数列求和
数列求和常见的几种方法: (1) 公式法:①等差(比)数列的前n项和公式;
1n(n1) 21222n2nn(
123......6② 自然数的乘方和公式:123......n(2) 拆项重组:适用于数列
1n)(2 1)an的通项公式anbncn,其中bn、cn为等差数列或者等比数列或者自然数的乘方;
(3) 错位相减:适用于数列an的通项公式anbncn,其中bn为等差数列,cn为等比数列;
(4) 裂项相消:适用于数列a的通项公式:aknnn(n1),a1nn(nk)(其中k为常数)型;
(5) 倒序相加:根据有些数列的特点,将其倒写后与原数列相加,以达到求和的目的.(6)
分段求和:数列an的通项公式为分段形式
二、例题讲解
例
1、(拆项重组)求和:311254718......[(2n1)12n]
练习1:求和Sn122334......n(n1)
例
2、(裂项相消)求数列11113,35,57,179,...,1(2n1)(2n1)的前n项和
练习2:求S11n11212311234...1123...n
1
例
3、(错位相减)求和:1473n222223...2n
练习3:求Sn12x3x24x3...nxn1(x0)
例
4、(倒序相加)设f(x)4x4x2,利用课本中推导等差数列前n项和的方法,求:f(11001)f(21001)f(31001)...f(10001001)的值
a3n2(n4)例
5、已知数列n的通项公式为an2n3(n5)(nN*) 求数列an的前n项和Sn
检测题
1.设f(n)22427210...23n10(nN),则f(n)等于(
)
2n222n4(81)
B.(8n11)
C.(8n31)
D.(81) 777712.数列{an}的前n项和为Sn,若an,则S5等于(
)
n(n1)511A.1
B.
C.
D.
66303.设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S37,且a13, 3a2,a34构成等差数列. A.(1)求数列{an}的通项公式. (2)令banln3n1,n1,2...,,求数列{bn}的前n项和Tn。
4.设数列a2nn满足a13a23a3…3n1a
3,aN*n. (Ⅰ)求数列an的通项;
(Ⅱ)设bnna,求数列bn的前n项和Sn n
5.求数列22,462n22,23,,2n,前n项的和.6:求数列112,123,,1nn1,的前n项和.
7:数列{an}的前n项和Sn2an1,数列{bn}满b13,bn1anbn(nN) .(Ⅰ)证明数列{an}为等比数列;(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn。
8:
求数列21,41,6114816,,2n2n1,...的前n项和Sn.
.
3
9、已知数列an的前n项和Sn123456...1n1n,求S100.
10:在各项均为正数的等比数列中,若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.
11:求数列的前n项和:11,1a4,11a27,,an13n2,…
12:求S12223242...(1)n1n2(nN)
13:已知函数fx2x2x2 (1)证明:fxf1x1;
(2)求f1f10210f810f910的值。 .