数学教学设计案例
课题：圆与圆的位置关系 （人教A版《数学（必修2）》第四章4.2.2） 黄希权
一、教学目标
1、知识目标：使学生理解并掌握圆的圆的位置关系及其判定方法．
2、能力目标：（1）通过用代数的方法分析圆与圆的位置关系，使学生体验几何问题代数化的思想，深入了解解析几何的本质，同时培养学生分析问题、解决问题的能力，并进一步体会算法的思想．
（2）通过自主学习和探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，提高抽象概括、分析总结、数学表达等基本数学思维能力．
德育目标：通过师生互动、生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体
会成功的愉悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度．
二、教学重点与难点
判定两圆位置关系的方法及其应用．
三、教学方法与教学手段
教学方法：教师引导下的学生自主探究． 教学手段：教师制作多媒体课件．
四、教学过程
1、复习与引入
（1）提出问题：前面，我们学习了点到直线的距离、圆的标准方程、圆的一般方程以及直线与圆的位置关系，这节课我们来运用前面所学的知识解决“圆与圆的位置关系”。请同学们完成下列列问题（限时三分钟）。 1）圆心在求圆的方程； 2）求圆心在；
3）判断圆的位置关系。
学生完成后，师生共同得出下列结论： ①两点之间的距离公式； ②点到直线的距离公式； ③圆的标准方程与一般方程；
④直线与圆的位置关系的判断方法。
判断直线与圆的位置关系的方法是用解析几何的方法来处理平面几何问题。通过计算比较圆心到直线的距离与半径的比较来判断圆与直线的位置关系： 当圆相交；
当时，直线圆相切； 当时，直线圆相离。
(2)引入课题,引导学生用直线与圆位置关系的处理方法类比处理圆与圆的位置关系。
2、新课讲授
动态显示：圆与圆之间的运动，回顾圆与圆的五种位置关系。 提问：圆与圆又有哪些位置关系呢？怎样来判断呢？（学生自主探究，小组讨论，五分钟后，学生回答，老师补充。） 如果圆A的半径为，圆B的半径为，两圆心的圆心距为， ，那么 当； 当； 当时，； 当时，； 当时，。 总结：我们把这种通过比较圆心距与半径和、差来判断圆与圆的位置关系的方法叫做几何方法。
3)请学生总结判断圆与圆的位置关系的步骤。学生回答，老师补充，得出算法框图。
3、巩固练习
判断如下两圆位置关系（限时五分钟） （1）；.（2）； .（3）；.学生完成后,师生共同小结,按照算法的思路解题。算法第一步求两圆心坐标与半径，可根据标准方程得到圆心坐标与半径，也可用一般方程的公式来计算，之后依据算法步骤进行，判断两圆的位置关系。
4、问题探究
[问题1]两圆相交，你能求出交点吗？请回顾直线与圆相交时是怎样求交点的？仿照求出。在这个过程中，能否得到判断两圆位置关系的新方法？（限时五分钟）
学生完成后，在此基础上，师生共同分析得出用方程的思想判断两圆位置关系的步骤： 把两个圆的方程联立方程组； 两式相减消去二次项；
将所得代入一个圆的方程得到一个一元二次方程；
求一元二次方程的，通过来判断两圆位置关系。若>0,则两圆有两个交点；若=0，则两圆有一个交点；若
至此，我们学习了判断两圆位置关系的两种方法：几何方法和代数方法（即方程思想）。这两种方法各有什么优劣呢？
师生讨论后总结得到：几何方法从图形入手，直观，容易理解，但不能求出交点；代数方法能够求出交点，但是只知道两圆的交点的个数，不能准确地判断两圆的位置关系。 [问题2]求半径为，且与圆切于原点的圆的方程。（限时五分钟） 引导学生分析得出如下结果：
（1）此题关键在于求出圆心坐标，两圆相切时两圆圆心与切点在一条直线上，由此设圆心坐标为（）；
（2）由两圆相切分为内切和外切，用几何方法求解。
5、课堂小结
学生回答，老师总结完善。
本节课主要学习了圆与圆的位置关系及其判断方法。
（1）两圆的位置关系有：相离，外切，相交，内切和内含； （2）两圆位置关系的判断方法：几何方法和代数方法。
6、布置作业
课本P137练习，P140A组第
10、11两小题。 【教学反思】
本节课重点是研究两圆位置关系的两种判断方法，即几何方法与代数方法，并应用这些方法解决有关的实际问题。在教学上采用了探究性的学习方法，通过学生动手实践等手段使学生在做中学，自主探究、合作交流，当堂解决问题。
本节课一开始便提出了三个问题，即复习此节相关的知识点，通过问题解决，以旧引新，提出新的问题，以类比的方法研究圆与圆的位置关系，借助多媒体的大屏幕投影，以图形运动的手段向学生直观展现出两圆的五种位置关系的发生过程，化静态为动态，强化了学生对知识的记忆，让学生自主探讨出圆与圆位置关系的判断方法。所设置的巩固练习与问题探究的题目，有层次性、递进性，适合于不同层次的学生，在学生充分自主探究后教师与学生、学生与学生之间进行互动式的学习，让已经会的学生来教不会的学生促使学生相互交流、互相帮助达到了“兵教兵”的目的。在此，着重让学生通过一定量的训练，应用所学的知识解决问题，从而加深理解课堂上所学的重难点，达到了当堂清的目的，以督促学生自主学习、强化学习，从而最大程度的提高了学生的自主探究能力，养成自主思考、合作交流的学习惯，让学生受益终生。
