利用向量统一正、余弦定理的证明
正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法，［1］人教版中等职业教育国家规划教材《数学》（提高版）是用向量的数量积（内积）给出证明的，如是在证明正弦定理时用到：作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受。本文通过三角函数的定义，利用向量相等和向量的模统一正、余弦定理的证明，方法较为简单。从本文的证明中又一次显示数学中“数”与“形”的完美结合。
定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则
（1）（正弦定理）==；
（2）（余弦定理）
c2=a2+b2-2abcos C,
b2=a2+c2-2accos B,
a2=b2+c2-2bccos A。
证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=（0，0）、B=（c,0），又由任意角三角函数的定义可得：
C=（bcos A,bsin A），以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，
∴C′(acos(π-B),asin(π-B))
=C′（-acos B,asin B）。
根据向量的运算：
=（-acos B,asin B），
=-=（bcos A-c,bsin A）,
（1）由=：得
asin B=bsin A,即
=。
同理可得：=。
∴==。
(2)由=（b-cos A-c）2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，
又||=a,
∴a2=b2+c2-2bccos A。
同理：
c2=a2+b2-2abcos C；
b2=a2+c2-2accos B。
《正余弦定理的多种证明方法.doc》
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