推理与证明测试题

发布时间：2020-03-02 17:26:32 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

2011推理与证明、复数测试题

1一、选择题（每题5分，共55分）

1.复数

534i的共轭复数是（） B．34i 5

5nA．34i nC．34iD．34i 552.设f(n)=ii(n∈N)，则集合{f(n)}中元素的个数为（）

A．4B．3C．2D．

13．设ｚ∈C，则方程|ｚ－ｉ|－|ｚ+ｉ|＝2所表示的图形是（）

A．双曲线B.线段C.一条射线D.两条射线

4．设z=x+yi（x,yR），且|z4|2,则y的最小值是（） x

A． B．3C．

3D．-1

5．命题：“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论是错误的，其原因是（）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.以上都不是

6．在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，„这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形

1361015 则第n个三角形数为（）

11n(n1)C.n21D.n(n1) 2

21117．设a,b,c(,0),则a,b,c（） bca

A．都不大于2B．都不小于2

C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2 A.nB.8．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2b2c2abbcca．证明过程如下：∵a，b，cR，∴a2b2≥2ab，b2c2≥2bc，c2a2≥2ac，又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“”不成立，

∴将以上三式相加得2(a2b2c2)2(abbcac)，∴a2b2c2abbcca．

此证法是（）Ａ．分析法

Ｂ．综合法Ｃ．分析法与综合法并用Ｄ．反证法

9．用数学归纳法证明等式123(n3)时，左边应取的项是（）

Ａ．1Ｂ．12Ｃ．12

3(n3)(n4)

第一步验证n1(nN)时，

2Ｄ．123

410．用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被8整除时，当nk1时，对于34(k1)152(k1)1可变形为（）

·34k152·52kＣ．34k152k1Ｄ．25(34k152k1) Ａ．56·34k125(34k152k1)Ｂ．34

11．观察式子：1（）Ａ．1Ｃ．1

131151117

，，11，，则可归纳出式子为222223232232424

11111111

Ｂ．(n≥2)1(n≥2) 222222

23n2n123n2n1

1112n11112n22(n≥2)Ｄ．1222(n≥2) 2

23nn23n2n1

二、填空题（每题5分，共25分）

12.实数x、y满足（1–i）x+(1+i)y=2,则xy的值是.1 13.复数Z满足12i43i，那么Z=________.

14.设O是原点，向量OA,OB对应的复数分别为23i,32i，那么向量BA对应

的复数是____________.

15．若复数z满足1z= i ,则z1的值为

1z

16．已知ABC的三边长为a,b,c，内切圆半径为r（用SABC表示ABC的面积），则

SABC1r(abc)；类比这一结论有：若三棱锥ABCD的内切球半径为R，则三棱

锥体积VABCD

三、解答题：70分

17.（本小题12分）用分析法证明：已知ab0,求证aab

18．（本小题14分）用反证法证明：已知a,b,c均为实数，且ax2y 求证：a,b,c中至少有一个大于0

2

,by22z



,cz22x



6，

DBC，B2BDBC·19．（本小题14分）如图（1），在三角形ABC中，ABAC，若A则A；

若类比该命题，如图（2），三棱锥ABCD中，AD面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是否是真命题．

5an

20.（本小题14分）数列{an}中，a1,an1(nN)，用数学归纳法证

22(an1)

明：an2(nN)

21.（本小题16分）是否存在常数a、b、c，使等式

122232n(n1)2

结论

n(n1)

(an2bnc)对一切正整数n都成立？证明你的1

5R(SABCSABDSACDSBCD

3

|()|2

16(1,),

(3,3),sin,

17 [解析]要证aab，只需证(a)2(ab)2即ab2abab，只需证b

ab，即证ba

显然ba成立，因此aab成立 20(1) 当n=1时, a1

2,不等式成立 2

（2）假设当n=k时等式成立，即ak2(kN)，

(ak2)2ak

则ak120，ak12 2

2(ak1)2(ak1)

当n=k+1时，不等式也成立

综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立

19解：命题是：三棱锥ABCD中，AD面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的

射影为M，则有S△·S△BCD是一个真命题． ABCS△BCM

证明如下：

在图（2）中，连结DM，并延长交BC于E，连结AE，则有DEBC．因为AD面ABC，，所以ADAE．又AMDE，所以AE2EM·ED．于是S

△ABC

111BC·AEBC·EM·BC·EDS△BCM·S△BCD． 222

21【解题思路】从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取n=1,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切nN，等式都成立



abc24

a3

[解析] 把n=1,2,3代入得方程组4a2bc44，解得b11，



9a3bc70c10

猜想：等式1223n(n1)

n(n1)

(3n211n10)对一切nN都成立 12

下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立

（2）假设n=k时等式成立，即1223k(k1)

222

k(k1)

(3k211k10)则12

122232k(k1)2(k1)(k2)2

k(k1)

(3k211k10)(k1)(k2)2

k(k1)(k1)(k2)(3k5)(k2)(k1)(k2)2[k(3k5)12(k2)]

1212(k1)(k2)[3(k1)211(k1)10]

所以当n=k+1时，等式也成立综合（1）（2），对nN等式都成立

【名师指引】这是一个探索性命题，“归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式



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