等比数列的通项公式(教案)

发布时间：2020-03-02 07:30:47 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

等比数列的通项公式（教案）

一、教学目标

1、掌握等比数列的通项公式，并能够用公式解决一些相关问题。

2、掌握由等比数列的通项公式推导出的相关结论。

二、教学重点、难点

各种结论的推导、理解、应用。

三、教学过程

1、导入

复习

等比数列的定义：

an1q nN* an*

通项公式：ana1qn1 nN

用归纳猜测的方法得到，用累积法证明



2、新知探索

例1 在等比数列an中，

（1）已知a13,q2,求a6；

（2）已知a320,a6160,求an.，分析（1）根据等比数列的通项公式，得 a6a1q596 （2）可以根据等比数列的通项公式列出一个二元一次方程组

2a15a3a1q20n1n

1解得

所以 aaq52n15q2a6a1q160问：上面的第（2）题中，可以不求a1而只需求得q就得到an吗? 分析在归纳猜测等比数列的通项公式时，有这样一系列式子：

a2a1q,a3a2qa1q2,a4a3qa2q2a1q3,

anan1qan2q2an3q3...a2qn2a1qn1

注意观察等式右边各项的下标与q的次方的和，可以发现，an的表达式中，始终满足

*anamqnm

n,mN

结论1

数列an是等比数列，则有anamqnm*

n,mN。

再来看一下例1中（2）的另一种解法：a6a3q3，所以q=2，所以ana1qn152n1习题2.3（1）P49

2、在等比数列an中，（1）已知a44,a9972,求an；

（2）已知a26,a6分析

（1）可以根据定义和结论1给出两种解法。

3a4a1q4方法一  8a9a1q97232,求an.27方法二 a9a4q5，所以q=3，所以ana4qn443n4。（2）a6a2q4，所以q2 322当q时,ana2qn26()n233

22当q时,ana2qn26()n233例2 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列。

分析

设此三个数为a2，a3，a4，公比为q，则由题意得243，a2，a3，a4，3成等比数列；

13243q4，所以得q

31当q时，a281，a327，a493

1当q时，a281，a327，a493故插入的三个数为81，27，9或-81，27，-9.问：观察一下例2中，当q时，这5个数分别为243，-81，27，-9，3，可以发现什么规律？

答：在等比数列中，当公比小于零时，数列中的奇数项同号，偶数项同号。习题2.3（1）P49

6、在等比数列an中，a10，a2a42a3a5a4a625，求a3a5的值。分析

13a3a4得a32a2a4，同理得a52a4a6 a2a3a10a30,a50a3a5022a2a42a3a5a4a6a32a3a5a5(a3a5)225

a3a55例3 已知等比数列an的通项公式为an32n，求首项和公比q.分析 a1326,a23212q2a22 a

1在例3中，等比数列的通项公式为an32n，是一个常数与指数式的乘积，因为数列是特殊的函数，故表示这个数列的各点(n,an)均在函数y32x的图像上。

问：如果一个数列an的通项公式为anaqn，其中a，q都是不为零的常数，那么这个数列一定是等比数列吗？

an1aqn分析

a1aq0，n1q，所以是等比数列。

anaq一般可以看作是等比数列通项公式的变形，ana1qn1a1na

qaqn，其中a1 qq结论2 等比数列an的通项公式均可写成anaqn（a，q为不等于零的常数）的形式。反之成立。

习题2.3（1）P49

5、在等比数列an中，

22（1）a5a1a9是否成立？a5a3a7是否成立？ 2（2）anan2an2（n>2）是否成立？

（3）你能得到更一般的结论吗？

2分析

（1）a1a9a1a1q8(a1q4)2a5 2，所以成立。 a3a7a1q2a1q6(a1q4)2a52（2）an2an2a1qn3a1qn1(a1qn1)2an，所以成立。

（3）从（1）（2）可以看出，等式两边各项的下表和相等，左边是同一项的平方，如果把左边换成两个不同项的乘积呢？

同时，类比等差数列中的一个结论：在等差数列an中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有amanapaq，可以猜测：在等比数列an中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有amanapaq.

12证

amana1qm1a1qna1qmn2，apaqa1qp1a1qq1a12qpq2

所以amanapaq.结论3 在等比数列an中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有amanapaq.习题

在等比数列an中，a1，a99是方程x10x160的两个实根，求a40a60.

2分析可以利用结论3.因为a1，a99是方程x10x160的两个实根，所以可得a1a99=16，所以a40a60=a1a99=16.在结论3中，当m=n或p=q时，可以发现此项总是处于另两项的中间。结论

4若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，且Gab。习题2.3（1）P49

7、（1）求45和80的等比中项；

（2）已知两个数k+9和6-k的等比中项是2k，求k.分析

（1）设此等比中项是G，则G=4580=3600，所以G=60.（2）(2k)2(k9)(6k)，化简，得5k3k540，所以k222218或k3

5四、归纳总结

本节课的主要内容是由等比数列的通项公式引深而得到的几个结论，要求学生能牢记并灵活运用。

五、布置作业

做与本节课内容相关的练习册。

六、教学反思

本节课的内容都是由等比数列的通项公式推导而得到。在上课的时候，我先是把等比数列的通项公式推导一遍，再由相关的例题或习题引出相关的结论，在讲解中引导学生思考，充分发挥学生的主体作用，使学生能够与我产生互动，调节课堂气氛，使学生积极思考。在上课的过程中，有些地方因缺乏经验不能很好地连贯在一起，这在以后的讲课中要注意。