教学设计案例

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高考中的线性规划问题探究

温州市第二十二中学 刘蓉蓉

一、内容和内容解析

线性规划问题从2004年进入高考后,逐步成为高考的一个热点,命题多以选择题、填空题的形式出现。随着这部分内容研究的深入，线性规划的试题从单

一、静态的线性规划发展到较全面、动态的线性规划问题。

本节课作为一节高三线性规划问题的复习课把重点放在对含参数的线性规划问题的讨论与解决，及数形结合思想、分类讨论思想和转化化归思想的培养和渗透。

二、目标和目标解析

1.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，这是进一步顺利解决线性规划问题的前提条件。

2.掌握简单二元线性规划问题的解决方法，以考查线性目标函数的最值为重点，并进一步涉及代数式的其他几何意义（如斜率、距离、面积等）。

3.掌握含参数的线性规划问题的解决方法，从中体会数形结合思想、分类讨论思想和转化化归思想，以此提高学生分析问题、解决问题的能力。

三、教学问题诊断分析

大部分学生对简单的线性目标函数的最值问题已能熟练掌握和运用，但是对含参数的线性规划问题，由于平时接触不多，而且含参数就意味着该问题是运动变化的，解决的过程中必将遇到很大的困难。如何突破这个难点，就是本节课要去重点设计和安排的。

四、教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，根据问题诊断分析，将采取以下两个方面的教学支持条件：

1．本节课借助几何画板软件帮助学生更好地体验线性规划问题中的运动变化的过程，从而有利于含参数问题的顺利解决。

2．为了让学生更好的参与到整个课堂教学活动中来，突出学生的主体地位，可以利用教室的实物投影将部分有代表性的学生的推导过程或者解题过程展现出来，从而给学生提供一个展示自我的平台，同时也促进师生、生生间的交流和对话。

五、教学过程设计 一．复习旧知，巩固提高

xy2，引例：（09浙江高考题）若实数x，y满足不等式组2xy4，则2x3y

xy0，的最小值是__________.设计意图：复习巩固线性目标函数的最值问题的求法，同时也让学生近距离接触高考题，了解高考的动态和难易程度。

师生活动：学生独立完成解题过程。教师巡视并在一旁指导，选取学生当中有代表性的解法通过实物投影展示出来。 【解法一】

画出其平面区域，作直线l0:2x3y0，将其

2平移，可知直线yxZ过点A2,0时，

32x3ymin4

【解法二】

采用特殊值法，将顶点A(2,0),B(4,4),C(1,1)分别代入目标函数，可知在点A2,0时，2x3ymin4

思考：你能结合向量的数量积及几何意义找到其他解法吗？

设计意图：通过用向量法求线性目标函数的最值，加强知识与知识之间的联系，拓宽解题的思路。

师生活动：教师启发引导学生寻找解题思路。 【解法三】

设OM(2,3),OP(x,y)

Z2x3yOMOP|OM||OP|cos13|OP|cos

故2x3y的最小值转化为确定OP在OM方向上的投影|OP|cos的最小值。

2 所以结合图形，在点A时，ZminOMOA(2,3)(2,0)4

探究：在可行域不变的前提下，你还会出什么问题？

设计意图：通过设置这个探究问题，能促使学生去整理归纳这部分的知识，同时复习如斜率、距离、面积等涉及代数式的其他几何意义的问题，并培养了学生提出问题的能力。

师生活动：学生分小组讨论。请学生代表口述，并简要说明解题思路。 学生1：求x学生2：求2y2的取值范围

y的取值范围 x学生3：求2x3y的最小值 学生4：求ABC的面积

小结：抓住目标函数的几何意义。

二．化静为动，突破提高

xy2，例1.若实数x，y满足约束条件2xy4，目标函数zaxy仅在点（2，0）

xy0，处取得最小值，求a的取值范围。

设计意图：此题属于目标函数中含有参数的线性规划问题，是由09陕西高考题改编，保留了引例中的可行域，从而保证学生有充足的时间思考问题的核心。

师生活动：因为这个问题是本节课的重点和难点，故要预留充分多的时间给学生思考。教师巡视指导学生，请解法典型的学生口述解题过程，同时借助几何画板演示运动变化的过程，帮助学生理解。 【解法一】

3 在A(2,0)处，目标函数z=2a 在B(4,4)处, 目标函数z=4a+4 在C(1,1)处，目标函数z=a+1 目标函数zaxy仅在点（2，0）处取得最小值

2a4a4，解得2a1 2aa1【解法二】

目标函数可化为yaxz，结合图形可知 当a0时，显然成立

当a0时，akAC10a1 当a0时，akAB22a0 综上得 2a1 【解法三】

问题转化为当直线l:axyz0经过点（2，0）时，点B,C在直线的同侧，此时直线l:axy2a0

要使点B,C在直线的同侧，则(4a42a)(a12a)0 即(a2)(a1)0，解得2a1

评注：解法一简单易行，但解法不严谨不适用于解答题；解法二对实数a进行分类讨论，容易讨论不全；解法三联系点与直线的位置关系，巧妙的解决了此题，但是不容易想到。

小结：灵活运用数形结合思想、分类讨论思想和转化化归思想。

xy2，变式1：若实数x，y满足约束条件2xy4，目标函数zaxy取最小值的最

xy0，优解有无穷多个，则a＝

xy2，变式2：设x,y满足约束条件2xy4，若目标函数zaxby (a＞0,b＞0)的最

xy0，41大值为4，则的最小值为 ab设计意图：变式1是对例1的补充，通过这一变式让学生掌握线性规划问题的最优解的各种情况。变式2是对例1的延续，本题改编自09年山东的高考题，目标函数中出现了两个参数，同时还与基本不等式相结合，能很好地考查学生综合应用的能力。

师生活动：由学生各自独立完成，教师巡视，及时了解学生对此类问题的掌握情况，从而有针对性的加以辅导。

xym，例2.若实数x，y满足不等式组2xy4，如果目标函数z2x3y的最小值是4，

xy0，则实数m= 设计意图：此题属于可行域中含有参数的线性规划问题，是由08陕西高考题改编，保留了引例中的目标函数，方便学生进行思考。

师生活动：鼓励学生相互间讨论，合作探究，同时借助几何画板演示运动变化的过程，找到问题的解决方案。 【解析】

整个可行域是一个随着m变化而变化的三角形，求目标函数z2x3y的

2z最小值即求直线yx的纵截距

33的最小值。

由图可知直线2xy4与直线xym的交点出取得最小值。

5 由4m2m42xy4,得交点A() 33xym4m2m434，解得m=2 33代入2x3y4得2评注：解题关键是抓住问题中不变的量，变动为静来破解。

三．练习反馈，归纳小结 练一练：

x2y501.（07浙江卷）设m为实数，若(x,y)3x0{(x,y)|x2y225}，

mxy0则m的取值范围是_________。 x0,2.（08浙江卷）若a0,b0，且当y0,时，恒有axby1，则以a,b为

xy1坐标点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于____________。

设计意图：巩固本节课的学习内容，同时也检测出学生的掌握应用情况。另外，通过这一练习可以让学生及时了解和把握近几年的浙江高考卷对线性规划问题的考查内容和变化趋势。

想一想：通过这节课的学习，你有什么收获？

1.抓住目标函数的几何意义

2.遇到含参数的问题，要变动为静，以静制动

3.在解题中要灵活运用数形结合思想、分类讨论思想和转化化归思想 ……

设计意图：促使学生整理归纳所学，将其内化。 师生活动：由学生自由发言，教师适当引导。

【问题研讨】

1.对于线性目标函数的最值问题的解法有很多，除了本课中提到的三种解法外，还可以转化为点到直线的距离，或是变化角度，作出z0y的可行域，又或者是利用增元代换等等。到底哪些方法要介绍，介绍几种方法为宜，还有待进一步商榷。

6 2.本课中设置了一个探究问题：“在可行域不变的前提下，你还会出什么问题？”这是一个开放性的问题，如果让学生一直探究下去，那势必会影响本节课的整个设计安排。但是如果学生能进一步编出含参数的问题，那学生从中收获到的肯定比现在要更多。因此，如何把握开放题的收和放，还需要在今后的教学中认真去思考。

3.对于高三复习课，在日常教学过程中大多时候采用两种形式，一是先复习知识点再讲解典型例题，一是由典型例题回顾归纳知识点。到底怎样的复习模式更能提高课堂复习的效率，更能适应学生的发展需要，还要在教学实践过程中摸索和探究。

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