重要不等式

发布时间：2020-03-02 18:50:12 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

第六讲不等式的应用、参数取值范围问题

知识、方法、技能

I．排序不等式（又称排序原理）

设有两个有序数组a1a2an及b1b2bn.则a1b1a2b2anbn（同序和）

a1bj1a2bj2anbjn（乱序和）

a1bna2bn1anb1（逆序和）

其中j1,j2,,jn是1，2，„，n的任一排列.当且仅当a1a2an或b1b2bn时等号（对任一排列j1,j2,,jn）成立. 证明：不妨设在乱序和S中jnn时（若jnn，则考虑jn1），且在和S中含有项

akbn(kn),则akbnanbjnanbjnanbn.①

事实上，左－右=(anak)(bnbjn)0, 由此可知，当jnn时，调换Sa1bj1akbjkanbjn（jnn）中bn与jn位置（其余不动），所得新和S1S.调整好an及bn后，接着再仿上调整an1与bn1，又得S2S1.如此至多经n1次调整得顺序和

a1b1a2b2anbna1bj1a2bj2anbjn

②

这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当a1a2an或b1b2bn时②中等号成立.反之，若它们不全相等，则必存在jn及k，使bnbjn,anak.这时①中不等号成立.因而对这个排列②中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于逆序和”.II．应用排序不等式可证明“平均不等式”：

设有n个正数a1,a2,,an的算术平均数和几何平均数分别是

- 12IV．利用排序不等式还可证明下述重要不等式. 切比雪夫不等式：若a1a2an，b1b2bn ，

则a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn.

nnn

证明：由题设和排序不等式，有a1b1a2b2anbn=a1b1a2b2anbn，

a1b1a2b2anbna1b2a2b3anb1，

„„

a1b1a2b2anbna1bna2b1anbn1.

将上述n个不等式叠加后，两边同除以n2，即得欲证的不等式.赛题精讲

I．排序不等式的应用

应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，请看下述例题. 例1：对a,b,cR，比较abc与abbcca的大小.333222 【思路分析】要应用“排序不等式”，必须取两组便于排序的数，这要从两式的结构上去分析. 【略解】取两组数

故

a,b,c;a2,b2,c2.

不管a,b,c的大小顺序如何，abc都是同序和abbcca都是乱序和，

333222a3b3c3a2bb2cc2a.【评述】找出适当的两组数是解此类题目的关键.

a2b2b2c2c2a2a2b2c2.例2：a,b,cR，求证abc2c2a2bbccaab【思路分析】应先将a、b、c三个不失一般性地规定为abc0.

【略解】由于不等式关于a、b、c对称，可设abc0.于是abc,2221c1b1a.

- 4 例5：设b1,b2,,bn是正数a1,a2,,an的一个排列，求证

aa1a2nn.b1b2bn 【思路分析】应注意到ai11(i1,2,,n) ai 【略证】不妨设a1a2an，因为a1,a2,,an都大于0.所以有111， a1a2an 又111111,,,是,,,的任意一个排列，于是得到 b1b2bna1a2an111111a2ana1a2an.a1a2anb1b2bn

na1【评述】

此题比较简单，但颇具启发意义，读者应耐心体会.例6：设正数a,b,c的乘积abc1，试证：(a1)(b1)(c1【略解】设a1b1c1)1.a xyz,b,c，这里x,y,z都是正数，则原需证明的不等式化为 yzx(xyz)(yzx)(zxy)xyz,显然xyz,yzx,zxy中最多只有一个非负数.若xyz,yzx,zxy中恰有一个非正数，则此时结论显然成立.若xyz,yzx,zxy均为正数，则x,y,z是某三角形的三边长.容易验证

1(xyz)(yzx)(zxy)[(x2(yzx)y2(zxy)z2(xyz)].

3故得(xyz)(yzx)(zxy)xyz.

【评述】利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数a、b、c的乘积

abc1,证明1113.222a(bc)b(ca)c(ab)2 证明：设a111,b,c,则xyz1，且所需证明的不等式可化为 xyzx2y2z23，现不妨设xyz，则

yzzxxy2

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222xnxnx12x21(x2x3xnx1)()

x2x3xnx1 (x2x1x2x3x2x3xnxn1xnx1xnx1)2

(x1x2xn1xn)2，

222xnxnx12x21x1x2xn.∴x2x3xnx1

【评述】这是一道高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.

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