6，BC,CA,AB成等比数列，求

（1）ABC的面积S的最大值；（2）BABC的取值范围.参考答案

1.1 正弦定理与余弦定理（习题课）

一、课前练习：

1、D；

2、1200；

3、设AC8x,BC5x，ABACBC2ACBCcosC

19664x25x40x49xx2AC16,BC10S22222221ACBCsinC40。

2二、课堂练习：

1、A；

2、450；

3、SADC:SBDC3:2,AD:BD3:2，于是设AD3x,BD2x ADCDBDCD, sinACDsinAsinBCDsinB

3xCD2xCD,3sinA2sin2A4sinAcosA sinACDsinAsinACDsin2A

3所以，cosA。 4在△ADC与△BDC中，由正弦定理得，

b2c2a21A60

4、bcbca,cosA2bc222

2c1a2c2ca又由bcbca得，212，， b2bb2bb222

则 sinA52 sinBcosBsinB25

5sinB1a25。 ，所以tanB1,abb(0,90)cosBcosB2b25

三、课后练习：

1、C；

2、B；

3、1；

4、8；

5、(Ⅰ)sinBC1cos2A=[1cos(BC)](2cos2A1) 2

212=(1cosA)(2cosA1) 2

1121=(1)(1)=  23992

2b2c2a21cosA，∴bcb2c2a22bca2, (Ⅱ) ∵32bc

3又∵a3， ∴bc

9.4993， 当且仅当 bc时, bc= 424故bc的最大值是

6、由（a+b+c）(a+b－c)=3ab(ab)c3ababcab, 2222

2a2b2c21∵0°

∴cos(A+B)=－

∴cosAcosB=311cosAcosBsinAsinB,∴sinAsinB=①, 4221②,①+②得cos(A－B)=1，AB, ∴A－B=0,

4∴A=C=B=60°，故△ABC为正三角形.27、设BC,CA,AB依次为a,b,c,则abc6,bac,由余弦定理得

a2c2b2a2c2ac2acac1cosB 2ac2ac2ac2

故有0B

3，又bac6b,从而0b222

11212SacsinBbsinB

2sinSmax（1

）所以2223

22222(ac)2acbBABCaccosB（2）所以22(6b)23b2(b3)2272

0b22BABC18

推荐第4篇：正余弦定理

（2011大纲卷）

17.（本小题满分10分）

ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c

。已知AC90,ac，求C （2011课标卷）

16.在

ABC中，B60,ACAB2BC的最大值为。

（2011山东）

（17）（本小题满分12分）

在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA-2cosC2c-a=.cosBb

sinC的值； sinA

1（Ⅱ）若cosB=，b=2,求△ABC的面积S.4（Ⅰ）求

（2011江苏卷）

15、在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c

（1）若sin(A)2cosA, 求A的值； 6

1（2）若cosA,b3c，求sinC的值.3

（2011浙江卷）

（18）（本题满分14分）在ABC中，角A.B.C所对的边分别为a,b,c.1已知sinAsinCpsinBpR,且acb2.

45（Ⅰ）当p,b1时，求a,c的值； 4

(Ⅱ)若角B为锐角，求p的取值范围；

（2011福建卷）

14.如图，ABC中，ABAC

2，BCD在BC边上，

ADC450，则AD的长度等于___________.

（2011安徽卷）

o（14）已知ABC 的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的

面积为_______________

（2011天津卷）

6．如图，在△ABC中，D是边AC

上的点，且ABCD,2AB,BC2BD，则

sinC的值为

A

．3B

．

6CDb a（2011辽宁卷） 4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a，则

A．B．CD（2011湖南卷理数）

17.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC.(Ⅰ）求角C的大小；

（2011陕西卷）

18．（本小题满分12分）

叙述并证明余弦定理。 )的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。

4（2011江西卷）

17.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin

（1）求sinC的值

（2）若 a2+b2=4(a+b)-8，求边c的值

（2011湖北卷） C

216.（本小题满分10分）

1设ABC的内角A.B.C所对的边分别为a.b.c，已知a1.b2.cosC.4

（Ⅰ）求ABC的周长

（Ⅱ）求cosAC的值

（2011重庆卷）

（ab）c4，且C=60°，则（6）若ABC的内角A、B、C所对的变a、b、c满足2

2ab的值为

（A）42（B

）8(C) 1(D)3

3（2011四川卷）

6.在ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则A的取值范围是

（A）(0,]（B）[,)（C）(0,]（D）[,) 6633

（2011上海卷）

6.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB75,CBA60，则A、C两点

之间的距离为千米.

推荐第5篇：正余弦定理测试题

正余弦定理测试题

一、选择题

1.已知三角形三内角之比为1：2：3，则它们所对边之比为（）

A.1：2：3B.1:2:C.1::2D.2:3:

22.有分别满足下列条件的两个三角形：（1）B30,a14,b7（2）B60,a10,b9

那么下面判断正确的是（）

A．（1）只有一解（2）也只有一解B．（1）有两解（2）也有两解

C．（1）有两解（2）只有一解D．（1）只有一解（2）有两解

3．在△ABC

中，已知角B450,cb， 则角A的值是（） A．15°B．75°C．105°D．75°或15°

4．边长为

5、

7、8的三角形的最大角与最小角之和的 （）

A．90° B．120° C．135° D．150°

5．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，那么cosC的值为（）

A．－1 4B．1 4C．－ 2 3D．2

36．△ABC中，∠A=60°，a

A．有一个解

7.6,b4，那么满足条件的△ABC（） C．无解 D．不能确定 B．有两个解 (abc)(abc)3ab，则c边所对的角等于（）

A．45B．60C．30D．150

8.锐角三角形的三边长分别为x+x+1,x－1和2x+1(x＞1)，则最大角为（）

A．150°B．120°C．60°D．75°

9．在 中， ，则三角形的形状为（） 2

2A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．等边三角形

10.三角形三条边如下：（1）3，5，7（2）10，24，26（3）21，25，28，其中锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的顺序依次是（）

A．（3）（2）（1）B．(1)(2)(3)C．(3)(1)(2)D．（2）（3）（1）

11.三角形ABC周长等于20，面积等于3,A60，则a为（）

A.5B.7C.6D.8

正余弦定理测试题

12．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么

x的值为

A．3

二、填空题（）C．2或D．3B．2

313．在△ABC中，a2,b6,A30,则C

14．在△ABC中，若∠B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积为___。

15．在△ABC中，(sinAsinC):(sinCsinA):(sinAsinB)4:5:6，则最大角的度数是___

16．在△ABC 中，A=3°，b=12，S△ABC =18，则sinAsinBsinC 的值_______。 abc

三、解答题

17．已知钝角△ABC 的三边a=k,b=k+2,c=k+4, 求k的取值范围。

18．根据所给条件，判断△ABC的形状.

（1）acosA=bcosB；(2)

19．在△ABC中,已知C60,AB31,线段AC上有一点D，AD=20，BD=21，求BC长。

20.a、b、c为△ABC的三边，其面积S△ABC=123,bc=48,b－c=2,求a.

21.已知a2b2c2bc,2b3c,a，求ABC的面积。

22.（2011.陕西）叙述并证明余弦定理。

abc． cosAcosBcosC

推荐第6篇：高中数学 《余弦定理》教案1 苏教版必修5

第 3 课时：§1.2余弦定理（1）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题

3.通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.二、过程与方法

利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

三、情感、态度与价值观

1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；

2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

【教学重点与难点】：

重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

难点：向量方法证明余弦定理.【学法与教学用具】：

1.学法：

2.教学用具：多媒体、实物投影仪.

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1.正弦定理的内容？

2.由正弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？

二、研探新知

1．余弦定理的向量证明：

方法1：如图，在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b．∵ACABBC，

∴ACAC(ABBC)(ABBC)AB22ABBCBC

2BAB22|AB||BC|cos(1800B)+BC2222c22accosBa2 即bca2accosB；

同理可证：abc2bccosA，cab2abcosC． 222222

方法2：建立直角坐标系，则A(0,0),B(ccosA,csinA),C(b,0)．所以

a2(ccosAb)2(csinA)2c2cos2Ac2sin2A2bccosAb2b2c22bccosA，同理可证

1b2c2a22accosB，c2a2b22abcosC

注意：此法的优点在于不必对A是锐角、直角、钝角进行分类讨论．

于是得到以下定理

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即

b2c2a

2abc2bccosAcosA 2bc222

c2a2b2

bca2accosBcosB 2ca222

a2b2c2

cab2abcosCcosC 2ab222

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 用符号语言表示：a2b2c22bccosA，„等；

2.理解定理

注意：（1）熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等

（2）余弦定理的应用：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

（3）当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）

b2c2a2a2c2b2a2b2c2

（4）变形：cosAcosBcosC 2bc2ac2ac

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若ABC中，C=900，则cosC0，这时c2a2b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 （教材P在ABC中，（1）已知b3,c1,A600，求a；（2）已知a4,b5,c6，14例1）

求A

7，8的三角形中，求最大角与最小角的和 例2 边长为5，

例3 在ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值

例4 在ABC中，a、b是方程x23x20的两根，又2cos(AB)1，求：（1）角C的度数；（2）求AB的长；（3）ABC的面积

四、巩固深化，反馈矫正

1．在ABC中，sinA:sinB:sinC3:5:7，那么这个三角形的最大角是_____

22.在ABC中，(ac)(ac)b(bc)，则A______

在ABC中，Sa2b2c2

3.4，则角C的度数是______

4.在ABC中，已知a7,b8,cosC1

314，则最大角的余弦值是______

5.已知锐角三角形的边长分别是

1、

3、a，则a的取值范围是_______

6.用余弦定理证明：在ABC中，当C为锐角时，a2b2c2；当C为钝角时，a2b2c2．

五、归纳整理，整体认识

1.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

2.余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边。

六、承上启下，留下悬念

1．书面作业

七、板书设计（略）

八、课后记：

推荐第7篇：高中数学《余弦定理》教案2 苏教版必修5

第2课时余弦定理

【学习导航】

知识网络

余弦定理航运问题中的应用



判断三角形的形状

学习要求

1．能把一些简单的实际问题转化为数学问题；

2．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；

3．初步利用定理判断三角形的形状。 【课堂互动】

自学评价

1．余弦定理：

(1)_______________________，_______________________，_______________________.(2) 变形：____________________，

_____________________，_____________________ .

2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （１）_______________________________； （２）______________________________． 【精典范例】

【例1】在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流，一渡船在江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达江北岸B码头，

设AN为正北方向，已知B码头在A码头的北偏东150

，并与A码头相距1.2km．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度

精确到0.10

，速度精确到0.1km/h）？

【解】

用心爱心 听课随笔

【例2】在ABC中，已知

sinA2sinBcosC，试判断该三角形的形状． 【解】

【例3】如图，AM是ABC中BC

中线，求证：

AM

．

【证明】

追踪训练一

1.在△ＡＢＣ中，如果sinA:sinB:sinC＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（Ａ．

2 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．13

3

3

4

2.如图，长７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯脚与壁基相距１．５ｍ，

梯顶在沿着壁向上

专心

６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精确到０.１°）．

3.在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，试证明此三角形为锐角三角形．

【选修延伸】

3【例4】在△ABC中，设

ab3c3

abc

c2

，

且sinAsinB34

，请判断三角形的形状。

【解】

用心爱心听课随笔

专心

推荐第8篇：高中数学《余弦定理》教案1 苏教版必修5

1.2余弦定理 第1课时

知识网络

三角形中的向量关系→余弦定理 学习要求

1． 掌握余弦定理及其证明； 2． 体会向量的工具性；

3． 能初步运用余弦定理解斜三角形． 【课堂互动】

自学评价

1．余弦定理：

(1)a2b2c22bccosA，______________________，______________________.(2) 变形：cosA

b

2c

2a

2

，

2bc

___________________，___________________ .2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：

（１）_______________________________； （２）_______________________________． 【精典范例】

【例1】在ABC中，

（1）已知b3，c1，A600，求a； （2）已知a4，b5，c6，求A（精确到0.10）． 【解】

点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个

用心爱心角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

【例2】A,B两地之间隔着一个水塘，听课随笔

择另一点C，测CA182m,CB126m,ACB630

，

求A,B两地之间的距离确到1m）．

【解】

【例3】用余弦定理证明：在ABCC为锐角时，a2b2c2；当Ca2b2c2

．

【证】

点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广． 追踪训练一

１．在△ＡＢＣ中，

求a；

（２）已知a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，

２．若三条线段的长为５，６，７，则用这

三条线段（）Ａ．能组成直角三角形 Ｂ．能组成锐角三角形 Ｃ．能组成钝角三角形

专心

Ｄ．不能组成三角形

３．在△ＡＢＣ中，已知a2b2abc2，试求∠Ｃ的大小．

４．两游艇自某地同时出发，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行驶，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏东４５°的方向行驶，问：经过４０ｍｉｎ，两艇相距多远？

【选修延伸】

【例4】在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x2

23x20的两根，

2cosAB1。

（1） 求角C的度数；

（2） 求AB的长； （3）求△ABC的面积。 【解】

用心爱心

【例5】在△ABC中，角A、B、C听课随笔

分别为a，b，c，证明： a

2b2

AB。

c

2

sinsinC

追踪训练二

1．在△ABC中，已知b2，

c1，B=450则a（） A2B

62

2 C

62

622

D2

2．在△ABC中，已知AB=5，AC=6，BC=31则A=（）

A2

B

3C6D

43．在△ABC中，若b10，c15，C=

6则此三角形有解。

4、△ABC中，若a2

c2

bcb2

， 则A=_______.

专心

【师生互动】

用心爱心 专心3

推荐第9篇：正余弦定理课后反思

课

后

反

思

关于正余弦定理是高考必考内容，分值在5—15分之间，并且该内容并不是很难，高考考察难度也不高，是学生高考得分点。所以本节内容的教学力求学生掌握并能应用。本节内容主要题型包括（1）利用正余弦定理解斜三角形；（2）利用正余弦定理判断三角形形状；（3）与三角形面积有关问题；（4）正余弦定理的综合应用。本节课主要解决（1）、（2）两个问题。

本节课的感觉还可以，首先，学生的基础知识掌握还好，上课提问了两个学困生，对于基础知识的回答完全正确，说明上节课的复习有成效：其次，学生对于课上问题的解答基本能解答清楚，并且部分学生有不同思路和解答；再次，学生课堂气氛较活跃，回答问题较积极，体现了较好的学习积极性。不足之处，教师备课不是很充分，对于学生的反应估计不足，以至于例2的讲解不是很充分，时间太仓促。所以想到，

1、今后每节课较好的解决一个问题就行，要多给学生留消化时间，不要满堂灌；

2、要把握好细节，对学生的思路，解题过程要详细、认真辨析，增强总结；

3、抓好落实，要想方设法让尽可能多的学生掌握所学知识。

推荐第10篇：正余弦定理推导过程

先利用单位圆（向量）推到两角和与差的余弦公式，再利用诱导公式推导正弦公式，最后利用同角三角函数的基本关系推到正切公式。

如：sin(a+b)=cos[(pi/2-a)-b]=cos(pi/2-a)cosb+sin(pi/2-a)sinb=sinacosb+cosasinb

取直角坐标系，作单位圆

取一点A，连接OA，与X轴的夹角为A

取一点B，连接OB，与X轴的夹角为B

OA与OB的夹角即为A-B

A（cosA,sinA),B(cosB,sinB)

OA=(cosA,sinA) ...

在直角坐标系xoy中，作单位圆O，并作角α，β，-β，使角α的始边为Ox交⊙O于P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.依三角函数的定义，得P

1、P

2、P

3、P4的坐标分别为P1（1，0），P2（cosα,sinα）、P3（cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).连接P1P3，P2P4.

则∣P1P3∣=∣P2P4∣.依两点间距离公式，得

∣P1P3|2=〔cos(α+β)-1〕2+〔sin(α+β)-0〕2,

∣P2P4|2=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2

∴〔cos(α+β)-1〕2+sin2(α+β)=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2

展开整理，得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)

∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ……Cα+β.该公式对任意角α，β均成立

在公式Cα+β中，用-β替代β.

cos(α-β)=cos〔α+(-β)〕=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ……Cα-β.该公式对任意角α，β均成立.

第11篇：正余弦定理考试大纲

解三角形考试大纲

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

第12篇：正余弦定理互推的

解三角形的万能法则

王霖普

现在我们来看一个问题。在一个确定的三角形中有6个量，分别为3个角三

个边，解三角形的过程就是在确定边角的过程，那至少需要几个量才能分别确定其他量呢？ 从正弦定理的角度看a

sinAbc，显然既需要知道边又需要知道角。 sinBsinC

A类：任意一边和任意两角。正弦定理

B类：任意两边和任意一角（除SAS ）求另外一角首选正弦定理求另外一边首选余弦定理 C类：任意两边和任意一角（SAS情况）余弦定理

D类：已知任意一角及另外两边的关系余弦定理E类 ：已知三边或三边之间的关系余弦定理F类：具备消元条件，也可以参杂不确定或正余弦互用

第13篇：正、余弦定理练习2

正余弦定理练习2

1.在ABC中，若

sinAcosBa

b

，则B的值为（）

A．30B．45C．60D．90

2.在ABC中，已知角B=60，C=45，BC=8，AD⊥BC于D，则AD长等于（） A．4(31)B．4(31)C．4(33)D．4(33)3.在ABC中，bc21，C=45，B30

，则（）

A．b1，c2B．b

2，c1

C．b

2，c12D．b12

2，c22

4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝

π

3

a＝3，b＝1，则c等于() A．1B．2C.－3

5.在△ABC中，三内角A、B、C分别对三边a、b、c，tanC＝4

3，c＝8，则△ABC外

接圆半径R为() A．10B．8C．6D．5

6.已知△ABC的三个内角A，B，C，Bπ

3且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的

长为________．

7.在ABC中，已知b3，c33，B30，则a___________．

8.若一个锐角三角形的三边分别为

2、

3、x，则x的取值范围是_______________

9.在ABC中，已知A30，B120，b5，求C及a、c的值；

10已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝10，cosC＝25

5

.

(1)求BC边的长；(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．

第14篇：正、余弦定理及其应用

龙源期刊网 http://.cn

正、余弦定理及其应用

作者：夏志辉

来源：《数学金刊·高考版》2013年第10期

正、余弦定理及其应用是高中数学的一个重要内容，是高考必考知识点之一，也是解三角形的重要工具，常常会结合三角函数或平面向量的知识来考查其运用.

重点难点

在高考中，本部分知识所考查的有关试题大多为容易题.在客观题中，突出考查正、余弦定理及其推论所涉及的运算；在解答题中，通常联系三角恒等变形、三角形内角和定理、三角形面积公式等知识进行综合考查，常见的有证明、判断、求值（求解斜三角形中的基本元素：角、面积等）及解决实际问题等题型.

重点：①正确理解正、余弦定理的概念，了解正、余弦定理之间的内在联系，掌握公式的一些常用变形；②判断三角形的形状；③解斜三角形；④运用正、余弦定理解决一些实际问题以及与其他知识相互渗透的综合问题.

难点：①解三角形时解的情况的讨论；②正、余弦定理与三角恒等变换等知识相互联系的综合问题.

第15篇：5正余弦定理练习题

正弦定理、余弦定理练习题

一、选择题

1.已知在△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,那么cosC的值为

A.-B.C.-D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是

A.0B.1C.2D.无数个

3.在△ABC中，bcosA=acosB，则三角形为

A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

4.已知三角形的三边长分别为x

2+x+1,x2

-1和2x+1(x＞1)，则最大角为

A.150°B.120°C.60°D.75°

5.在△ABC中，

=1，=2，（+）·（

+）=5+2则边||等于

A.B.5-2C.

D.

6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.在△ABC中，若b2

sin2

C+c2

sin2

B=2bccosBcosC，则此三角形为

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

8.正弦定理适应的范围是

A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△

9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=

A.10+B.10（-1）C.（+1）D.10

10.在△ABC中，bsinA＜a＜b，则此三角形有

A.一解B.两解C.无解D.不确定

11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2

-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2

C.16D.

412.在△ABC中，a2

=b2

+c2

+bc，则A等于

A.60°B.45°C.120D.30°

13.在△ABC中，

，则△ABC是

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形

14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于

A.B.2C.+1D.(+1)

15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sinAsinC等于

A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B

16.在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

17.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为

A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

18.△ABC中，sin

2A=sin2

B+sin2

C，则△ABC为

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形

19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为

,则△ABC外接圆的直径为

A.B.C.D.20.在△ABC中，,则k为

A.2RB.RC.4RD.

(R为△ABC外接圆半径)

二、填空题

1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，=.

3.在△ABC中,a∶b∶c=(

+1)∶

∶2，则△ABC的最小角的度数为.

4.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，则secA=.

5.△ABC中，

，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cosA＞sinB，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=

5,A=45°,则B=.9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c=.

11.在△ABC中，若a

2＞b2

+c2

，则△ABC为；若a2

=b2

+c2

，则△ABC为；若a2

＜

b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.

12.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为_____________.

13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A=.

14.在△ABC中，B=

,C=3,B=30°，则A=.

15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a=,b=.16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简bcosC+ccosB=.

18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.

三、解答题(共24题，题分合计244分)

1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和 B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=

，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的

长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.

6.证明：在△ABC中，.（其中R为△

ABC的外接圆的半径）

7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.

8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，

问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？

9.在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状

（1）acosA=bcosB

(2)

11.△ABC中，a+b=10，而cosC是方程2x

2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=

,求sinB的值.13.已知△ABC中，a=1,b=

,A=30°,求B、C和c.

14.在△ABC中，c=2，tanA=3,tanB=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10

,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.

16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.

17.已知△ABC的面积为1，tanB=,求△ABC的各边长.18.已知△ABC的面积，解此三角形.

19.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.

20.已知（a

2+bc）x2

+2

=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，

(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.

21.在△ABC中，（a2

+b2

）sin(A-B)=(a2

-b2

)sin(A+B)，判断△ABC的形状.

第16篇：正、余弦定理练习1

正、余弦定理练习1



10.在ABC中，已知A45，AB

6

，BC2，解此三角形．

1.在ABC中，b10，c15，C30，则此三角形解的情况是（）

A．一解B．两解C．无解D．无法确定

2.在ABC中，a10，B60，C45，则c=（） A．10＋3B．103－10C．3＋1D．103 3.在ABC中，已知角B=45，c22，b

433

，则角A=（）

A．15B．75C．105D．15或75

4.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则acosB+bcosA等于（）A．

ab2

B．bC．cD．a

5.在ABC中，若b2asinB，则这个三角形中角A的值是（） A．30或60B．45或60C．60或120D．30或1506.设m、m＋

1、m＋2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．0＜m＜3B．1＜m＜3C．3＜m＜4D．4＜m＜6

7.在ABC中，a5，B105，C15，则此三角形的最大边的长为__________．8.在ABC中，ab12，A60，B45，则a_________，b________． 9.在ABC中，下列命题中，所有正确命题的序号是___________________ ① 若sinA12，则A30②a80，b100，A45的三角形有一解 ③ 若cosA12

，则A60④ a18，b20，A150的三角形一定存在

11.在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(1)求sin C的值；

(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．

cos 2C＝－1

4

.

第17篇：正余弦定理导学案

成功不会辜负任何一个对它有诚意的人——为理想付诸努力的人！

正余弦定理

（一）导学案班级姓名：___________

主备人： 焦晓东审核人：郑鸿翔

【学习目标】理解正余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用，能根据正余弦定理解斜三角形或判断三角形的形状。

【学习重点】应用正余弦定理解斜三角形

【学习难点】正余弦定理公式的灵活运用（边角互化等应用）．

学习过程：

一、知识链接

1.叙述并运用两种以上方法证明正弦定理.2.叙述并运用两种以上方法证明余弦定理.

3.正弦定理可以解决哪两种类型的三角形问题：

①——————————————————————————————————————— ②——————————————————————————————————————— a

定理的其它表示形式：sinb

sinc

sinabckk0sinsinsin；

或aksinA，bksinB，cksinC(k0)其中k的意义是___________________

SABC=____________________________________________________________________

4.余弦定理可以解决哪两种类型的三角形问题：

①——————————————————————————————————————— ②———————————————————————————————————————

__ cosB____________cosC____________ 定理的其它表示形式: cosA__________

“我们欣赏数学，我们需要数学。”－－－－陈省身安吉高级中学高一备课组- 1 -

二、例题剖析

例1.解下列三角形

（1）已知△ABC中，a＝4，b＝

40o3，∠A＝30°（2）在ABC中，A60，a3,b1 0（3）在△ABC中，已知A=45，B=60，c =1（4）△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°

【归纳小结】体会何时应用正弦定理解题。

例2．.解下列三角形

（1） 在ABC中，已知b3,c3，B300(2)在ABC中，已知A

6

22， 23，c2，b4 .(3)在ABC中，

AB,BC2AC

【归纳小结】体会何时应用余弦定理解题。

例3.(1) 在ABC中，三边的长为连续自然数，且最大角为钝角，求这个三角形三边的长

(2) 已知两线段a

例4（1）在ABC中，若acos

跟踪练习1：在ABC中，已知acos

2.在ABC中，已知3b2,b22，若以a,b为边作三角形，求边a所对的角A的取值范围 AbcosB（2）在ABC中，已知a2bcosC，试分别判断ABC的形状.AbcosBccosC，则ABC的形状是23asinB,cosBcosC，则ABC的形状是

【归纳小结】三角形的形状的判定方法。

三、小结：

正余弦弦定理（1）达标检测

一、选择题

1.在ABC中，已知a:b:c3:5:7，则ABC的最大角是（）

A.300B.600C.900D.1200

2.在ABC中，已知a2，则bcosCccosB等于（）

A.1B.2C.2D.

43．在△ABC中，若a7,b3,c8，则其面积等于（）

A．12B．21C．28D．63

24.在ABC中，若sinAsinB，则A与B的大小关系为（）

A.ABB.ABC.ABD.A,B的大小关系不能确定

5.在ABC中,若a2bsinA，则B（）

25

A.3B.6C.3或3D.6或6

6．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()

A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形

二、填空题

00c10,A45,C30ABC7.在中，，则b_________________

8.在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C____________

9.在△ABC中，已知a，b，c是角A，B，C的对应边，①若a＞b，则f（x）=（sinA﹣sinB）•x在R上是增函数；②若a﹣b=（acosB+bcosA），则△ABC是Rt△； ③cosC+sinC的最小值为

cosA=cosB，则A=B；其中真命题的个数是______________ 222； ④若

2sinAsinBsinC10.在ABC中，若a:b:c2:4:5，则___________________

三、解答题

11． 已知△ABC中，面积S＝，a＝，b＝2，求角A，B的正弦值..

12．在ABC中，AC2,BC1,cosC3.4

(1)求AB的长（2）求sin2AC的值

13.在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝450，求角A，B及边C.

14.在ABC中，已知B45，AC，cosC025.5

(1)求BC边的长（2）记AB中点为D，求中线CD的长.

15.如图：在四边形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60°，BCD135°，求BC的长．

第18篇：高二正余弦定理填空

1．在ΔABC

中，【答案】1或2 ，

，则 BC 的长度为________ 2．在

ABC

C的大小为3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,且acosB3,bsinA4， 【答案】

54．在AB

C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若acos

AbsinB, 则sinAcosAcos2B___________.【答案】15．在△ABC中，A=120°，b=1。 【答案】6．已知ABC

则角A=【答案】45

7sinA:sinB:sinC2:3:4 8．在ABC中，边BC

2C的取值范围是． A、B、C所对边的长分别是a,b

,c且abc，若A的大小为． 10．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b=1，则c等于． 【答案】211．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(abc)(abc)ab，则角C 12．在ABC中，A120,若a7，bc8，则ABC的面积是.试卷第1页，总5页

13．已知△ABC中，

角A、B、C的对边分别为a、b、c且a1，B450，SABC2，14．已知等差数列an的前n项和为sn(a1)n2a，某三角形三边之比为

a2:a3:a4,则该三角形的最大角为

【答案】120

15．给出问题：已知△ABC满足acosAbcosB，试判定△ABC的形状.某学生

的解答如下：

解：（i）由余弦定理可得，



a

b

c

a

2b2

a

b

，

c2

a2

b2

,

故△ABC是直角三角形.（ii）设△ABC外接圆半径为R.由正弦定理可得，原式等价于2Rsin

AcosA2RsinBcos

B sin2Asin2BAB， 故△ABC是等腰三角形.

综上可知，△ABC是等腰直角三角形.

请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果..【答案】等腰或直角三角形

16．在ABC

,若

a,b,

c

17．在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若a2

c2

acb2

，则角B 18．在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a,b,c成等差数列,B30

,ABC

的

【答案】19．在ABCc.

【答案】3

试卷第2页，总5页

20．如图，某观测站C在城A的南偏西10的方向，从城A出发有一条走向为南偏东20的公路，在C处观测到距离C的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了6km后到达D处，测得C，D两处的距离为2km，这时此车距离A城_______km．

试卷第3页，总5页

试卷第4页，总5页

试卷第5页，总5页

第19篇：.9.5作业正余弦定理

2013年9月5日星期四预习内容

一、余弦的正用，逆用

1．在ABC中，a2c2b2ab，则角C为_____

2．在ABC中abcabc3ba，则角C为________

3．在ABC中，sin2Asin2BsinBsinCsin2C，则A为_______。（提示：齐次式）

4．在ABC中，若sinA2sinBcosC，sin2Asin2Bsin2C，判断ABC形状

二、余弦的变用（在ABC中，a2b2c2cosA0角A为锐角）

5．在ABC中，AB5，BC6，AC8，则ABC形状是（）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能

6．已知锐角三角形的三边长为5，12，x，则x的取值范围是_______。

三、三角形的面积公式（SABC111absinCbcsinAcasinB） 222

7．在ABC中，B30，AB2，AC2，则ABC的面积为_________

8．在ABC中，SABC

2013年9月6日星期五作业

作业： 12ab2c2，则角C为________ 4

1．在ABC中，a5，b7，c8，则ABC形状是（）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能

2．在ABC中，A120，AB＝5，BC＝7，求ABC的面积

3．在ABC中，AC2B，ac8，ac15，求b

4．在ABC中，已知C120，两边a、b是方程x3x20的两根，求边c

5．在ABC中，已知abcbca3bc，且sinA2sinBcosC，判断ABC形状。

6．在ABC中，已知sinBsinC:sinCsinA:sinAsinB4:5:6，求ABC的最大角。

7．在ABC中，SABC

2143b2c2a2，则角A为_______ 

第20篇：高中数学必修五1.1.2余弦定理

1．1．2余弦定理蕲春三中刘芳

1.1.2余弦定理

蕲春三中刘芳

（一）教学目标

1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，

3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

（二）教学重、难点

重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

（三）学法与教学用具

学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学用具：投影仪、计算器

（四）教学设想

[复习回顾]

1、正弦定理；abc2RsinAsinBsinC

2、可以解决两类有关三角形的问题：

（1）已知两角和任一边。

（2）已知两边和一边的对角。

[提出问题]

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A 如图1．1-5，设CBa，CAb，ABc，那么cab，则bc

ccabababb2abCa2a2ab2ab2

从而c2a2b22abcosC(图1．1-5)

同理可证a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角

7的余弦的积的两倍。即a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b2c2a

2cosA2bca2c2b2

cosBb2a2c2

cosC[理解定理]

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若ABC中，C=900，则cosC0，这时c2a2b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

[例题分析]

题型一 已知两边及夹角解三角形

例1．在ABC

中，已知a

cB600，求b及A

⑴解：∵b2a2c22accosB

=222cos450

=1221)

=8

∴b

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

b2c2a22221⑵解法一：∵

cosA,∴A600.asin450,

解法二：∵

sinAsinB2.41.4

3.8,

21.83.6,

∴a＜c，即00＜A＜900,

∴A600.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

题型二 已知三边解三角形

例2．在ABC中，已知a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形

（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）

解：由余弦定理的推论得： b2c2a2

cosA

87.82161.72134.62 0.5543,

A56020； c2a2b2

cosB

134.62161.7287.82 2134.6161.70.8398,

B32053；

 C1800(AB)1800(5602032053)

90047.

题型三 正、余弦定理的应用比较

例3.在△ABC中，已知 b=3，3。B=300，求角A，角C和边a。

思考：求某角时，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理，两种方法 有什么利弊呢？

[补充练习]

1、在ABC中，若a2b2c2bc，求角A（答案：A=1200）

2、在△ABC中，已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,求△ABC的最大内角。（答案：A=1200）

[课堂小结]

（1）利用余弦定理解三角形

①．已知三边求三角；

②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

（2）余弦定理与三角形的形状

（五）作业设计

①课后阅读：课本第9页[探究与发现]

②课时作业：第10页[习题1.1]A组第3，4题。

③《名师一号》相关题目。

《高中数学正余弦定理教案模板.doc》

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