立体几何证明题常见题型
1、如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PDDC1,E是PC的中
点,作EFPB交PB于点F.
(I) 证明: PA∥平面EDB;
(II) 证明:PB⊥平面EFD; (III) 求三棱锥PDEF的体积.
2、如图,已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,ACBD,垂足为H,
PH是四棱锥的高。 (Ⅰ)证明:平面PAC平面PBD;
(Ⅱ)若AB,APBADB60°,求四棱锥PABCD的体积。
B
3、如图,矩形ABCD中,AD平面ABE,AEEBBC2,F为CE上的点,且BF平面ACE.(Ⅰ)求证:AE平面BCE; (Ⅱ)求证;AE//平面BFD;
(Ⅲ)求三棱锥CBGF的体积.4、如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。
EF//AC,,CE=EF=1 (Ⅰ)求证:AF//平面BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面BDF;
C
B
D
B
MA平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为
5、在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MB、
PB、PC的中点,且ADPD2MA.(Ⅰ) 求证:平面EFG平面PDC;(Ⅱ)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比.
6、如图所示,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE(1)求证:AE⊥平面BCE;(2)求证:AE∥平面BFD;
(3)求三棱锥C-BGF的体积。
D
G
A
C
B
E
7、在三棱锥S—ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,且AC=BC=5,SB=5。(如图 所示)
(Ⅰ)证明:SC⊥BC;
(Ⅱ)求三棱锥的体积
VS-ABC。
1,E为BC边中点
D
18、如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=(1)求三棱锥D1-DBC的体积 (2)证明BD1//平面C1DE
A
9,如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的
A
交点,面CDE是等边三角形,棱EFBC。
E
(I)证明FO∥平面CDE;;
(II
)设BC,证明EO平面。
10、如图,直三棱柱ABC—A1B1C1 中,AC =BC =1,∠ACB =
A
B
M
D
90°,AA1 =2,D 是A1B1 中点.(1)求证C1D ⊥平面A1B ;(2)当点F 在BB1 上什么位置时,会使得AB1 ⊥平面C1DF ?并证明你的结论。
11,如图,△ABC 为正三角形,EC ⊥平面ABC ,BD ∥CE ,CE =CA =2 BD ,M 是EA 的中点,
求证:(1)DE =DA ;(2)平面BDM ⊥平面ECA ;(3)平面DEA ⊥平面ECA。
12、已知正方体ABCD—A1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点. 求证:(1)C1O//平面AB1D1;(2)A1C⊥平面AB1D1.
DAD
A
BBC
1C
13、如图平面ABCD⊥平面ABEF, ABCD是正方形,ABEF是矩形, 且AF
AD2,G是EF的中点,
2(1)求证平面AGC⊥平面BGC;(2)求空间四边形AGBC的体积。
14、如图,在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中,AB8,AC的中点.(Ⅰ)求证:ABA1C;(Ⅱ)求证:A1C∥ 面AB1D;
6,BC10,D是BC边
15,如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥BE; (2) 设M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.16 在三棱锥PABC中,PA平面ABC,ABBCCA3,M为AB的中点,四点P、A、M、C都在球O的球面上。(1)证明:平面PAB平面PCM;
_P
_A_C
_M
_B
17、如图,已知AB平面ACD,DE平面ACD,三角形ACD为等边三角形,ADDE2AB,F为CD的中点
(1)求证:AF//平面BCE;
(2)求证:平面BCE平面CDE;
18、如图所示,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D为AC的中点。 (I)求证:B1C//平面A1BD; (II)求证:B1C1⊥平面ABB1A
(III)设E是CC1上一点,试确定E的位置,使平面A1BD⊥平面BDE,并说明理由。
P
AD中,PA底
19、如图,四棱锥PABCD面ABCD,ABAD,ACCD,B
ABC60,PAABBC, E是PC的中点.
(1)求证:CDAE;(2)求证:PD面ABE.
20、如图,四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=
AD.
2(I)求证:平面PAC⊥平面PCD;
(II)在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面
PAB?若存在,请确定E点的位置;若不存在,请说明理由.S
A
D
BC
21、如图,在四棱锥SABCD中,SA
AB2,SBSDABCD是菱形,且ABC60,E为
CD的中点.
(1)证明:CD平面SAE;
(2)侧棱SB上是否存在点F,使得CF//平面SAE?并证明你的结论.
22、在正三棱柱ABCA1B1C1 中,E是AC中点,(1)求证:AB1//平面BEC1 ;(2)求证:平面BEC1平面ACC1A1 ;
23.如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点,(I)求证:AC⊥BC1;
(II)求证:AC 1//平面CDB1;,
24、如图,在底面为平行四边行的四棱锥PABCD中,ABAC,PA平面ABCD,且PAAB,点E是PD的中点.(Ⅰ)求证:ACPB;
(Ⅱ)求证:PB//平面AEC;
25.三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V,P、Q分别为AA
1、CC1上的点,且满足AP=C1Q,则四棱锥B—APQC的体积是
1112A.VB.VC.VD.V
23
43B
11 26.如图1,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中, P、Q是对角 线AC上的点,若PQ
a
,则三棱锥PBDQ的体积为2
D