《数学分析I》第2次习题课教案
第二次习题课(函数极限、无穷小比较)
一、内容提要
1.函数极限定义,验证limx12.x
32.极限性质(唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式).e3xe2x
3.极限四则运算.求lim.x0x
4.收敛准则(迫敛准则、柯西收敛准则、归结原则).
5.无穷小与无穷大(无穷小比较、等价无穷小替换定理、渐近线的求法).6.重要极限与常用等价无穷小.
二、客观题
1.当x0时,下列四个无穷小中,()是比其它三个更高阶的无穷小.为什么?
2(A)x2;(B)1cosx;(C)x1;(D)tanxsinx
2.已知limsinx(cosxb)5,则a(),b().x0exa
23.当x0 时,xsinx 是 x 的().(A) 低阶无穷小;(B)高阶无穷小;(C)等价无穷小;(D)同阶无穷小但非等价无穷小.
4.设f(x)lim3nx,则它的连续区间是().n1nx
25.当x→0时下列变量中与x是等价无穷小量的有[].(A)sinx;(B)ln(1x);(C)x2 ;(D)2x2x.
x217.设f(x),则x0是f(x)的间断点,其类型是__________ __.x
三、解答题
1利用重要极限求下列函数极限
1xn1ann!x7(1)lim(二重),(2)设xn,求极限lim,(3)求极限limcosxx2, nnxx1x0nxn
cosx
1xx1解:limcosxxlim1(cosx1)x0x011cosx1cosx1xex0lime 1
22.利用等价无穷小的性质求下列极限:
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sinaxx2ln13xxsinx1(1)lim;(2)lim,b0;(3)lim.x2x0x0x0sinxtanbxe1
3.利用连续函数求下列极限:
ex1ln1ax2(1)lim;(2)lim(提示:令tex1);(3)lim13tanxx0x0x0xxcot2x.4.利用函数极限的归结原则求数列极限
212(1)limnsin,(2)lim12.xnnnnn
sinax5.设fxxx[x]x0x0,应怎样选取数a,才能fx使处处连续?
x31(axb)1,求常数a,和b。6.已知lim(极限分析) xx21
四、证明题
1.若f(x)为周期函数,且limf(x)0,试证明f(x)0,x(,).x
2.利用函数极限的归结原则证明limcosx不存在.x
3.设f(x)~g(x)(xx0),证明:f(x)g(x)o(f(x)).
4.设函数f在(0,)上满足方程f(2x)f(x),且limf(x)A,证明:f(x)A,x
x(0,).
f(x)limf(x)f(1),证明:5.设函数f在(0,)上满足方程f(x2)f(x),且limx0x
f(x)f(1),x(0,).