变式问题教学的粗浅思考02
三牧中学数学组
林山杰
“一题多解，解法优化；一题多变，变中求同；多题一法，同模通法”是数学解题与习题教学中非常重要的教学方法，也是学生学习的方法．对各个数学知识模块，进行这三个维度的探究教学，非常有益于学生的数学思维能力的培养．本文主要侧重于思考与研究常见的几何特征模型的一些变式问题的一些结论，并介绍一点对问题变式的改编方法的思考．①②③④⑤⑥←→
主题2：关于一些常见的含有平分角结构的特征图形的互逆命题组
问题2-1-1：如图2-1-1，（点D在OA上），有三个命题：①AOB平分∠AOC，②BD∥OC，③ OD=DB．
则①②③知二可证其余，即①②→③，②③→①，①③→②．
DBO这三个问题显然互为逆命题，且易证为真命题．可以简单归纳为“平分角”“平行”“等腰”知二可得第三．这三个命题的证明显C然都是从角的等量关系来转化．其中
图2-1-1平分平行等腰现形OB平分AOC（等价于）AOB=BOC=AOC2BD∥OC（等价于）DOB=BOCOD=DB（等价于）DOB=BOD（即AOB）
而这三组“角的等量关系”，显然可以从其中任意两个推出第三个．证明思路中可以看出角的等量关系可以与线的位置关系（平行的三线八角结构），线的数量关系（等边对等角及等角对等边）相互转化．而几何证明，线角是核心元素，线角转化是重要方法技巧．
这个问题改变平行的位置特征，可以得到问题2-1-2：如图A2-1-2，（点E在OA反向延长线上），有三个命题：①OB平分∠图2-1-2平分平行等腰现形AOC，②BO∥EC，③ OE=OC．
则①②③知二可证其余，即①②→③，②③→①，①③→②． BO
其证明思路与前一个问题几乎完全相同，稍有一些小区别，需CE要用到三角形外角定理证明比较简洁点．
问题2-2：如图2-2，（点D在BC上），有四个命题：①AB=ACA（它等价于∠B=∠C，只写出其中一个），②AD⊥BC于D，③ BD=CD，④ AD平分∠BAC．
显然这个图形中，①②③④知二可证其余．其中①②→③④，①④→②③，①③→②④，就是三线合一定理．而②③→①是根据线段的垂直平分线的性质定理，于是再用三线合一可以推出④．
1BDC图2-2等腰三角形三线合一第五个真命题：②④→①③，只需AAS证明△ABD≌△ACD，前面四个命题也是证明这两个三角形全等，只不过前面四个有教材的定理体系，可以直接使用有关结论．第五个命题不是定理．
第六个真命题：②③→①④本质也是证明这两个三角形全等，只是所给条件满足SSA，不能直接证明，需要添辅助线来构造新的全等，最后转化出所证问题．有常见的几种证明方法．
方法1：由③AD平分∠BAC的条件，构造角平分线上的点D到A角两边的垂线段DH，DG．则DH=DG，接下来HL证明△BDH≌△CDG，从而∠B=∠C，等角对等边推出AB=AC，于是转化为前面的问题．
HG方法2（等面积法证明角平分线的另一个定理，教材中已经删去）：辅助线同方法1，得出DH=DG，从而(S[△ABD]/S[△BCDACD])=(AB/AC)．又△ABD与△ACD等底同高，得出(S[△ABD]/S[△图2-2等腰三角形三线合一ACD])=(BD/DC)．所以 (AB/AC)=(BD/DC)．再由②BD=CD知AB=AC，余下证明略．
A方法3：由②BD=CD可以构造倍长中线的全等三角形结构．即SAS证明△A’BD≌△ACD，从而∠BA’D=∠CAD=∠BAD，所以AB=A’B=CA，余下证明略．
方法4：辅助线图形同方法3，但是辅助线的作法不同．过B作AC的平BCD行线与AD的延长线相交于A’，则由平行+平分角结构得出等腰AB=A’B，再由平行+平分线结构得出△A’BD≌△ACD（AAS或ASA），其余证明略．
A\' A O\"问题2-3：如图2-3，在四边形CPOQ中，①OC平分∠
POQ，②CP=CQ，③∠CPQ+∠CQO=180°（等价于∠QCP+Q\'∠QOP=180°） G由①②可知△OPC与△OQC满足SSA．若OP=OQ，PC则二者全等，此时P与Q关于OC对称．若OP≠OQ，则
二者不全等，即为SSA的反例图形．下面研究下这个四边P\'B形CPOQ在如图所示条件（OP≠OQ）下的互逆命题组，即
O\'OQH①②③知二可证其余，即①②→③，②③→①，①③→②．
图2-3 SSA的反例四边形命题1：①②→③简证如下：构造辅助线CG，CH，根
据角平分线的性质定理（本质是AAS证明△OCG≌△OCH）由①推出GG=CH，根据HL证明△CPG≌△CQH，从而得出∠CPG=∠CQH，从而∠CPQ+∠CQO=180°．
命题2：②③→①简证：相同的辅助线，先证△CPG≌△CQH，再用角平分线的判定定理（本质是HL证明Rt△OCG≌Rt△OCH）推出①OC平分∠POQ．
命题3：①③→②简证：相同的辅助线，先证GG=CH，再根据AAS证明△CPG≌△CQH，余下证明略．
我们发现这三个命题的证明思路本质是一样的，证明两对三角形全等，只是证明全等的方法路径顺序有所改变而已．
这个四边形很重要，在许多常见的问题中都会见到它的身影，这是后话．
另外还可以应用圆的知识来证明有关结论，略去．只是教材中缺乏“对角互补的四边形四顶点共圆”的结论．还要注意这个四边形与等腰△COO’的转化，以及OQ + OP =2OH，OQ -OP =2QH．
问题2-4，如图2-3，在四边形ABCD中，F在边CD上，①BC∥AD，②BF平分∠ABC，③AF平分∠BAC，④BF⊥AF，⑤ CF=DF，⑥BC+AD=AB．这个图形存在一系列知道三个条件可以推出其余三个结论的命题，他们是否都是真命题？其中有这几个是假命题：①④⑥→②③⑤，反例图形如四边形ABC’D’； ②④⑥→ ①③⑤，反例图形是ABCD’；③④⑥→ ①②⑤，反例图形是ABC’D；其他的命题都是真命题；其中①②③④四个命题知三可以推出第四个．
命题1：①②③→④⑤⑥简证如下：显然两平行直线AD，BC被AB所截得的同旁内角的平分线BF与AF互相垂直，利用等式性质对角的等量关系进行变形可得．延长BF，AD交于点G，由平行平分角结构可以推出等腰AB=AG．在等腰△ABG中利用三线合一结构（本质是△AFB≌△AFG）得出BF=FG．再由平行平分线结构推出△CFB≌△DFG，从而CF=FD．
命题2：①②④→③⑤⑥简证如下：①②④→③，问题转化为命题1． 命题3：①③④→②⑤⑥，同命题2思路． 命题4：②③④→①⑤⑥，同命题2思路．
命题5：①②⑤→③④⑥简证思路：①⑤平行平分线结构推出△CFB≌△DFG，①②平行平分角结构可以推出等腰AB=AG，在等腰△ABG中利用三线合一结构得出BF⊥AF，其余问题略．
命题6：①②⑥→③④⑤简证思路：在AB上截取BE=BC，连接EF．②的条件得出轴对称全等△BCF≌△BEF，再导角证明∠AEF=180°－∠BEF=180°－∠BCF=∠ADF，从而SAS证明△AFE≌△AFD．
命题7：①③⑤→②④⑥，由条件的对称性知，同命题5． 命题8：①③⑥→②④⑤，由条件的对称性知，同命题6． 其他真命题的本质都是证明其中四对全等△AFB≌△AFG，△CFB≌△DFG，△BCF≌△BEF，△AFE≌△AFD，中有两对成立．留待读者自己思考，有个别题目需要设法绕开SSA的障碍或者证明三点共线．
当条件强化为直角梯形的图形时，所有命题都成立．
感悟：逆向思维带来的逆问题变式可以产生很多有意义的问题．但是有些图形的情况某些逆命题比较难，可以适当向学生介绍统一法和反证法．这样的例子后面的总结文章再介绍．
通过总结常见的基本结构，在问题2-4中，我的思考模式都是模块化的思路．如何培养学生这种思维能力是很值得推敲的教学问题，需要在教学实践中慢慢思考总结． 一个图形的互逆命题组放在一个整体来考虑它们图形与思路的共性，是把局部问题放在整体来思考的研究路径，有一定的价值．如果因此产生思维定式的局限，说明研究的问题还达不到足够的高度与广度．需要在学习中不断突破，总结提升．
一些常见的特征图形，这样的学习思考有助于巩固基础．但是生僻的图形结构这样的学习对学生来说有些费力不讨好．
