《点阵中的规律》基于标准的教学设计
【教学内容】
北师大版小学数学五年级上册98页 【设计者】 郑东新区昆丽河小学 赵磊 【教材分析】
本课的内容是图形中的规律里面一个课时点阵的规律，这节课与本单元的其它知识之间没有必然的前后联系，是一节相对独立的数学活动课。教材提供的学习内容对于五年级的学生来说比较抽象。但本课知识却是帮助学生建立数学模型的好题材，即是让学生能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，又是让学生体会到图形与数的联系，发展学生归纳与概括能力，渗透数学建模思想。
【学情分析】
学生在一年级学过找规律填数，二年级学过按规律接着画，四年级学过探索图形的规律。因此五年级学生具备一定的观察能力、抽象概括能力、逻辑推理能力等。然而小学生的思维特点是从具体形象思维逐步向抽象思维过渡，这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然依靠感性经验的支持。而这节课完全是数学思想、数学方法的教学，极为抽象，因此对部分学生来说还是会感觉有点困难。 【学习目标】
1．能在观察活动中，能说出所观察的点阵中隐含的规律。
2、能用自己的话概括出数与形的关系并解决实际问题。 【学习重点】
探究发现点阵中的规律。 【学习难点】 总结概括规律。 【教学过程】
（一）图形引入，激发兴趣
1、展示图片，（投影）大家都学过图形吧，认识它吗？ 师：这是什么图形？接着看 生：好像都是由点组成的。
师：是呀，不要小看了这样一个小小的点，点是几何图形中最基本的图形，许许多多的点按照一定的规律排列起来就构成了点阵。
早在2000多年前，古希腊的数学家们就是从这样一个小小的点开始研究，并且发现了有许多个这样的点组成的点阵中许多有趣的规律。这节课，我们也来尝试研究点阵的规律。（板书课题——点阵中的规律）。
（二）参与研究，培养思维
1、出示正方形点阵，探索正方形点阵的规律。
1 A、第一个规律。
师：（出示点阵），这就是他们当时研究过的一组点阵，请大家用数学的眼光仔细观察，这些点阵是什么图形？
师：每个点阵可以看成什么图形？（正方形），同意吗？ 生1：我认为第一个点阵不能看成一个正方形，是一个圆形。 师：其他同学也同意他的观点吗？
师：其实第一个点阵虽然只是一个点，但是我们可以把它看成边长是1的小正方形。是吗？
师：您能用算式表示点阵的点子数吗？
生2：第一个点阵有1个点，第二个点阵有4个点，第三个点阵有9个点，第四个点阵有16个点。
师：你能想到第5个点阵是什么样子的吗？
同学们现在你们发现正方形点阵的规律了吗？点阵的序号与它的点的个数算式有没有关系？有什么关系？如果用字母n来表示点阵的序号，那么正方形点阵点的个数是多少呢？
生：我们分析了前面几个点阵图的特点，认为在这个点阵图中，点的个数的规律是：1×1，2×2，3×3，4×4，……也就是n×n 师：这种数法真是又快又方便！照这样下去，能不能根据你们的发现第6个呢、第7个……第100个点阵的点的个数都能瞬间求出来。也就是说：“是第几个点阵，就用几乘几”（板书）
2 师：如果一个点阵它有81个点，它应该是第几个点阵？每行有几个点？每列有几个点？
师：刚才我们是怎样观察的？（横着数和竖着数） 正方形点阵还有没有其它的观察方法呢？能不能换个角度观察？
“斜着看又可以得到什么新的与序号有关的算式呢？请同学们独立思考，写出算式，然后汇报。”（投影）
观察并思考：
(1)分别用算式表示每个点阵点的个数。 （2）你发现了什么规律？ 学生汇报，教师板书：
第1个： 1=1
第2个： 1+2+1=4
第3个： 1+2+3+2+1=9
第4个： 1+2+3+4+3+2+1=16 第N个： 1+2+3+…N+…+3+2+1 师：“谁发现什么规律呢？”
生：“如第2个点阵就从1加到2再加回来，第3个点阵就从1加到3再加回来，第4个点阵就从1加到4再加回来”。
师小结：“第几个点阵就从1连续加到几，再反过来加回到1”这个规律。
3 刚才是横竖数，“第几个点阵就是几乘几”。 C、第3个规律：
师：刚才同学们发现了点阵中的两个规律，这些点阵中还有其它的规律吗？还能换个角度去思考吗？（出示教材第82页第（3）题图），老师把第5个点阵中的点用五条折线划分，这样划分后，看看你又有什么新发现呢？
师：我们把第1个折现内的点看成第一个点阵，该用什么算式表示？其他呢？小组讨论，列出算式，全班汇报。
小组代表汇报。
生：（总结）每用折线画一次后，点阵中的个数是： 1＝1 1＋3＝4 1＋3＋5＝9 1＋3＋5＋7＝16 ……
师：（总结）这样划分后，点阵中的规律是：1，1＋3，1＋3＋5，1＋3＋5＋7，……
师：第1个点阵是1，第2个点阵是在第1个的基础上多3个，第3个点阵呢？
有的学生可能说：“这次都是奇数相加。”
教师问：“从奇数几加起？加几个？是随意的几个奇数相加 4 吗？”
通过这样的提问，引导学生说出“第几个点阵就从1开始加几个连续奇数”。
师：真了不起。这种划分方法，我们可以叫做“折线划分法”。 第几个点阵，就是从1开始加几个连续奇数。
通过研究点阵，我们发现这组正方形点阵中有很多规律。这3种规律是从不同的角度观察出来的，无论你从什么角度去观察，得到的结论都与它的序号有关系，所以我们以后再研究点阵的时候，都要想一想跟它的序号有什么关系，这样才能更简单。
刚才这3种方法，哪一种更简便？你更喜欢哪一种？那么我们再研究正方形点阵的时候，用哪一种更简便？但点阵是丰富的，多变的，不仅只有正方形点阵，还有其他图形的点阵。这时，我们就需要开拓自己的思维，多想一些方法来研究它们与序号之间的关系。有没有兴趣再研究其他图形的点阵？
（三）尝试实践，主动研究
1.师：你们能用刚学过的几种方法中发现这个点阵的规律吗？
（四）课堂小结
师：同学们今天学习了这么多的点阵，有没有收获，哪些收获？
