函数极限连续试题

····· ········密············································订·········线·································装·····系·····封················· ··················__ __：_ ：___： ___________名______________业_姓_____ _号_____ _：：___级_ ____别年专______学

· ·····密·········· ·············································卷···线·································阅·······封········································

函数 极限 连续试题

1.

设f(x)

求

(1) f(x)的定义域; (2) 12f[f(x)]2

; (3) lim

f(x)x0x

.

2.试证明函数f(x)x3ex2

为R上的有界函数.

3.求lim1nnln[(11n)(12

n)

(1nn

)].

4.设在平面区域D上函数f(x,y)对于变量x连续，对于变量y 的一阶偏导数有界，试证：f(x,y)在D上连续.

（共12页）第1页

5.求lim(

2x3x4x1

x03

)x.

1(1x)x

6.求lim[

x0e]x.

7.设f(x)在

[1,1]上连续，恒不为0，求x0

8.求lim(n!)n2

n

.

9.设x

axb)2,试确定常数a和b的值.

（共12页）第2页

10.设函数f(x)=limx2n1axb

n1x

2n连续，求常数a,b的值.

11.若limsin6xxf(x)6f(xx0x30，求lim)

x0x2

.

12.设lim

axsinx

x0c(c0),求常数a,b,c的值.xln(1t3)btdt

13.判断题：当x0时，x

1cost2

0t

是关于x的4阶无穷小量.

114.设a为常数，且lim(

ex

x0

2aarctan1

x

)存在，求a的值，并计算极限.

ex1

（共12页）第3页

215.设lim[

ln(1ex

)x0

1a[x]]存在，且aN，求a的值，并计算极限.

ln(1ex

)

16.

求n(a0).

n

17.

求limn2(a0,b0).

ln(1

f(x)

18.设lim

)

x0

3x1

=5，求limf(x)x0x2.

19.设f(x)为三次多项式，且xlim

f(x)f(x)f2ax2axlim4ax4a1，求xlim(x)

3ax3a

的值.

（共12页）第4页

24.设连续函数f(x)在[1,)上是正的，单调递减的，且

dnf(k)f(x)dx，试证明：数列dn收敛.

n

n

20.设x1,求lim(1x)(1x2)(1x4n

n

)

(1x2).

21.试证明：(1) （1n1111+n)1





为递减数列；(2) n1ln(1n)n,n1,2,3,.

limnn

22.求n3nn!

.

23.已知数列：a1

112，a222

，a32

，

22

a42

12

1的极限存在，求此极限.

22

（共12页）第5页

k1

25.设数列xn，x0a，x1b，求limn

xn.

26.求lima2n

n1a2n

.

28.

求limx

.

x1

n2

(xn1xn2)(n2)，

（共12页）第6页

29.设函数f(x)是周期为T(T0)的连续函数，且f(x)0,试证：

xlim1xx0f(t)dt1TT0f(t)dt.

30.求lim1

1n0

x.

en

(1x)n

n

31.设lim(

1x)x

tetxx

dt，求的值.

32.判断函数f(x)limxn1

nxn1

的连续性.

33.

判断函数f(x.

（共12页）第7页

34.设f(x)为二次连续可微函数，f(0)=0，定义函数

g(x)

f(0)当x0，试证：g(x)f(x)

x当x0连续可微.

35.设f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)，对x(a,b)，

g(x)lim

f(xt)f(xt)

t0

t

存在，试证：存在c(a,b),使g(c)0.

36.若f(x)为[a,b]上定义的连续函数，如果b

a[f(x)]2dx0，试证：

f(x)0(axb).

37.设函数f(x)在x=0处连续，且lim

f(2x)f(x)

x0

x

A，试证：f(0)=A.

（共12页）第8页

38.设f(x)在[a,b]上二阶可导，过点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线与曲线

yf(x)相交于C(c,f(c))，其中acb.试证：至少存在一点(a,b)，

使得f()=0.

39.设f(x)，g(x)，h(x)在axb上连续，在(a,b)内可导，试证：

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一点(a,b)，使得f(b)

g(b)h(b)=0,并说明拉格朗日中值 f()g()h()

定理和柯西中值定理是它的特例.

40.试证明函数ysgnx在x[1,1]上不存在原函数.

41.

设函数f(x)=nf(x)的不可导点的个数.

（共12页）第9页

42.

设f(x(0x



),求f(x).

43.

设xn1(n1,2,3,)，0x13，试说明数列xn的极限存在.

x0

44.求函数f(x)=sin1

x21

x(2x)的间断点.

2cosx

x0

45.求曲线

3

的斜渐近线.

（共12页）第10页

1

46.求数列nn的最小项.



50.求lim

x.

x0

sin1

x

47.求limtan(tanx)sin(sinx)

x0tanxsinx

.

48.设f(x)在[0,2]上连续，在（0,2)内有二阶导数，且lim

f(x)

x1(x1)2

1， 

f(x)dxf(2)，试证：存在(0,2)，使得f()=(1+1)f().

49.试证：若函数f(x)在点a处连续，则函数f+(x)=maxf(x),0与

f-(x)=minf(x),0在点a处都连续.

（共12页）第11页

12页）第12页

（共

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