高中数学必修5新教学案：2.2等差数列(第2课时)（推荐）

必修5 2.2等差数列（学案）

（第2课时）

【知识要点】

1.等差中项的概念； 2.等差数列的性质; 3.等差数列的判定方法； 4.等差数列的常用设法.【学习要求】

1.理解等差中项的概念；

2.探索并掌握等差数列的性质，并会运用等差中项和等差数列的性质解题； 3.体会等差数列和一次函数的关系.

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 36 页～第39页）

1.等差中项

（1）如果a、A、b成等差数列，那么A叫做a与b的 .（2）如果an1anan2对任意正整数n都成立，则数列an是 .22.等差数列的性质

*（1）若an是等差数列且mnpq，（m,n,p,qN）则有_____________.(2) 若an是等差数列且mn2k，（m,n,kN）则有______________.

**(3) 思考：若an是等差数列且mpq，（m,p,qN）则有amapaq吗？

3.等差数列的设项技巧

（1）若三个数成等差数列，则这三个数一般可设为_________________，若四个数成等差数列，则这四个数一般可设为_____________________.【基础练习】

1.已知数列an的通项公式为anpnq,其中p,q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？

2.已知数列an是等差数列.（1） 2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？为什么？ （2）2anan1an1 (n>1) 是否成立？据此你能得出什么结论？

2anankank (n>k>0) 是否成立？据此你又能得出什么结论？ 【典型例题】

例1 等差数列an是递增数列，a2a416,a1a528,试求an.

变式1：等差数列an中，已知a2a3a10a1136,求a5a8.例2 已知：111yzzxxy,,成等差数列，求证,,也成等差数列.xyzxyz

变式2：若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是 .

例3 在等差数列an中，已知a2a5a89,a3a5a721,求数列的通项公式.

变式3：已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列.

1.在等差数列an中，a510,a1a2a33,则（ ）.（A）a12,d3 (B) a12,d3 (C) a13,d2 (D) a13,d2.2.若ab，两个等差数列a,x1,x2,b与a,y1,y2,y3,b的公差分别是d1,d2，则（ ）.（A）

d1 d23243 (B) (C) (D) 2334则m32,若am8，3.已知等差数列an的公差为dd0，且a3a6aa0131（ ）.（A）8 (B)4 (C)6 (D)12 4.数列an中， a12,a21，

211n2，则an= .anan1an15.48，a,b,c，-12是等差数列中的连续五项，则a,b,c的值依次为______________.6．已知等差数列an中，a3和a15是方程x6x10的两根，则

2=_________________.a7a8a9a10a 7．在等差数列an中,已知a2a3a4a534,a2a552,求公差d .8.三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求此三个数.

21.数列an满足a11,an1nnann1,2,，是常数.

（1）当a21时，求及a3的值；

（2）数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由.

必修5 2.2 等差数列（教案）

（第2课时）

【教学目标】

1．理解等差中项的概念.

2.探索并掌握等差数列的性质，并会运用等差中项和等差数列的性质解题.3.体会等差数列与一次函数的联系.

【重点】理解等差中项的概念，探索并掌握等差数列的性质，会用等差中项和性质解决一些简单的问题.【难点】正确运用等差数列的性质解题.

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 36 页～第39页）

1.等差中项

（1）如果a、A、b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.（2）如果an1anan2对任意正整数n都成立，则数列an是等差数列.2N*）则有amanapaq.

*2.等差数列的性质

,,,（1）若an是等差数列且mnpq，（mnpq(2) 若an是等差数列且mn2k，（m,n,kN）则有aman2ak.

*(3) 思考：若an是等差数列且mpq，（m,p,qN）则有amapaq吗？

分析：设等差数列an的首项为a1，公差为d，则ama1d，1mapaqa1a1pq1ddama1d.所以当首项和公差相等时成立，否则不成立.3.等差数列的设项技巧

（1）若三个数成等差数列，则这三个数一般可设为ad,a,ad，若四个数成等差数列，则这四个数一般可设为a3d,ad,ad,a3d.【基础练习】

1.已知数列an的通项公式为anpnq,其中p,q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？

解：a1pq，an1anpn1qpnqp.所以数列一定是等差数列.2.已知数列an是等差数列.

（1） 2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？为什么？ （2）2anan1an1 (n>1) 是否成立？据此你能得出什么结论？

2anankank (n>k>0) 是否成立？据此你又能得出什么结论？

解：（1）因为a5a3a7a5，所以2a5a3a7.同理有2a5a1a9也成立.（2）2anan1an1 (n>1)，此结论说明，在等差数列中，从第二项起，每一项（有限数列末项除外）都是它前后两项的等差中项；同样有2anankank (n>k>0)成立，结论说明在等差数列中，任取数列中的某项都是与它前后等距离两项的等差中项（保证前后两项存在）.【典型例题】

例1 等差数列an是递增数列，a2a416,a1a528,试求an.【审题要津】以性质mnpq知a2a4a1a5，运用方程思想求得a1和a5，则公差可求；也可都用a1和d表示，求解a1和d.解：a1a5a2a416，又a1a528，且数列为递增数列，a12,a514.由a514a14d24d,d3.an2n133n1.【方法总结】解题过程中运用性质进行了过度，而能用性质求解的题目只是一部分，使用基本量a1与d列方程的方法适用于任何与等差数列通项有关的题目，是通法.变式1：变式1：等差数列an中，已知a2a3a10a1136,求a5a8.解：a2a11a3a10a5a8.又a2a3a10a1136,2a5a836,a5a818.例2 已知：111yzzxxy,,成等差数列，求证,,也成等差数列.xyzxyz【审题要津】由于所求证的是三个数成等差数列，可用等差中项.证明：111211,,成等差数列， xyzyxz2zxzxyzxyyzxy11zxy=y2.

yxzxzxzxxzzxzxz 5

而2zxzxyzxyzx11.zx2.2yxzxzyxzyzzxxy成等差数列.,,xyz【方法总结】对于证三数a,b,c成等差数列，常用等差中项法，即证2bac即可.变式2 若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是3.解：m和2n的等差中项为4，m2n8.又2m和n的等差中项为5，2mn10，两式相加，得mn6.m与n的等差中项为

mn63.22例3 在等差数列an中，已知a2a5a89,a3a5a721,求数列的通项公式.【审题要津】要求通项公式，需要求出首项a1及公差d ，由直接求解很困难，这样促使我们转换思路.如果考虑到等差数a2a5a89,a3a5a172列的性质，注意到a2a82a5a3a7问题就好解了.解：a2a5a89,a3a5a721,又a2a8a3a72a5, a3a72a56,a3a77,解得：a31,a77或a37,a71， a31,d2或a37,d2.由ana3n3d，得an2n7或an2n13.【方法总结】等差数列的性质应牢记，在解题中应用非常广泛.变式3 已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列.解：设成等差数列的这四个数依次为a3d,ad,ad,a3d.

a3dadada3d26,由题设知

adad40.1313a,a,22解之得或这个数列为2，5，8，11或11，8，5，2.33d,d.22

1.在等差数列an中，a510,a1a2a33,则（ A ）.（A）a12,d3 (B) a12,d3 (C) a13,d2 (D) a13,d2.2.若ab，两个等差数列a,x1,x2,b与a,y1,y2,y3,b的公差分别是d1,d2，则（ C ）.（A）

d1 d23243 (B) (C) (D) 2334则m32,若am8，3.已知等差数列an的公差为dd0，且a3a6aa0131（ A ）.（A）8 (B)4 (C)6 (D)12 4.数列an中， a12,a21，

2211n2，则an=.

nanan1an15.48，a,b,c，-12是等差数列中的连续五项，则a,b,c的值依次为33,18,3.6．已知等差数列an中，a3和a15是方程x6x10的两根，则

2=15.a7a8a9a10a 7．在等差数列an中,已知a2a3a4a534,a2a552,求公差d .解：由a2a3a4a534，知a2a517，又a2a552.a24,a513或a213,a54.所以d3或d3.8.三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求此三个数.解：设三个数分别为ad,a,ad，由题意有adaad9,

aad6ad.解得：a3,d1.所以这三个数为4，3，2.

21.数列an满足a11,an1nnann1,2,，是常数.

（1）当a21时，求及a3的值；

（2）数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由.

2解：（1）由于an1nnann1,2,,且a11，所以当a21时，得

12，故3.从而a3222313.（2）数列an不可能为等差数列.证明如下：

2由a11，an1nnan得 a22,a362,a41262.若存在，使an为等差数列，则a3a2a2a1，即521， 解得=3.于是a2a112,a4a3116224.这与an为等差数列矛盾.所以，对任意，an都不可能是等差数列.

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