《2.3.1数学归纳法》教学设计
关岭县综合性高级中学 苏勇
一、教材内容解析
由于正整数无法穷尽的特点，有些关于正整数n的命题，难以对n进行一一的验证，从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论.这是数学归纳法产生的根源.数学归纳法是数学上证明与自然数n有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
数学归纳法是一种证明与正整数n有关的命题的重要方法。它的独到之处便是运用有限个步骤就能证明无限多个对象，而实现这一目的的工具就是递推思想。
在数学结论的发现过程中，往往先通过对大量个别事实的观察，通过归纳形成一般性的结论，最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的，而论证就像是对归纳的一个数学补充，即“观察”+“归纳”+“证明”=“发现”.
二、学情分析
该阶段学生的认知基础：（1）对正整数的特点的感性认识；（2）对“无穷”的概念有一定的认识和兴趣；（3）在数列的学习中对递推思想有一定的体会；（4）在生活经验中接触到一些具有递推性质的事实；
三、教学目标
知识与技能：理解数学归纳的原理与实质．掌握两个步骤；会证明简单的与自然数有关的命题．培养学生观察、分析、思考、论证的能力，发展抽象思维能力和创新能力．培养学生大胆猜想、小心求证的辨证思维素质以及发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力． 过程与方法：努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想．
情感态度价值观：让学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点；体会研究数学问题的一种方法，激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．
四、教学重点与难点
教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式，特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用。 教学难点：（1）如何理解数学归纳法证题的严密性和有效性。（2）递推步骤中如何利用归纳假设，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。
五、教学方法
本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发。在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望。师生之间、学生之间共同探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证明一些与正整数n有关的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力。既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性。
六、教学过程
（一）创设问题情境
思考1：某人想排队进展览馆参观，不知自己能否进得去，于是问组织者，答：只要你前一个人能进去，你就能进去.那么此人能进去参观吗？若每个排队的人都能进去参观，需要什么条件？
（①第一个人进去；②若前一个人进去，则后一个人也能进去.）
思考2：某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某家族所有男人世代都姓王的条件是什么？ （①始祖姓王（第1代姓王）； ②子随父姓（如果第k代姓王，则第k+1代也姓王））
（二）探索新知
问题：已知数列{an}，a1=1，an+1= an，求a4，a100以及an。 师生活动：学生进行计算推理后，展示思考结果.教师追问：
（1）根据递推公式an+1= an，可以由又是如何求得呢？
出发，推出，再由推出，由推出，说说你（由前四项归纳猜想.）
（2）归纳猜想的结果并不可靠，你能否对设计意图：学生通过对出其下一项的值.针对学生的回答情况，教师可进行追问：
给以严格的证明吗？
的求解以及思考1,2所渗透的思想，体会到只需知道某一项，就可求问1:利用递推公式，命题中的n由1可以推出2，由2可以推出3，由3可以推出4，···，由99可以推出100.这样要严格证明n=100结论成立，需要进行多少个步骤的论证呢？
第一步，；
第二步：；（由推）
第三步，；（由推）
第四步，；（由推） ……
第99步，；（由推）
第100步，.（由推）
问2：我们能否只用最少的步骤就能证明这个结论呢？
（除了第一步论证之外，其余99个步骤的证明都可以概括成一个命题的证明，即转化为对以下命题的证明：
若n取某一个值时结论成立，则n取其下一个值时结论也成立，即
若（），则.（*）
（.））
问3：你能进一步说明命题（*）的证明对原命题的证明起到什么作用吗？
问4：有了命题（*）的证明，你能肯定吗？你能肯定吗？你能肯定问5：给定吗？甚至你能肯定吗？…
及命题（*），你能推出什么结论呢？
（通过步步递推，可以证明对任意的正整数n，结论问6：试写出此命题的证明:
都成立.）
已知数列｛an｝：，求证：.证明:(1)当n=1时，，所以结论成立.(2)假设当n=k(k N*)时，结论成立，即则当n=k+1时
，
即当n=k+1时，结论也成立.由（1）(2)可得，对任意的正整数n都有问7：你能否总结出这一证明方法的一般模式?
成立.一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立；
（2）（归纳递推）假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.问8：数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1？ 提示：不一定，如证明n边形的内角和为（n-2）·180。时。 又如：用数学归纳法证明3n>n3(n≥3，n∈N)第一步应验证？ 问9：对方法中的两个步骤，你是如何理解的？
预设：一是归纳基础，二是归纳递推.两者缺一不可。数学归纳法实质上将对原问题的证明转化为对两个步骤的证明和判断，由此可进行无限的循环.
（三）方法的深度透析
an+1=思考1：已知数列{an}满足
an1a=1+an（n∈N*），假设当n＝k时，kk，
则当n＝k＋1时，ak＋1等于什么？ 若假设(ak=22k-1，则ak＋1等于什么？
) 思考2：若给出a1＝1，则数列{an}的通项公式是什么？若给出a1＝2，则数列{an}的通项公式是什么？如何理解你的结论？
()
注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
（四）典例讲解
（五）小结与回顾
（1）数学归纳法能解决哪些问题？（与正整数n有关的命题的证明） （2）数学归纳法的证题步骤是什么？（两步骤一结论） （3）它的核心思想是什么？（无穷递推） （4）在学习与思考中你还有哪些疑惑？
（六）布置作业
课本96页，习题2.3，A组，
1、2
