利用配方法解题举例
作为一个重要的数学方法，配方法在中学数学中的应用极为广泛，下面举例说明．
一、用于因式分解
例1 分解因式：
(1)x4+4；
(2)a2-4ab+3b2-2bc-c2
解：(1)原式＝x4+4x2+4-4x2
＝(x2+2)2-(2x)2
＝(x2+2x+2)(x2-2x+2)．
(2)原式＝(a2-4ab+4b2)-(b2+2bc+c2)
＝(a-2b)2-(b+c)2
＝(a-b+c)(a-3b-c)．
二、用于求值
例2 已知x2+y2+4x-6y+13＝0，x，y为实数，则xy＝_______．
解：由已知等式配方，得(x+2)2+(y-3)2＝0．
因x，y为实数，故x＝-2，y＝3．
故xy＝(-2)3＝-8．
三、用于化简根式
1 / 4
四、用于解方程(组)
例4 解方程(x2+2)(y2+4)(z2+8)＝64xyz(x，y，z均为正实数)．
解：原方程变形，得
x2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64-64xyz＝0．
各自配方，得(xyz-8)2+2(4x-yz)2+4(2y-xz)2+8(z-xy)2＝0．
解：显然，x＝y＝z＝0适合方程组．
当x≠0，y≠0，z≠0时，原方程组可变形为：
2 / 4
∴ x＝1，y＝1，z＝1．
五、用于求最值
解：所求式变形配方，得
∴ 当x＝1时，y有最小值1．
六、用于证明恒等式
例7 四边形的四条边长a，b，c，d满足等式a4+b4+c4+d4＝4abcd．求证：a＝b＝c＝d．
证明：已知等式变形，得
a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d2+2a2b2+2c2d2-4abcd＝0．
配方，得(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2＝0．
∴ a2＝b2，c2＝d2，ab＝cd．故a＝b＝c＝d．
七、用于证明不等式
例8 若a，b，c为实数，求证：a2+b2+c2-ab-bc-ac≥0．
证明：∴2(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
3 / 4
＝(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)
＝(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0，
∴ a2+b2+c2-ab-bc-ac≥0．
八、用于判定几何图形的形状
例9 已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2-ab-bc-ca＝0，试判定△ABC的形状．
解：仿上例，已知等式可化为(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2＝0．
∴ a-b＝0，b-c＝0，c-a＝0．即 a＝b＝c．
故 △ABC是等边三角形．
4 / 4
