【高中数学】推理与证明
归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳) 归纳推理的一般步骤:
(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质;
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想);
(3)证明(视题目要求,可有可无)。
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).类比推理的一般步骤:
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; (2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;
(3)检验猜想。
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理。 “合乎情理”的推理.
2.演绎推理
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理。简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理。
演绎推理的一般模式
(1)大前提----已知的一般原理;
(2)小前提----所研究的特殊情况;
(3)结论----据一般原理,对特殊情况做出的判断.3.直接证明与间接证明
立。
要点:顺推证法,由因导果。
成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
要点:逆推证法,执果索因。
(3):一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立的证明方法,它是一种间接的证明方法。
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①(反设)假设命题的结论不成立;
②(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止;③(归谬)断言假设不成立; ④(结论)肯定原命题的结论成立.反证法法证明一个命题的一般步骤:
4.数学归纳法:数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤:
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立;
(2)(归纳递推)假设nk(kn0,kN*)时命题成立,推证当nk1时命题也成立.只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
1.下列推理是归纳推理的是()
A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P点的轨迹为椭圆 B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式
x2y2222
2C.由圆x+y=r的面积πr,猜想出椭圆2+2=1的面积S=πab
ab
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
111357
2.设n为正整数,f(n)=1+++„+,经计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,观察上述结果,可推测
23n222出一般结论()
2n+
1A.f(2n)>
2n+2
C.f(2n)≥
n+2
B.f(n2)≥
2D.以上都不对
3.有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b∥平面α,直线a⊂平面α,则直线b∥直线a”,结论显然是错误的,这是因为()
A.大前提错误 h,则()
A.h>h1+h2+h3C.h
3B.h=h1+h2+h3
D.h1,h2,h3与h的关系不定
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
4.若点P是正四面体A-BCD的面BCD上一点,且P到另三个面的距离分别为h1,h2,h3,正四面体A-BCD的高为
5.下图1是一个水平摆放的小正方体木块,图
2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续逐个叠放下去,那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是()
A.25B.66C.9
1D.120
6.已知等差数列{an}中,a10=0,则有等式a1+a2+„+an=a1+a2+„+a19-n(n
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7.(2010·陕西)观察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,„,根据上述规律,第四个等式为_.8.观察下列等式:
①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=
43②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=
由上面两题的结构规律,你是否能提出一个猜想?并证明你的猜想.111
9.在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,求证:=ABCD中,类比上述结论,你能得到
ADABAC怎样的猜想,并说明理由.
10.下面的(a)、(b)、(c)、(d)为四个平面图.
(1)数一数,每个平面图各有多少个顶点?多少条边?分别围成了多少个区域?将结果填入下表(按填好的例子做
)
(2)观察上表,推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?
(3)现已知某个平面图有2008个顶点,且围成了2008个区域,试根据以上关系确定这个平面图的边数.第 3 页
311.用数学归纳法证明:n5n能被6整除;
12.若a,b,c均为实数,且
求证:a,b,c中至少有一个大于0.
13.用数学归纳法证明: 1
14.观察(1)tan10tan20tan20tan60tan60tan101;
(2)tan5tan10tan10tan75tan75tan51 由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论 并加以证明。
,,,
1111nn;2342
1000000
000000
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1、下列表述正确的是()
①归纳推理是由部分到整体的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③
B.②③④
C.②④⑤
D.①③⑤.②归纳推理是由一般到一般的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理;
2、下面使用类比推理正确的是()
A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab” B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”
abab
(c≠0)” ccc
nnnn
(ab)anbn” 类推出(D.““ab)ab”
C.“若(ab)cacbc” 类推出“
(A)假设三内角都不大于60度;(C) 假设三内角至多有一个大于60度;A.29
B.2
543、用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是()
(B) 假设三内角都大于60度;
(D) 假设三内角至多有两个大于60度。 C.60
2D.200
4012
34、在十进制中2004410010010210,那么在5进制中数码2004折合成十进制为()
n+
15、利用数学归纳法证明“1+a+a+…+a
(A)
11an2=, (a≠1,n∈N)”时,在验证n=1成立时,左边应该是() 1a
(C)1+a+a2(D)1+a+a2+a
3(B)1+a
6、某个命题与正整数n有关,如果当nk(kN)时命题成立,那么可推得当nk1时命题也成立.现已知当n7时该命题不成立,那么可推得()
A.当n=6时该命题不成立C.当n=8时该命题不成立
n
B.当n=6时该命题成立 D.当n=8时该命题成立
7、当n1,2,3,4,5,6时,比较2和n的大小并猜想()
n
2A.n1时,2n
n2
B.n3时,2n n2
D.n5时,2n
n2
C.n4时, 2n
x
8、定义运算:xy
y
(xy)
的是() 例如344,则下列等式不能成立....
(xy),
B.(xy)zx(yz)
D.c(xy)(cx)(cy)(其中c0)
A.xyyxC.(xy)xy
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cos2Acos2B1
1。 a2b2a2b
29、在△ABC中,证明:
10、设a,b,x,yR,且ab1,x2y21,试证:ax1。
11、用反证法证明:如果x
12、已知数列a1,a2,,a30,其中a1,a2,,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,,a30是公差为d2的等差数列(d0).(1)若a2040,求d;
(2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围;
(3)续写已知数列,使得a30,a31,,a40是公差为d3的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广为无穷数列.提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?
22
12
,那么x2x10。 2
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