问题导向教学法案例
主讲人:孟庆龙 莱州市第一中学
课前检测
lnx求函数fx=的单调区间x
3.构造函数证明不等式;
重、难点:利用导数工具研究函数性质
教学目标
1.回顾导数法研究函数的单调性; 2.应用函数的单调性研究最值问题;
一、函数的单调性问题
lnx例1:求函数fx=的单调区间x 问题1:该函数的定义域?
问题2:函数在某区间上的单调性与导数的关\'\'系? 1.fx0函数单调递增,fx0函数单调递减;\'\'2.函数单调递增fx0,函数单调递减fx0; 单调区间是定义域的子集 问题3:单调区间和定义域的关系? 同学讨论:导数法求函数单调区间的步骤?
(1)求y=f(x)的定义域D
(2)求导数f\'(x)
(3)解不等式:f\'(x)>0或f\'(x)
(4)与定义域求交集
(5)写出单调区间
强调:
1.单调区间是定义域的子集(f\'(x)>0或f\'(x)
2.多个单调区间用“,”连接。
+0,能力比拼已知函数fx=x+ax-3x,是增函数,aR在1,32求a 问题4:函数的单调性可以解决函数的那些常见问题?
最值、恒成立、证明不等式、解不等式等问题
问题5:如何求函数在某个闭区间上的最值?
求区间上的极值和端点值,比较大小得最值
二、与函数最值有关的恒成立问题
例2:已知fx=xlnx,gx=-x+ax-3对一切x0,,22fxgx恒成立,求实数a的取值范围思x0,,2fxgx恒成立路 x0,,2fx-gx0恒成立 分 问题1:若令h(x)=2f(x)-g(x),则如何用h(x)表达条件? 析
x0,,hx0恒成立
问题2 h:x 问题3:h(x)的最小值可直接求出?如果不可以请说明理由;
不可以直接求,原因:需要讨论单调性。
问题4:能不能分离参数a?如果能,需要注意什么?
能,需要注意参数a的系数的正负号问题。
构造x0,,hx03转换a2lnx+x+x
满足什么条件时,hx0恒成立hminx0时,hx0恒成立 小结1:恒成立问题转化成最值问题 参考答案 小结2:1.求参数范围时优先考虑:分离参数、构造函数、求最值;
2.注意等号;
小试牛刀已知函数fx=ax-lnx,若fx1在1,内恒成立,求a的范围案参考答
例3:已知函数fx=lnx+2x,gx=x2+x.当x>0时,求证fxgx 思路点拨
不等式证明问题 恒成立问题构造函数hxfxgx
三、构造函数证明不等式
函数最值问题证明hmaxx0挑战自我已知函数fx=lnx+2x,gx=ax2x.当a1时,求证fxgx
课堂小结
1.导数法确定函数单调区间;
2.用单调性解决恒成立和不等式问题;
3.构造、转换思想的应用;