数列的求和
一、教学目标:1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式;
2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算; 3.熟记一些常用的数列的和的公式.
二、教学重点:特殊数列求和的方法.
三、教学过程:
(一)主要知识:
1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 (1)等差数列的求和公式:Snn(a1an)n(n1)na1d 22na1(q1)n(2)等比数列的求和公式Sna1(1q)(切记:公比含字母时一定要讨论)
(q1)1q2.公式法: k2122232k1nn2n(n1)(2n1)
62kk1n3123333n(n1) n233.错位相减法:比如an等差,bn等比,求a1b1a2b2anbn的和.4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式:1111111() ;
n(n1)nn1n(n2)2nn21111() nn!(n1)!n!
(2n1)(2n1)22n12n15.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。 6.合并求和法:如求10029929829722212的和。 7.倒序相加法:
8.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等
(二)主要方法:
1.求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3.转化思想的运用;
(三)例题分析:
例1.求和:①Sn111111111 n个 ②Sn(x)2(x21x1212n)(x) x2xn ③求数列1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,…前n项和Sn 思路分析:通过分组,直接用公式求和。
111010210k解:①ak11k个1k(101) 911Sn[(101)(1021)(10n1)][(1010210n)n]99110(10n1)10n19n10[n] 9981②Sn(x211142n2)(x2)(x2) 242nxxx111)2n x2x4x2n(x2x4x2n)(x2(x2n1)x2(x2n1)(x2n1)(x2n21)(1)当x1时,Sn2n2n 222n2x1x1x(x1)(2)当x1时,Sn4n ③ak(2k1)2k(2k1)[(2k1)(k1)]
k[(2k1)(3k2)]523kk222Sna1a2an
5235n(n1)(2n1)3n(n1)(122n2)(12n)2226221n(n1)(5n2) 6总结:运用等比数列前n项和公式时,要注意公比q1或q1讨论。 2.错位相减法求和
例2.已知数列1,3a,5a2,,(2n1)an1(a0),求前n项和。
思路分析:已知数列各项是等差数列1,3,5,…2n-1与等比数列a0,a,a2,,an1对应项积,可用错位相减法求和。 解:Sn13a5a2(2n1)an1aSna3a25a3(2n1)an1 2
12:(1a)Sn12a2a22a32an1(2n1)an
2a(1an1)n当a1时,(1a)Sn1 (2n1)2(1a)1a(2n1)an(2n1)an1 Sn(1a)2当a1时,Snn2 3.裂项相消法求和
2242(2n)2例3.求和Sn 1335(2n1)(2n1)思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解: (2k)2(2k)2111111ak11()
(2k1)(2k1)(2k1)(2k1)(2k1)(2k1)22k12k1111111112n(n1)Sna1a2ann[(1)()()]n(1)23352n12n122n12n1n(n1)(a1)123n2练习:求Sn23n 答案: Sn
a(an1)n(a1)aaaa(a1)n2a(a1)4.倒序相加法求和
012n例4求证:Cn3Cn5Cn(2n1)Cn(n1)2n mnm思路分析:由Cn可用倒序相加法求和。 Cn012n证:令SnCn3Cn5Cn(2n1)Cn(1)
mnm (2) CnCnnn1210则Sn(2n1)Cn(2n1)Cn5Cn3CnCn012n (1)(2)有:2Sn(2n2)Cn(2n2)Cn(2n2)Cn(2n2)Cn012nSn(n1)[CnCnCnCn](n1)2n 等式成立
5.其它求和方法
还可用归纳猜想法,奇偶法等方法求和。 例5.已知数列an,an2[n(1)n],求Sn。
思路分析:an2n2(1)n,通过分组,对n分奇偶讨论求和。 解:an2n2(1),若n2m,则SnS2m2(1232m)2n(1)k12mk
Sn2(1232m)(2m1)2mn(n1)
若n2m1,则SnS2m1S2ma2m(2m1)2m2[2m(1)2m](2m1)2m2(2m1)
4m22m2(n1)2(n1)2n2n2
(n为正偶数)n(n1) Sn2nn2(n为正奇数)预备:已知f(x)a1xa2x2anxn,且a1,a2,a3,an成等差数列,n为正偶数, 又f(1)n2,f(1)n,试比较f()与3的大小。
12(a1an)nn2aa2nf(1)a1a2a3annn2解: 1nd2f(1)a1a2a3an1anndn22aa1(n1)d2n1a11an2n1
d2f(x)x3x25x3(2n1)xn
11111f()3()25()3(2n1)()n2222212可求得f()3()n2(2n1)()n,∵n为正偶数,f()3
(四)巩固练习:
1.求下列数列的前n项和Sn:
(1)5,55,555,5555,…,(10n1),…; (2)12121259111,,,132435(3)an,1,n(n2);
1nn1; (4)a,2a2,3a3,,nan,;
(5)13,24,35,,n(n2),; (6)sin21sin22sin23解:(1)Sn555555sin289.
n个5555(9999999(10n1)]
n个999)
5[(101)(1021)(1031)95[101021039(2)∵
10nn]50n5(101)n. 8191111(),
n(n2)2nn2111111[(1)()()232435111111()](1). nn222n1n2∴Sn(3)∵an∴Sn1nn1n1nn1n (nn1)(n1n)1
n1n112132(21)(32)(4)Sna2a23a3(n1n)n11.
nan, 当a1时,Sn123…nn(n1), 2 当a1时,Sna2a23a3…nan ,
aSna22a33a4…nan1,
两式相减得 (1a)Snaaa…ana23nn1a(1an)nan1,
1anan2(n1)an1a∴Sn. 2(1a)(5)∵n(n2)n22n,
∴ 原式(122232…n2)2(123…n)(6)设Ssin21sin22sin23 又∵Ssin289sin288sin287 ∴ 2S89,Sn(n1)(2n7).
6sin289, sin21,
89. 26n5(n为奇数)2.已知数列{an}的通项ann,求其前n项和Sn.
2(n为偶数)解:奇数项组成以a11为首项,公差为12的等差数列, 偶数项组成以a24为首项,公比为4的等比数列; 当n为奇数时,奇数项有
n1n1项,偶数项有项, 22n1n1(16n5)4(142)(n1)(3n2)4(2n11)2∴Sn, 21423当n为偶数时,奇数项和偶数项分别有
n项, 2nn(16n5)4(142)n(3n2)4(2n1)2∴Sn, 21423(n1)(3n2)4(2n11)23所以,Snnn(3n2)4(21)23
(n为奇数).
(n为偶数)
四、小结:1.掌握各种求和基本方法;2.利用等比数列求和公式时注意分q1或q1讨论。