用数学归纳法证明数列不等式

【例1】（2012全国大纲卷理22）函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过两点P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.（1）证明:2xnxn13； （2）求数列xn的通项公式.【证】（1）证：直线PQn的方程为y5f(xn)5(x4)，即y5(xn2)(x4)，

xn44x35令y0，解得xn14.nxn2xn2下用数学归纳法证明2xn3：

① 当n1时，x12，所以2x13.② 假设当nk时结论成立，即2xk3，则当nk1时，

由xk1411555xk13，故xk14，得4，即42232xk2*2xk13.由①②知，对一切nN都有2xn3.4xn3xn22xn3(3xn)(xn1)从而xn1xnxn0，故xn1xn.xn2xn2xn2综上，2xnxn13.

4x3x35(xn1)（2）解：由（1）知，xn1n，则 xn13n ①，xn11 ②，

xn2xn2xn

2①②，得

x311xn131xn3，故数列n是首项为，公比为的等比数列.53xn115xn1x1nn195n11xn311*

因此，(nN).，解得：xnn1351xn135【例2】已知函数f(x)ln(2x)ax在开区间(0，1)内是增函数．

(Ⅰ) 求实数a的取值范围；

(Ⅱ) 若数列an满a1(0,1),an1ln(2an)an(nN*)，证明：0anan11． (Ⅰ) 解：f(x)1a，由于f (x)在(0，1)内是增函数， 2x1a0在x∈∴ f(x)0，即 (0，1)时恒成立． 2x1∴ a 恒成立，

x2而

－2＜x－2＜－1，

11， x22111， 即 2x2∴

a1即为所求． ∴ 1(Ⅱ) 证明：① 当n=1时，由题设知a1∈(0，1)． ② 假设当n=k时，不等式成立，即ak∈(0，1)，则 当n=k+1时，由(Ⅰ)知，f(x)=ln(2－x)+x在(0，1)上是增函数

∴0f(0)ln(20)0ak1ln(2ak)akf(ak)f(1)ln(21)11， 即ak+1∈(0，1)，故n=k+1时命题成立.根据① ② 知0＜an＜1，n∈N*． 又 ∵ an1anln(2an)ln(21)0， ∴ 0anan11．

【例3】已知函数f(x)xsinx,数列{an}满足：0a11,an1f(an),n1,2,3,证明：

，

13an.6证明：(Ⅰ) 先用数学归纳法证明0an1,n1,2,3, (Ⅰ) 0an1an1；(Ⅱ) an1① 当n=1时，由已知，结论成立.② 假设当n=k时结论成立，即0ak1， 因为0x1时，f(x)1cosx0，

所以f(x)在(0，1)上是增函数，又f(x)在[0，1]上连续， 从而f(0)f(ak)f(1)，即0ak11sin11， 故当n=k+1时，结论成立.由①②可知，0an1对一切正整数都成立.又因为0an1时，an1anansinanansinan0， 所以an1an，综上所述0an1an1.(Ⅱ) 设函数g(x)sinxx13x,0x1， 6由(Ⅰ)可知，当0x1时，sinxx.

x2x2x2x22x2sin2()0, 从而g(x)cosx122222所以g(x)在（0，1）上是增函数.又g(0)0，

所以当0x1时，g(x)>0成立.

13于是g(an)0，即sinananan0，

613故an1an．

【例4】已知函数f(x)xln1x,数列an满足0a11, an1fan; 数列bn满足b111,bn1(n1)bn, nN*.求证: 22（Ⅰ）0an1an1;

an2; （Ⅱ）an122,则当n≥2时,bnann!.( n!n(n1)（Ⅲ）若a12*解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明0an1,nN. （1）当n=1时,由已知得结论成立;

21) （2）假设当n=k时,结论成立,即0ak1.则当n=k+1时,因为0

故当n=k+1时,结论也成立.即0an1对于一切正整数都成立.又由0an1, 得an1ananln1ananln(1an)0,从而an1an. 综上可知0an1an1.

x2x2ln(1x)x, 0g(0)=0. 由g(x)1xan2an2fan>0,从而an1.因为0an1,所以gan0,即2211n1b (Ⅲ) 因为 b1,bn1(n1)bn,所以bn0,n1 ,

222bnbbb21 所以bnnn1 b1nn!

————①bn1bn2b12 an2aaaaa,知:n1n, 所以n=23由(Ⅱ)an12a1a1a2an2因为a1anaa12an122an1 , 22, n≥2, 0an1an1.2a1a2an1a1n2a121a1

所以 an .

222222 由①② 两式可知: bnann!.【例5】

设函数f(x)与数列an满足以下关系：

① a1，其中是方程f(x)x的实根； ② an1f(an)；

1).③ f(x)的导数f(x)(0，(Ⅰ) 求证：an；

(Ⅱ) 判断an与an1的大小关系，并证明你的结论.(Ⅰ) 证：① 当n1时，a1，不等式成立.② 假设当nk时不等式成立，即ak，则nk1时， ∵f(x)0，则f(x)递增.

∴ak1f(ak)f()，即nk1时不等式也成立.

由①、②知，an对一切nN都成立.(Ⅱ) 解：an1anf(an)an，

设F(x)f(x)x，则F(x)f(x)10，

∴F(x)递减，而an，

∴F(an)F()f()0，

即f(an)an0，亦即an1an0，

*∴an1an. 【例6】（2005江西）已知数列{an}的各项都是正数,且满足:

1an(4an),nN.2（1）证明anan12,nN; a01,an1（2）求数列{an}的通项公式an.解：（1）方法一 用数学归纳法证明：

13a0(4a0),∴a0a12，命题正确.222°假设n=k时有ak1ak2.

1

1 则nk1时,akak1ak1(4ak1)ak(4ak)

2212(ak1ak)(ak1ak)(ak1ak)

21(ak1ak)(4ak1ak).2而ak1ak0.4ak1ak0,akak10.

112又ak1ak(4ak)[4(ak2)]2.

22∴nk1时命题正确.由1°、2°知，对一切n∈N时有anan12.1°当n=1时，a01,a1方法二：用数学归纳法证明：

1°当n=1时，a01,a1

2°假设n=k时有ak

1 令f(x)13a0(4a0),∴0a0a12； 22ak2成立，

1x(4x)，f(x)在[0，2]上单调递增，所以由假设 2111有：f(ak1)f(ak)f(2),即ak1(4ak1)ak(4ak)2(42),

222也即当n=k+1时

akak12成立，

所以由1°、2°知，对一切nN,有akak1

2（2）下面来求数列的通项：an111an(4an)[(an2)24],所以 222(an12)(an2)2

121122112221122n12n令bnan2,则bnbn(b)()b()bn1n2n1222222,

2又bn=－1，所以bn()12n11n,即an2bn2()21

【拓展题】

【例】、数列an满足an12a3an，且a11.（1）当1时，求数列an的nan12通项公式；

（2）若不等式an1an对一切nN恒成立，求的取值范围；

（3）当31时，证明：

*11111n.1a11a21an2解：（1）当1时，an12an1an112(an1)an2n1.(an1)21*（2）an1an①，要使an1an对一切nN恒成立，

an1(a11)213至少需使a2a10成立3.

a112下面先用数归法证明：当3时，an1(略)，再由①知an1an恒成立.所以[3,)为所求.（3）当31时，由(2)知an1，则由

2a(a1)(an1)11an1nn2an12an1

an1an1an112(an1)22(an11)2n(a11)2n1110an12nn，

1an21111111从而2n1n，等号当且仅当n11a11a21an2222时成立.

（2009安徽理21）首项为正数的数列an满足an1为奇数，

则对一切n2,an都是奇数；（2）若对一切nN都有an1an，求a1的取值范围.略解：（1）已知a1是奇数，假设ak2m1是奇数，其中m为正整数，

*12(an3),nN*.（1）证明：若a14ak23m(m1)1是奇数.（因为m(m1)是偶数） 则由递推关系得ak14*根据数学归纳法，对任何nN，an都是奇数.

1（2）（方法一）由an1an(an1)(an3)知，an1an当且仅当an1或an3.

4133231；若ak3，则ak13.另一方面，若0ak1,则0ak144根据数学归纳法，0a11,0an1,nN*;a13an3,nN*.

综合所述，对一切nN都有an1an的充要条件是0a11或a13.

*a123a1,得a124a130,于是0a11或a13.（方法二）由a24an23an23an123(anan1)(anan1), an1an，因为a10,an14444所以所有的an均大于0，因此an1an与anan1同号.根据数学归纳法，nN，an1an与a2a1同号.

*因此，对一切nN都有an1an的充要条件是0a11或a13.

*

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