二次函数的概念（1）教学设计
翠屏中学
邹爱玲
一、教材分析：
本节内容是二次函数的第一节内容，由实例引入，应让学生对概念充分理解，为以后二次函数的深入学习打下基础。
教材采用的是螺旋式的上升，在复习了函数的基础上，引入二次函数的概念，学生在学习新知识上就没有了陌生。
二、学情分析
学生学习了函数的定义，并且有一次函数和反比例函数的相关知识做基础，已经具备研究函数有关知识的数学思维方式。二次函数的意义在于掌握理性的思维方式，加深两个变量之间的变化趋势。
三、教学目标
（1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。
（2）过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力．
（3）情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心．
四、教学重点及难点
教学重点：对二次函数概念的理解．
教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围.教学方法：小组合作式的三环节教学
五、教学用具
多媒体PPT、班班通
六、教学过程
（一） 自学探究，小组合作
1、什么是函数？怎么判断？
2、你学过那些函数？有什么特点？
3、这些函数的图象是什么形状的？
【设计意图】复习这些问题是为了引入二次函数概念做铺垫，帮助学生加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较。同时激发学生学习二次函数的兴趣。
（二）创设情境，引入新课
函数是研究两个变量在某变化过程中的相互依赖关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数．在生活中，我们还会看到一些非直线非双曲线的线。 电脑演示：拱桥、喷泉等与一元二次函数图像有关的图片引起学生对一元二次函数的好奇和兴趣。
【设计意图】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，对比一次函数归纳出二次函数的定义 (三) 合作学习,探索新知
探索问题：
请用适当的函数关系式表示下列情景中的y与x之间的关系:
(1).圆的面积y(cm)与圆的半径x(cm): （2）用周长为20m的篱笆围成矩形场地，场地面积y(m²)与矩形一边长x(m)之间的关系是什么？
由学生认真思考并与同桌交流，然后回答下面的问题 1 设矩形靠墙的一边AB的长ｘｍ，矩形的面积yｍ2． 能用含x的代数式来表示y吗？ 2 试填表（自学提纲）
3 x的值可以任意取？有限定范围吗？
4 我们发现y是x的函数，试写出这个函数的关系式
(3)某商店1月份的利润是2万元,
2、3月份的利润逐月增长,这两个月利润平均增长率为X: 说明：由以上两例，引导启发学生归纳出
(1)函数解析式的一边均为整式(表明这种函数与一次函数有共同的特征)． (2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)．
（3）二次项的系数是否为0 本处设计了三个问题，学生容易分析其中的变量以及变量之间的关系，也不难列出函数解析式.通过归纳解析式特点，自然引出二次函数的定义.【设计意图】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，对比一次函数归纳出二次函数的定义。
（四）重点讲解，引出概念
引入二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c (a≠0，a, b, c为常数) 的函数叫做二次函数。 巩固对二次函数概念的理解：
提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？
2.对于二次函数y= ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？ 思考：1. 由问题1和2你认为判断二次函数的关键是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为0． 思考：2. 二次函数、一次函数都是什么代数式？
【设计意图】这里强调对二次函数概念的理解，有助于学生更好地理解，掌握其特征，为接下来的判断二次函数做好铺垫。
观察上述函数关系式有哪些共同的特征.(小组讨论) 对二次函数概念的理解可从以下几方面入手：
（1）在y=ax2＋bx＋c中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围应是使实际问题有意义的值．（2）为什么二次函数定义中要求a≠0？(若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了) （3）b和c是否可以为零？由例1可知，b和c均可为零．
若b=0，则y=ax2＋c；
若c=0，则y=ax2＋bx；
若b=c=0，则y=ax2．
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式.(四)学以致用 展示自我
1.下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c． (1)y=3x-1
(
)
(2)y=3x
2 （
)
(3)y=3x3+2x-2 (
)
(4)y=2x2-2x+1(
)
(5)y=x-2+x
(
)
(6)y=x2-x(1+x) (
)
2m2my(m1)x2.若函数
是关于x的二次函数.求m的值.3.（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关系式． 4.试一试: 要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为x,巨形的面积为 y,试(1)写出y关与x的函数关系式.(2)当x=3时,距形的面积为多少? 【设计意图】通过练习，巩固加深对二次函数概念的理解 (五)当堂达标 验证自我
1.下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c．
(1)yx2 1(2)y x2 (3)yx(1x) 22(4)y(x1)x
＋－2 .
y＝(m＋3)xm2m4＋(m＋2)x＋3，
当m为何值时，y是x的二次函数？
【设计意图】此题较前面几题稍微复杂些，旨在让学生能够开动脑筋，积极思考，让学生能够“跳一跳，够得到”。
(六)畅所欲言 总结收获: 这节课你学习了什么，有何收获？
【设计意图】让学生来谈本节课的收获，培养学生自我检查、自我小结的良好习惯，将知识进行整理并系统化。而且由此可了解到学生还有哪些不清楚的地方，以便在今后的教学中补充。同时，也让学生清楚地知道本节课的掌握情况。 (七)布置作业：课后习题 必做题：
1.正方形的边长为4，如果边长增加x，则面积增加y，求y关于x 的函数关系式。这个函数是二次函数吗？
2.在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y(cm2)与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。 选做题：
1.已知函数是y= (m+1)x
m2—2m-1
+(m-3)x+m 二次函数，求m的值。
2.试在平面直角坐标系画出二次函数y=x2和y=-x2图象 【设计意图】作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，体现新课标人人学有价值的数学，不同的人得到不同的发展。另外补充选做第2题，旨在激发学生继续学习二次函数图象的兴趣。
