数列专题求和求最值证明(七)修改稿

专题三数列的求和、证明及求最值

求数列的前n项和

基本方法：

题型

一、公式法

①等差数列求和：Sn(a1an)1)d

n2nan(n

1

2na1q

1②等比数列求和： Snan

1(1q) q1

1q

③自然数列求和：123nn(n1)

2122232n2nn12n1,132333n3n

n12

62 例、求数列1,35,7911,13151719,的前n项和

题型

二、拆解、分组求和法---对于数列等差和等比混合数列 例

1、求数列{2n2n3}的前n项和Sn=____________________________

例

2、求数列1121，31

12，48，，(n2n)，的前n项和Sn=_________________________

例

3、求和：2×5+3×6+4×7+„+n（n+3）=_______________________________

题型

三、裂项相消法

数列的常见拆项有：

111；

1n(n1)nn1n(n2)1

2(1

n1

n2)；

n(n1)(n2)1

2[1

n(n1)1

(n1)(n2)]

nn1n1n；

2(n1n)212

nn1nnn12(nn1)(nN,n2)

111

n(n1)n2n(n1)(nN,n2)

例

1、求和：11

11.2

13

4

n1

n

例

2、求和：S=1+

111

2

12

3

123n

（高考真题）已知等差数列an满足：a37,a5a726，an的前n项和为Sn（1）求an及Sn （2）令bn

1a2

(N

)，求数列{bn}的前n项和Tn

n

1n答案：（1）ann2n1，Snnn2（2）Tn4(n1)

题型

四、倒序相加法， 例

1、设f(x)

x

1x

，求： ⑴f(14)f(13)f(1

2)f(2)f(3)f(4)；

⑵f(12010)f(

12009)f(13)f(12

)f(2)f(2009)f(2010).例2

、设f(x)

，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得f(5)f(4)...f(0)...f(6)的值为

__________________巩固：已知F(x)f(x

1

212n

1)1是R上的奇函数，anf(0)f()f()f()f(1)

n

n

n

（nN*），则数列an的通项公式为（）

A．ann1B．annC．ann1Dann2

题型

五、错位相减法------------------------其特点是cnanbn，其中{an}是等差，{bn}是等比

n

例、若数列an的通项an(2n1)3，求此数列的前n项和Sn.思考：将“3”改为“q”，如何求Sn

（高考真题）等比数列an的前n项和为Sn,已知对任意的nN*，点n,Sn均在函数

ybr(b0,b1,b,r均为常数）的图象上

x

（1）求r的值

（2）当b2时，记bn答案：（1）1（2）Tn

n14an

32(nN*)，求数列bn的前n项和Tn

12

n

1(n3)

题型

六、绝对值数列求和问题------------------------分类讨论 例、已知数列{a2n}的前n项和Sn=12n－n，求数列{|an|}的前n项和Tn.题型

七、综合题

例

1、已知数列a1n的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10（n2），a1

2（1） 求证：1

是等差数列

Sn

（2） 求an的通项公式

（3） 若b222

n2(1n)an(n2)，求证：b2b3bn

1Snn

12

112

例

2、设数列{an}的前项和为Sn，点(n,

*

)在直线yx

上。数列{bn}满足

bn22bn1bn0(nN)，且b311，前9项和153.

(1) 求数列{an},{bn}的通项公式.(2) 设cn

(2an11)(2bn1)

，数列{cn}的前项和为Tn，求使不等式Tn

k57

对一切

nN都成立的最大正整数k的值.

*

an,

(3) 设f(n)

bn,

(n2l,lN*)(n2l,lN*)

，是否存在nN*，使得f(m15)5f(m)成立？

若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由.答案（1）ann5,bn3n2（2）18(3)m=11

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