“平均变化率”一课是高中新课程苏教版选修1-1中导数一章的第一课，为了能更好的完成教学任务，听了很多老师的课，吸取了很多经验，并结合弗赖登塔尔的数学教育思想，通过自己的教学实践，有了自己的一点心得，与教学同仁分享。
新教材与以前的教材相比，导数这一章在传统内容上有所删减。不再系统的讲述极限的概念，而且在要求和侧重点上有所调整，本章就着重理解微分的基本思想及其应用。本节是导数这章的第一节，主要通过一些现实生活中的实例来引出平均变化率的概念。从而为过渡到瞬时变化率，理解导数的概念做好准备，让学生能体会导数的基本思想。因此本节的问题情境的创建是需要重点考虑的。
本节教材中通过引言中的一则案例，提出问题：用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢?这样的数学模型有哪些应用?意图是在此基础上提出平均变化率的概念，教学中如何使得平均变化率概念的引入显得流畅自然?是抛开教材中的案例另辟蹊径。来构建概念，还是在教材基础上着力创设“最近发展区”。让学生知识迁移，主动构建平均变化率的概念呢?
在教学实践中发现。虽然教材中气温曲线的引例贴切学生生活，图像直观，有利于构建数学模型，但同样它也存在着一些缺点：
1、不能反映确定的数量关系。无法用确定的函数关系来描述图像，这为以后进一步研究导数带来了困难。
2、例子过于单一，无法符合所有学生的“数学现实”。曼弗赖登塔尔“数学现实”中的一个基本结论是：每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构。这就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”。从这个意义上说，所谓“现实”不一定限于具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分，或者可以说，每个人也都有自己所接触到的特定的“数学现实”。这也许和我们常说的“从学生实际出发”差不多，数学教育当然要根据学生的“数学现实”来进行。学生的“实际”知识有多少?学生的“数学水平”有多高?学生的“日常生活常识”有多广?这些都是教师面对的“现实”，如果我们只是简单的运用教材中的这一个事例，就未免太狭隘了。
根据以上的实际情况，在问题情境的教学设计中主要做了两点改变：
1、让学生根据自己的实际情况来定函数画草图，例如有的同学就用函数图像来表示自己上学途中的情况，有的举出商品价格和卖出数量关系的图像等等。一方面调动了学生，另一方面更重要的是使得客观现实与学生的数学知识的现实彼此融为一体。
2、根据学生不同的知识水平。在教材原实例的基础上增加了和物理学有关系的路程与时间、速度与时间图像以及数学中的函数图像。
在教学实践巾。通过采用上述的问题情境教学，收到了良好的效果，主要体现在以下方面：
1、为学生的“再创造”提供了舞台。弗赖登塔尔认为数学教育方法的核心是学生的“再创造”。每个人都应该在学习数学的过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。弗氏认为：数学实质上是人们常识的系统化，每个学生都可能在一定的指导下，通过自己的实践来获得这些知识。所以我们必须遵循这样的原则，那就是数学教育必须以“再创造”的方式来进行。通过上述的问题情境，学生就能结合自己的实际，在教师的适当指导下，用自己的思维方式，发现图形“陡峭”，变化“快慢”背后的实质。通过自己“创造性”的活动来重现历史当时概念形成的过程。当然，每个人有不同的“数学现实”，每个人也可能处于不同的思维水平，因而不同的人可以追求并达到不同的水平。一般说来，对于学生的各种独特的解法，甚至不着边际的想法在教学过程中我都没有加以阻挠，而是让他们充分发展，充分享有“再创造”的自由，让学生走自己的道路。自然从教师的角度，在适当的时机应引导学生加强反思，巩固已经获得的知识，以提高学生的思维水平，尤其必须有意识地启发，使学生的“创造”活动逐步由不自觉或无目的的状态，进而发展为有意识有目的的创造活动，以便尽量促使每个人所能达到的水平尽可能地提高。
2、为“数学化”铺平了道路。人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。而在“数学化”过程中学生通过反思，对自己的判断与活动甚至语言表达进行思考并加以证实，以便有意识地了解自身行为后面潜藏的实质，做更为抽象与形式的加工。只有这样的数学教育――以反思为核心――才能使学生真正深入到数学化过程之中，也才能真正抓住数学思维的内在实质。通过上述的问题情境，学生们找到自己的“数学现实”以后，在老师有意义的指导下，比较顺利地开始了“数学化”的过程。并且通过小组合作的形式，使学生在反思过程中的思想相互碰撞，相互影响，产生了良好的效果。例如，有的学生发现自己到校过程中路程和时间的图形和另外一位学生的图形相似，但事实上他到校要更快，仔细研究才发现两者采取的单位长度不同，在老师的指导下，学生就开始反思，用什么能比图形更好的来刻画变化的“快慢”。这样的例子在整个教学过程中经常出现，学生在老师的有意义的指导下，根据自己的水平不同，都能进行“数学化”的过程，虽然水平有高低，但都能了解掌握“平均变化率”。提高了学生的知识水平。掌握了一定的数学知识和技能。
3、为例题的讲解提供了有利的素材。上述的问题情境在实施过程中肯定要花费很多的时间，如果在按照教材巾的例题进行讲解的话，是无法在一堂课上完成的。但学生在整个的学习过程中研究得自己的“数学现实”已经提供了大量的实例，老师只要依据教材，从中选取几个恰当的进行分析讲解就能达到教学目的。
弗赖登塔尔的数学教育理论的主要论点都是从实际的数学教育出发，而不是从一般教育出发，因而得到了世界各国特别是数学教育界的广泛重视和研究。回顾我国情况，对数学教育的系统理论还没有很好研究，也很少借鉴国外的现代数学教育学说，处于一种比较盲目的状态。而新教材更符合弗赖登塔尔的数学教育理论，本文通过结合这一理论，在新教材的基础上所作的修改，在教学实践中充分体现了这一理论所带来的良好的教学效果。希望通过本文，对读者有所启发。使根多的教师把弗赖登塔尔的数学教育理论和中国的数学教育实践相结合使我们的数学教育事业更进一步。
