函数、极限与连续
一、基本题
1、函数f
xln6x的连续区间ax2x2x
12、设函数fx,若limfx0,且limfx存在,则 x1x1x12axb
a-1,b
41sin2x
3、limx2sin-2x0xx
4、n2x4/(√2-3)k
5、lim1e2,则k=-1xx
x2axb5,则a3,b-
46、设limx1x
17、设函数fx2xsinx1,gxkx,当x0时,fx~gx,则k
ex2x0
8、函数fx2x10x1的定义域R ;连续区间(-oo,1),(1,+oo)3x1x1
1xsinx
a
9、函数fx1xsinbxx0x0在x0处连续,则a1,b1x0
10、函数fxe
1e11
x1x的间断点为x=0,类型是 跳跃间断点。
11、fx,yx2y2xycosx,则f0,1ft,1y
12、fxy,xyx2y2,则fx,yy^2+x
13、函数zln
2x2y2的定义域为 {(x,y)|1=0}
14、1e2xylim-12;x,y0,0x2y2exyx,y0,01x2y2x2y2lim
3-12;lim12xyx1
5、x0
y0
二、计算题
1、求下列极限
(1)0
0型:
1)limexex2x
x0xsin3x;=0
2) limexx
1x0x1e2x; =-1/
43) limtan3xln12x
x01cos2x;=-
34)limtanxsinx
x0xsin2x2;=1/4
(2)
型:
1)lnsin3x
xlim0lnsin2x=1
lim2n13n1
2) n2n3n=3
(3)型:
1)lim11
x0xex1=1/
22)lim
x111x1lnx=-1/2
3) xlimarccosx=π/3
4)xlimx=-1 x0y2
(4)0型:
1)limxarctanx=1x2
2) limx1tanx1x2=-π/2
(5)1型:
21)lim1xx3x2=e^(-6)
4x23x12)limx3x2
3) lim12xx0 =e^(-4) =e^(2/5) 1sin5x
14)limcos=e^(-1/2) xx
(6)00型:1)limxsinx=1 x0x2
方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)
公式:f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))
(7)型:1)limx20x
x1x=2
同上
2、已知:fxsin2xln13x2limfx,求fx x0x
f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+
2(方法:两边limf(x)x->0)
x2x
3、求函数fx的间断点,并判定类型。 2xx1驻点x=0,x=1,x=-
11)当x=0+时,f(x)=-1;当x=0-时,f(x)=1 跳跃间断点
2)当x=1时,f(x)=oo;第二类间断点
3)当x=-1时,f(x)=1/2;但f(-1)不存在,所以x=-1是可去间断点
sin2xx
4、设函数fxa
ln1bx1e2xx0x0在定义域内连续,求a与b x0
Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-
45、证明方程:x33x29x10在0,1内有唯一的实根。 (存在性与唯一性) 证明:
1)存在性:
令f(x)=x^3-3x^2-9x+1
f(0)=1>0;
f(1)=-10
因为f(0).f(1)
2)唯一性
f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)
所以f(x)在(0,1)内为单调减函数
故x33x29x10在0,1内有唯一的实根。