高等数学B(上)试题1答案
一、判断题(每题2分,共16分)(在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”) (
× )1.两个无穷大量之和必定是无穷大量.(
× )2.闭区间上的间断函数必无界.(
√ )3.若f(x)在某点处连续,则f(x)在该点处必有极限.(
× )4.单调函数的导函数也是单调函数.(
√ )5.无穷小量与有界变量之积为无穷小量.
(
× )6.yf(x)在点x0连续,则yf(x)在点x0必定可导.(
× )7.若x0点为yf(x)的极值点,则必有f(x0)0.(
× )8.若f(x)g(x),则f(x)g(x).
二、填空题(每题3分,共24分) 1.设f(x1)x,则f(3)16.2.limxsinx21=x1。
x112x3.limxsinsinxxxxx1e2.4.曲线x6yy在(2,2)点切线的斜率为2323.5.设f(x0)A,则limh0f(x02h)f(x03h)=
h05A.6.设f(x)sinxcos31,(x0),当f(0)x1处有极大值.
时,f(x)在x0点连续.7.函数yx3x在x8.设f(x)为可导函数,f(1)1,F(x)f
三、计算题(每题6分,共42分)
12f(x),则F(1)x1.(n2)(n3)(n4) .3n5n(n2)(n3)(n4)解: lim
n5n31.求极限 lim234lim111
(3分) nnnn
1(3分)
xxcosx2.求极限 lim.x0xsinxxxcosx解:lim
x0xsinx1cosxxsinx
(2分) limx01cosx2sinxxcosx
(2分) limx0sinx
33.求y(x1)(x2)2(x3)3在(0,)内的导数.解:lnyln(x1)2ln(x2)3ln(x3),
y123yx1x2x3,
故y(x1)(x2)2(x3)3123x1x2x3
4.求不定积分2x11x2dx.解: 2x11x2dx
11x2d(1x2)11x2dx
ln(1x2)arctanxC
5.求不定积分xsinx2dx.解:xsinx2dx
12sinx2dx2
12cosx2C
6.求不定积分xsin2xdx.解: xsin2xdx
12xsin2xd(2x)12xdcos2x
12xcos2xcos2xdx
2分)
(2分)
(2分) (2分)
(3分)
(3分) (3分) (3分) (2分) (2分)(
11xcos2xsin2xC
(2分)
247.求函数ysinxcosx的导数.解:lnycosxlnsinx
(3分)
ysinxcosx1cot2xlnsinx
(3分)
四、解答题(共9分)
某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.解:设垂直于墙壁的边为x,所以平行于墙壁的边为202x,
所以,面积为Sx(202x)2x20x,
(3分)
由S4x200,知
(3分) 当宽x5时,长y202x10,
(3分) 面积最大S51050(平方米)。
五、证明题(共9分)
若在(,)上f(x)0,f(0)0.证明:F(x)增加.证明:F(x)2f(x)在区间(,0)和(0,)上单调xxf(x)f(x),令G(x)xf(x)f(x)
(2分) 2xG(0)0f(0)f(0)0,
(2分)
在区间(,0)上,G(x)xf(x)0,
(2分) 所以G(x)G(0)0,单调增加。
(2分) 在区间(0,)上,G(x)xf(x)0,
所以0G(0)G(x),单调增加。
(1分)