推理与证明总复习
编写人：杨素华审核：高二数学组（1）
一、知识结构框图
二、考纲分解解读
1合情推理与演绎推理
（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.
（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
2直接证明与间接证明
（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 3数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.三、基础知识
（一）合情推理与演绎推理
1推理的概念
根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断，这种___________叫做推理.从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设）叫做___________，一部分是由已知推出的判断，叫做___________.
2合情推理
根据已有的事实，经过___________、___________、___________、___________，再进行___________、___________，然后提出___________的推理称为合情推理.合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类.
(1)归纳推理：由某类事物的___________对象具有某些特征，推出该类事物的___________对象具有这些特征的推理；或者由___________事实概括出___________
的推理称为归纳推
1理.简言之，归纳推理是由部分到___________，由___________到___________的推理，归纳推理简称归纳.(2)类比推理：由两类对象具有___________和其中一类对象的某些___________，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理.简言之，类比推理是由___________到___________的推理，类比推理简称类比.
3演绎推理
（1）从___________出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由___________到___________的推理.
（2）三段论是演绎推理的一般模式，它包括：①大前提——________________；②小前提——________________；③结论——________________________________.
（二）直接证明与间接证明
1．直接证明
（1）综合法：从题设的____________出发，运用一系列有关_______________作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明方法叫做综合法.综合法的推理方向是由____________到____________，表现为____________，综合法的解题步骤用符号表示是：_____________________.
特点:“由因导果”，因此综合法又叫____________法．
（2）分析法：分析法的推理方向是由____________到____________，论证中步步寻求使其成立的____________，如此逐步归结到已知的条件和已经成立的事实，从而使命题得证，表现为____________，分析法的证题步骤用符号表示为_____________________________.特点：“执果索因”，因此分析法又叫____________法或____________法.
2．间接证明
假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法．
（1）反证法的解题步骤：____________——推演过程中引出矛盾——____________.
（2）反证法的理论依据是：原命题为真，则它的____________为真，在直接证明有困难时，就可以转化为证明它的____________成立.
（3）反证法证明一个命题常采用以下步骤：
①假定命题的结论不成立.
②进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾. ③由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的.
④肯定原来命题的结论是正确的.
即“反设——归谬——结论”.
（4）一般情况下，有如下几种情况的求证题目常常采用反证法：
第一，问题共有n种情况，现要证明其中的一种情况成立时，可以想到用反证法把其它的 n-1种情况都排除，从而肯定这种情况成立；
第二，命题是以否定命题的形式叙述的；
第三，命题用“至少”、“至多”的字样叙述的；
第四，当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆命题又是非常容易证明的.（三）数学归纳法
1．数学归纳法
对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当________时命
题也成立，这种证明方法就叫做________．
2．用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的步骤
(1)(归纳奠基)当n取第一个值________________________时，证明命题成立；
(2)(归纳递推)假设当_______________________时结论正确，证明当________时结论也正确． 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确．
3．特点注意
用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时，要注意：________不可少，________要用到，________莫忘掉．
四、题型归纳
（一）归纳推理
例1平面内的１条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，则n条彼此相交而无三条共点的直线，可把平面分成多少部分？
分析：可通过画图当直线条数n为3，4，5时，分别计算出它们将平面分成的区域数Sn，从中发现规律，再归纳出结论.
解析：设平面被n条直线分成Sn部分，则
当n=1时，S1 =1+1=2；
当n=2时，S2 =1+1+2=4；
当n=3时，S3 =1+1+2+3=7；
当n=4时，S4 =1+1+2+3+4=11．
据此猜想，得Sn=1+ n(n1)
2nn222= .
点评：本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况．
（二）类比推理
例2（2009年微山模拟）在平面几何中，对于Rt△ABC，设AB=c,AC=b,BC=a，则
（1）a2+b2=c2；
22（2）cos2A+cos2B=1； ab
（3）Rt△ABC的外接圆半径为r=
2.
把上面的结论类比到空间写出相类似的结论.分析：我们在空间中选取3个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象，考虑面积，二面角，及外接球的半径即可得.
解析：（1）设3个两两垂直的侧面的面积
分别为S1,S2,S3，底面面积为S，则
S12+S22+S32=S2.
(2)设3个两两垂直的侧面与底面所成的角
分别为α,β,γ，则
cosα+cosβ+cosγ=1.
(3)设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分
别为a,b,c，则这个四面体的外接球的半径
为R=a2222b
32c2.
（三）演绎推理
演绎推理是证明数学问题的基本推理形式，因此在高考中经常出现，三段论推理是演绎推理的一种重要的推理形式，是由一般到特殊的推理，在前提真实并且推理形式正确的前提下，其结论就必然真实.
2例3证明：函数f(x)=-x+2x在［1，+∞)上是减函数.
（四）用综合法证明数学命题
例4已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A,B的任一点，过A点作AE⊥PC于点E，如右图所示.求证：AE⊥平面PBC.
（五）用分析法证明数学命题
例5若a>0，求证： a212a
（六）用反证法证明数学命题
例6已知：a3+b3=2,求证：a+b≤2.
分析：本题直接证明命题较困难，宜用反证法.
证明：假设a+b>2,则b>2-a .
于是a+b>a+(2-a)=8-12a+6a
=6(a-1)2+2≥2 .
与已知相矛盾，所以 a+b≤2.
（七）数学归纳法
ⅰ归纳、猜想、证明
例7在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足
(1)求a1，a2，a3.
ⅱ用数学归纳法证明恒等式11an.Sn＝ 2 a n333322a1a2.(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．
22例8用数学归纳法证明：n ( n1 ) 2n(n1)(3n1 223 12
211n10)
ⅲ用数学归纳法证明整除问题
例9用数学归纳法证明：对于任意自然数n，数11n＋2＋122n＋1是133的倍数．
ⅳ用数学归纳法证明不等式问题
例10设函数f(x)xxlnx．数列an满足0a11，an1f(an)． （Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0，1)是增函数；
（Ⅱ）证明：anan11；
1)，整数k≥（Ⅲ）设b(a1，a1ba1lnb．证明：ak1b．
解：
（I）当0
f′(x)=1-lnx-1=-lnx>0
所以函数f(x)在区间（0,1）是增函数，
（II）当0x
又由（I）有f(x)在x=1处连续知，
当0
因此，当0
下面用数学归纳法证明： 0
(i)由0
则由①可得0
故当n=k+1时，不等式②也成立
综合(i)(ii)证得：an
(III)由（II）知，{an}逐项递增，故若存在正整数m≤k,使得am≥b,则ak+1>am≥b 否则，若am
amlnam≤a1lnam
ak+1=ak-aklnak
=ak-1-ak-1lnak-1-aklnak
……
k
=a1-amlnam
m1
k
由③知amlnam
m1
于是ak+1>a1+k|a1lnb|
≥a1+(b-a1) =b
