多元函数的极限与连续习题

多元函数的极限与连续习题

1.用极限定义证明:lim(3x2y)14。 x2y1

2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。

（1）f(x,y)xy； xy

(2)f(x,y)(xy)sisi； 1

x1y

x3y3

(3)f(x,y)2； xy

1(4)f(x,y)ysi。 x

3.求极限（1）lim(xy)x0y022x2y2；

（2）limx2y2

xy122x0y0；

（3）lim(xy)sinx0y01； 22xy

sin(x2y2)（4）lim。 22x0xyy0

ln(1xy)4.试证明函数f(x,y)xy

x0x0在其定义域上是连续的。

1.用极限定义证明:lim(3x2y)14。

x2y1

因为x2,y1，不妨设|x2|0,|y1|0， 有|x2||x24||x2|45，|3x2y14||3x122y2|

3|x2||x2|2|y1|15|x2|2|y1|15[|x2||y1|]

0，要使不等式

|3x2y14|15[|x2||y1|]成立 取min{



30

,1}，于是

0， min{



30

,1}0，(x,y)：|x2|,|y1|

且 (x,y)(2,1)，有|3x2y14|，即证。

2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）f(x,y)

xy

； xy

xyxy

limli1， ，limlim1

y0x0xyx0y0xy

二重极限不存在。

xyxy1

或lim0 ，li。

x0xyx0xy3

yx

y2x

(2)f(x,y)(xy)sin

11sin； xy

11

0|(xy)sinsin||x||y|

xy

可以证明lim(|x||y|)0所以limf(x,y)0。

x0y0

x0y0

当x

111

，y0时，f(x,y)(xy)sinsin极限不存在， kxy

11

因此limlim(xy)sisi不存在，

x0y0xy

lim(xy)sisi不存在。 同理lim

y0x0

x1y

x3y3

(3)f(x,y)2；

xy

2x3

limf(x,y)lim0， x0x0xx

yx

当 P(x, y)沿着yxx趋于（0,0）时有

23

yxx

x3(x3x2)3limf(x,y)li21， x0x0xx3x223

x0y0

所以 limf(x,y)不存在；

limlimf(x,y)0，limlimf(x,y)0。

x0y0

y0x0

(4)f(x,y)ysin

1 x

0|ysin||y|

x

∴limf(x,y)0，

x0y0

11

limlimysi0，limlimysi不存在。 x0y0y0x0xx

3.求极限（1）lim(xy)

x0

y0

2x2y2

；

(x2y2)2

0|xyln(xy)||ln(x2y2)|，

22

(x2y2)2t

ln(x2y2)limlnt0，又 lim

x0t044

y0

∴lim(xy)

x0

y0

2x2y2

e

limx2y2ln(x2y2)(x,y)(0,0)

1。

（2）lim

x2y2xy1

x0y0

；

(x2y2)(x2y21)lim2。lim2222x001xy1xy1x

y0y0

x2y2

（3）lim(xy)sin

x0y0

；22

xy

||xy|，|(xy)sin2

xy

而lim(xy)0

x0

y0

故lim(xy)si20。 2x0xyy0

sin(x2y2)

（4）lim。 22x0xyy0

令xrcos，yrsin，(x,y)(0,0)时，r0，

sin(x2y2)sinr2

limlim21。 22x0r0rxyy0

ln(1xy)

4.试证明函数f(x,y)x

y

x0x0

在其定义域上是连续的。

证明：显然f(x, y)的定义域是xy>-1.

当x0时，f(x, y)是连续的， 只需证明其作为二元函数在y轴的每一点上连续。以下分两种情况讨论。 （1） 在原点（0,0）处

f(0, 0)=0,当x0时

0ln(1xy)1f(x,y)

xyxyln(1xy)

由于limln1(xy)

x0

y0

1xy

y0

,

y0

1

1xy

不妨设|ln1(xy)从而0， 取

xy

1|1，|ln1(xy)|2，

，当0|x|,0|y|时，



ln(1xy)

0||yln(1xy)xy||

x

|y||ln(1xy)|2|y|，

于是，无论x0,x0，当|x|,|y|时，都有limf(x,y)0f(0,0)

x0y0

1xy

（2） 在(0,)处。（0)

xy

当x0时， |f(x,y)f(0,)||yln(1xy)

1xy

|

1(xy)|y(ln1)(y)| 1||y|

|y||ln(1xy)

xy

当x=0时,|f(x,y)f(0,)||y|,

1xy

注意到，当0时limln1(xy)

x0

y1，

于是，无论x0,x0， 当0时lim|f(x,y)f(0,)|0，

x0y即 f(x, y)在在(0,)处连续， 综上，f(x, y)在其定义域上连续。

多元函数的极限与连续

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函数极限与连续习题(含答案)

一、多元函数、极限与连续解读

函数极限与连续

第十六章 多元函数的极限与连续

第十六章多元函数的极限与连续

第十四讲多元函数的极限与连续

第1次 多元函数的极限与连续练习题

第5讲多元函数极限(续)与连续

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