斐波那契数列:
1、
1、
2、
3、
5、
8、
13、
21、34……它的通项公式为:an1[(15)n(1)n]
1解得证明:令anan1(an1an2)(n3)则有1
121
或
121
故有
(1)
an
1151111an1(an1an2) 或 (2) anan1(an1an2) 222222
anan1
1an111515,因为n3故数列{an}是以aaa1为首项,n122221an
2(Ⅰ)由(1)得
以
1115n215
为公比的等比数列,所以,anan1(a2a1)()由a1a21得2222
1an12
an
11n1anan11 ()两边同除以(15)n得:221n115n115
()()2222
即
an(1n
)2
1an1
11n1
()2
anan115移项得1515(n3)则由
221n11n1
()()22
1anan1155所以{an得,}是以2[]k
5151n15551n115n
()()()1
2221a2(152
)2
1an
为首项为公比的等比数列。故511(2
)n
a21n2
[]()551521()2
a2515n2,由(1)2(2)2化简可得 得a(15)n{[]()}n
2152551215
()2
an
15n15n
)()](n3) (*) 验证可得,当n=
1、n=2时,a1a21故斐波那契数列中,225[(
*
对于nN ,(*)式都成立。
*
(Ⅱ)同理,由(2) an1an11(an11an2)也可得斐波那契数列中,(*)式对于nN都成立
222
所以,斐波那契数列的通项公式即为:an
15n15n
)()] 225[(
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