艳阳教育高中数学辅导 数列通项公式的求法
类型1 递推公式为an1anf(n)
解法:把原递推公式转化为an1anf(n),利用累加法(逐差相加法)求解。 例1.已知数列an满足a1解:由条件知:an1an
12
,an1an
1n(n1)
1nn
2
,求an。 1n1
1nn
2
1n
分别令n1,2,3,,(n1),代入上式得(n1)个等式累加之,即
(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1) (1
12)(
1213)(1n
1314
)(
1n1
1n)
所以ana11
a1
1
2121
1n321n
,an
类型2 (1)递推公式为an1f(n)an 解法:把原递推公式转化为
an1an23
f(n),利用累乘法(逐商相乘法)求解。
nn1
例2.已知数列an满足a1解:由条件知之,即
a2a1
a3a2
a4a323
,an1an,求an。
an1an
nn1
,分别令n1,2,3,,(n1),代入上式得(n1)个等式累乘
anan123n
12
23
34
n1n
ana1
1n
又a1,an
(2).由an1f(n)an和a1确定的递推数列an的通项可如下求得:
由已知递推式有anf(n1)an1, an1f(n2)an2,,a2f(1)a1依次向前代入,得
anf(n1)f(n2)f(1)a1,
n1k1
0k1
简记为an(f(k))a1(n1,f(k)1),这就是叠(迭)代法的基本模式。 (3)递推式:an1panfn
解法:只需构造数列bn,消去fn带来的差异.
例3.设数列an:a14,an3an12n1,(n2),求an.
解:设bnanAnB,则anbnAnB,将an,an1代入递推式,得
bnAnB3bn1A(n1)B2n13bn1(3A2)n(3B3A1)
A1A3A2 B1B3B3A1
n1
n
取bnann1…(1)则bn3bn1,又b16,故bn63
n
代入(1)得an23n1
2
3说明:(1)若f(n)为n的二次式,则可设bnanAnBnC;(2)
本题也可由an3an12n1 ,an13an22(n1)1(n3)两式相减得anan13(an1an2)2转化为bnpbn1q求之.
类型3 递推公式为an1panq(其中p,q均为常数,(pq(p1)0))。 解法:把原递推公式转化为:an1tp(ant),其中t比数列求解。
例4.已知数列an中,a11,an12an3,求an.
解:设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)即an12antt3.
q1p
,再利用换元法转化为等
故递推公式为an132(an3),令bnan3,则b1a134,且
bn1bn
an13an3
2.
所以bn是以b14为首项,2为公比的等比数列,则bn42n12n1,所以
an2
n1
3.
类型4 递推公式为an1panqn(其中p,q均为常数,。(或(pq(p1)(q1)0))
an1panrq,其中p,q,r均为常数)
n
解法:该类型较类型3要复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同除以qn1,得:
an1q
n1
pq
anq
n
1q
引入辅助数列bn(其中bn例5.已知数列an中,a1解:在an1
anq56
n
),得:bn1
pq
bn
1q
再应用类型3的方法解决。
,an1
1n1
an(),求an。 32
1n12nn1
an()两边乘以2n1得:2an1(2an)1 323
22nn
令bn2an,则bn1bn1,应用例7解法得:bn32()
33
所以an
bn2
n1n1n
3()2()
23
类型5 递推公式为an2pan1qan(其中p,q均为常数)。 解法:先把原递推公式转化为an2san1t(an1san) 其中s,t满足
stpstq
,再应用前面类型3的方法求解。
23
13
例6.已知数列an中,a11,a22,an2解:由an2
23an1
13
an1an,求an。
an可转化为an2san1t(an1san)
即an2(st)an1stan
2
1sts1s3
3 1或
1tt1st
33
1s1s
这里不妨选用,则3,大家可以试一试)1(当然也可选用
tt1
3an2an1
13
公比为(an1an)an1an是以首项为a2a11,
13
的等比数列,
所以an1an()n1,应用类型1的方法,分别令n1,2,3,,(n1),代入上式得
10111n2
(n1)个等式累加之,即ana1()()()
333
74
34
13
1n1
1()
3
11
又a11,所以an
()
n1
。
类型6 递推公式为Sn与an的关系式。(或Snf(an)) S1(n1)
解法:利用an进行求解。
SnSn1(n2)
例7.已知数列an前n项和Sn4an
12
n2
.
(1)求an1与an的关系;(2)求通项公式an.解:(1)由Sn4an
12
n2
得:Sn14an1
12
n2
12
n
1于是Sn1Sn(anan1)(所以an1anan1
12
n1
1212
n1
) 12
n
an1an
.
n1
(2)应用类型4的方法,上式两边同乘以2n1得:2由a1S14a1
12
12
n
an12an2
n
a11.于是数列2an是以2为首项,2为公差的等差数列,
n2
n1
n
所以2an22(n1)2nan
1、通过分解常数,可转化为特殊数列{an+k}的形式求解。一般地,形如an1=p an+q(p≠1,pq≠0)型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法:设an1+k=p(an+k)与原式比较系数可得pk-k=q,即k=
qp1
12
,从而得等比数列{an+k}。
例
8、数列{an}满足a1=1,an=an1+1(n≥2),求数列{an}的通项公式。
解:由an=
12
an1+1(n≥2)得an-2=
12
12
(an1-2),而a1-2=1-2=-1,
∴数列{ an-2}是以∴an-2=-(
12
为公比,-1为首项的等比数列
12
)n1∴an=2-(
)n1
说明:这个题目通过对常数1的分解,进行适当组合,可得等比数列{ an-2},从而达到解决问题的目的。
2、通过分解系数,可转化为特殊数列{anan1}的形式求解。这种方法适用于
an2pan1qan型的递推式,通过对系数p的分解,可得等比数列{anan1}:设an2kan1h(an1kan),比较系数得hkp,hkq,可解得h,k。
例
9、数列an满足a12,a25,an23an12an=0,求数列{an}的通项公式。 分析:递推式an23an12an0中含相邻三项,因而考虑每相邻两项的组合,即把中间一项an1的系数分解成1和2,适当组合,可发现一个等比数列{anan1}。 解:由an23an12an0得an2an12(an1an)0 即an2an12(an1an),且a2a1523 ∴{an1an}是以2为公比,3为首项的等比数列
n1
∴an1an32
利用逐差法可得an1(an1an)(anan1)(a2a1)a1=32
n1
322
n
n2
322
=3(2
n1n2
21)2
=3
12
12
n
2
=321
n1
∴an321