二次三项式的因式分解(用公式法) 教学过程 (一)复习
1．用十字相乘法分解下列各式：
(1)x2－x－2；(2)2x2－3x－2；(3)x2－2x－2．
(3)用十字相乘法就不容易了．
2．对于用十字相乘法分解因式较困难的题目，促使我们寻求其他方法．如同我们在解二次方程时，用直接开平方法不易解决时，人们发明了配方法．把原方程变形为
(x+m)2=n(n≥0) 如果把n移到等号左边，出现(x+m)2－n=0左边可变形为平方差形式
(二)新课
1．我们把ax2+bx+c(a≠0)叫做x的二次三项式．这个式子的x的最高次项是2，并且有一次项和常数项，共有三项．
2．请同学说出x的二次三项式ax2+bx+c (a≠0)和x的一元二次方程x2+bx+c=0(a≠0)形式上有什么不同？(二次三项式是代数式，没有等号，方程有等号) 3．在解方程2x2－4x－6=0①时，可把各项的公因数约去，化为x2－2x－3=0②然后再解方程②，这个做法对不对？根据什么算理？(对，在方程两边都除以同一个不为零的数，得到的方程与原方程同解，即两个方程的解完全相同) 4．在因式分解2x2－4x－6③时，先约去各项系数2，化为x2－2x－3④再分解因式，即2x2－4x－6=x2－2x－3=(x－3)(x+1)，这个做法对不对，根据什么算理？(不对，因为因式分解是“恒等变形”，即只是式子的形式改变，但式子的值不能变．我们来检验：当x=1时，③式的值等于－8，而④式的值是－4，③式到④式不是恒等变形，所以不能约去各项系数2) 例1 用配方法把x2－2x－2分解因式
分析：对x2－2x再添一次项系数一半的平方(注意：因为因式分解是恒等变形，所以必须同时减去一次项系数一半的平方)．
例2 分解因式：2x2－8x－6．
分析：把二次项系数化为1，便于配方，但不能各项除以2，而是各项提取公因数2．
解：2x2－8x－6=2(x2－4x－3)=2[(x2－4x+4)－4－3]=2[(x－2)2－7]
我们知道在解一元二次方程时，配方法的步骤是固定模式的，即“千题一律”．它的一般化的固定模式就是解一元二次方程的求根公式法，由此推想，用配方法因式分解必定与方程的根有关系．这个关系是什么？我们从例2的因式分解来研究．
与二次三项式2x2－8x－6对应的一元二次方程是2x2－8x－6=0，这个方程的两根
我们来研究⑤式与两根的关系，可见是
三项式等于二次项系数乘以x减去一个根的差，再乘以x减去另一个根所得的差．这个结论的证明如下：
注意
1．因式分解是恒等变形，所以公式⑥中的因式a千万不能忽略． 2．在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用求根公式求出方程ax2+bx+c= 0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)．
(三)课堂练习把下列各式分解因式
1．4x2 +8x－1； 2．2x2－8xy +5y2．
把4分解为2×2，目的是去掉每个括号内的分母． 解法2：方程2x2－8xy+5y2=0的根是
本题是关于x的二次三项式，所以应把y看作常数． (四)小结
1．对于不易用十字相乘法分解因式的二次三项式ax2+bx+c宜用一元二次方程的求根公式法分解因式．
2．用求根公式法分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，其程序是固定的，即： (1)第一步：令ax2+bx+c=0①；
(2)第二步：求出方程①的两个根x1，x2；
(3)写出公式ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)．并把x1，x2的值代入公式中的x1，x2处．
(五)作业
1．把4x2+8x+1分解因式，其结果是 [
]．
2．把2x2－4xy－3y2分解因式，其结果是 [ ]．
3．在实数范围内分解因式： (1)6y2－3y+6； (2) 10p2－p－3； (3)3x2y2－10xy+7； (4)15x2+16xy－15y2； (5)x2－x－1； (6)3x2+2x－3；
(9)6x2+x－15； (10)42x2－85xy+42y2；
4．分解因式：
(1)(m2－m)x2－(2m2－1)x+m(m+1)； (2)(x2+x)2－2x(x+1)－3；
作业的答案或提示 1．选(C)． 2．选(B)．
3．(1)(2y－3)(3y－2)； (2)(2p+1)(5p－3)； (3)(3xy－7)(xy－1)； (4)(3x+5y)(5x－3y)；
(9)(2x－3)(3x+5)； (10)(6x－7y)(7x－6y)；
(12)(2x－9y)(7x－2y)．
4．(1)[mx－(m+1)][(m－1)x－m]；
课堂教学设计说明
1．为了说明公式法分解二次三项式的必要性，在复习旧知识时，安排了三个二次三项式因式分解的题目让学生练习，其中第三个x2－2x－2用十字相乘法不容易分解，于是促使寻求新的分解方法．
2．在引入求根公式法分解因式之前，先从配方法入手，进而转入求根公式法并对此法作出了证明．
3．针对初学者在分解ax2+bx+c时常犯漏写因数a的错误，在教学设计中安排了“恒等变形”与“方程同解变形”的内容让学生辨别，从弄清概念着手，杜绝错误．
