数列的通项与求和
导学目标： 1.能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
自主梳理
1．求数列的通项
(1)数列前n项和Sn与通项an的关系：
S1，n＝1，an＝ S－S，n≥2.－nn
1(2)当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋„＋f(n)可求，则可用________求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋„＋(an－an－1)．
an＋1(3)当已知数列{an}中，满足f(n)，且f(1)·f(2)·„·f(n)可求，则可用________求数列an
aaa的通项an，常利用恒等式an＝a1„.a1a2an－1
(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．
(5)归纳、猜想、证明法．
2．求数列的前n项的和
(1)公式法
①等差数列前n项和Sn＝____________＝________________，推导方法：____________； ②等比数列前n项和Sn＝
，q＝1， ＝，q≠1.
推导方法：乘公比，错位相减法．
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．
常见的拆项公式有：
111①； nn＋1nn＋
11111②＝2n－12n＋1； 2n－12n＋121③n＋1n.n＋n＋1
(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
(5)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．
自我检测
1．(原创题)已知数列{an}的前n项的乘积为Tn＝3n2(n∈N*)，则数列{an}的前n项的和为________．
2．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是其前n项和，若{Sn}是等差数列，则q＝________.3．已知等比数列{an}的公比为4，且a1＋a2＝20，故bn＝log2an，则b2＋b4＋b6＋„＋b2n＝________.
n＋14．(2010·天津高三十校联考)已知数列{an}的通项公式an＝log2 (n∈N*)，设{an}的n＋
2前n项的和为Sn，则使Sn
5．(2010·北京海淀期末练习)设关于x的不等式x2－x
为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．
1116．数列1,4710，„前10项的和为________．
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探究点一 求通项公式
例1 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
探究点二 裂项相消法求和
例2 已知数列{an}，Sn是其前n项和，且an＝7Sn－1＋2(n≥2)，a1＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
1m(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn
的最小正整数m.
111变式迁移2 求数列1，„，n项和． 1＋21＋2＋31＋2＋3＋„＋n
探究点三 错位相减法求和
例3 已知数列{an}是首项、公比都为q (q>0且q≠1)的等比数列，bn＝anlog4an (n∈N*)．
(1)当q＝5时，求数列{bn}的前n项和Sn；
14(2)当q＝时，若bn
5123n变式迁移3 求和Sn＝＋＋＋„＋aaaa
1．求数列的通项：(1)公式法：例如等差数列、等比数列的通项；
(2)观察法：例如由数列的前几项来求通项；
(3)可化归为使用累加法、累积法；
(4)可化归为等差数列或等比数列，然后利用公式法；
(5)求出数列的前几项，然后归纳、猜想、证明．
2．数列求和的方法：
一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为
与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
3．求和时应注意的问题：
(1)直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．
(2)注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．(2010·广东)已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1且a4与2a75的等差中项为，则S5＝________.
4S7n＋2a2．有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，若则________.Tnn＋3b
5an－1－anan－an＋13．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1＝(n≥2)，则此数列的第10项anan－1anan＋
1为________．
14．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝S5＝________.nn＋1
－5．(2011·南京模拟)数列1,1＋2,1＋2＋4，„，1＋2＋22＋„＋2n1，„的前n项和Sn>1
020，那么n的最小值是________．
6．(2010·东北师大附中高三月考)数列{an}的前n项和为Sn且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，„)，则log4S10＝__________.17．(原创题)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－，则该数列前26项的和为an
________．
8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝____________.
二、解答题(共42分)
9．(12分)已知函数f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7(n∈N*)．
(1)若函数f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列{an}，试证明数列{an}是等差数列；
(2)设函数f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，试求数列{bn}的前n项和Sn.
110．(14分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n＋an－c(c是常数，n∈N*)，a22
＝6.
(1)求c的值及数列{an}的通项公式；
1111(2)证明.a1a2a2a3anan＋18
