第5讲多元函数极限(续)与连续

《数学分析II》第5讲教案

第5讲二元函数的极限（续）与连续性

讲授内容

一、二元函数的极限性质

1,当0yx2,例1 二元函数f(x,y)x时，如图16－7所示，当(x,y)沿任何直线

0,其余部分.

趋于原点时，相应的f

(x

,y)都趋于零，但这并不表明此函数在(x,y)(0,0)时极限存

在．因为当点(x,y)沿抛物线ykx(0k1)趋于点(0,0)时，f(x,y)将趋于1。所

以lim

(x,y)(0,0)2f(x,y).不存在。

2x3y

22例2 设f(x,y)22.证明(x,y)(0,0)limf(x,y) 证：因为2x3y4(xy)，对任给正数M，取2

212M,就有

xy

22



12M

.由此推得2x3y

22



1M

,即

12x3y

M.这就证得结果（该函数在原点附近的图象参见图16－8）.

二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法相仿，特别把f(x,y)看作点函数fP时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再一一列出．

二、累次极限

在上一段所研究的极限

lim

(x,y)(x0,y0)

两个自变量x,y同时以任何方式趋于x0,y0。这种极限也称f(x,y)中，

为重极限。在这一段里，我们要考察x与y依一定的先后顺序相继趋于x0与y0时f的极限，这种极限称为累次极限．我们先通过以下例题来认识累次极限问题.例3设f(x,y)

xyxy

.由例1已经知道(x,y)(0,0)时f的重极限不存在.

但当y0时，有lim

x0

xyxy

0.从而有limlim

xyxy

y0x0

0.

同理可得limlim

x0y0

xyxy

0.即f的两个累次极限都存在而且相等，但是f的重极限不存在．

定义 若对每一个yy0，存在极限limf(x,y),由于此极限一般与y有关，因此记作

xx0

ylimf(x,y),而且进一步存在极限Alimy.则称此极限为二元函数f先对xx0后对

xx0

xEx

yy0

yy0的累次极限，并记作Alimlimf(x,y).

yy0xx0

类似地可以定义先对y后对x的累次极限：Blimlimf(x,y).

xx0yy0

注：累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系．举例子来说明这一点．例4 设f(x,y)

xyxy

xy

2

2，它关于原点的两个累次极限分别为

limlim

y0x0

xyxy

xyxyxy

xy

lim

yyyxxx

y0

lim(y1)1.

y0

limlim

x0y0

lim

x0

lim(1x)1.

x0

当沿斜率不同的直线ymx,x,y0,0时，容易验证所得极限也不同。因此该函数的重极限不存在.

例5 设fx,yxsin

1y

1x

ysin这是因为对任何y0，当x0,它关于原点的两个累次都不存在。

时f的第二项不存在极限。同理，对任何x0，当y0时f的第一项也不存在极限。但是由于

1y

1x

xsin故f的重极限存在，且

lim

ysinxy,

x,y0,0

fx,y0.

fx,y与累次极限limlimfx,y都存在，则它们一定相等。

yx0xy0



定理16.6 若重极限证：设

lim

x,yx0,yo

lim

x,yx0,yo

fx,yA,则对任给的正数，总存在正数，使得当Px,yU

P0;时，

有fx,yA.(2)

另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式0xx0 的x，存在极限limfx,yx.

yy0

回到不等式（2），让其中yy0，可得xA.故得limxA，即

xx0

xx0yy0

limlimfx,y

x,yx0,yo

lim

fx,yA.

lim

推论1 若累次极限limlimfx,y,limlimfx,y 和重极限

xx0yy0

yy0xx0

x,yx0,yo

fx,y都存在，则三者相等。

lim

fx,y必不

推论2 若累次极限limlimfx,y,与limlimfx,y存在但不相等，则重极限

xx0yy0

yy0xx0

x,yx0,yo

存在。

三、二元函数的连续性

定义 设f为定义在点集DR2上的二元函数．P0D，若limfPfP0.则称f点P0连续。

PP0

xy

,(x,y)(0,0),

例8设f(x,y)x2y2， 函数f(x,y)在原点不连续。（因为极限不存在）

m,(x,y)(0,0),

x2y2,(x,y)(0,0),

例9设f(x,y)x2y2 讨论函数f(x,y)的连续性.m,(x,y)(0,0),（x0,y0)(0,0)时，由于解：当

lim

f(x,y)

x0y0

0

2220

(x,y)(x0,y0)

xy

fx0,y0,因此f连续.

而lim

(x,y)(0,0)

f(x,y) 

(x,y)(0,0)

limxy

xyxy

0,故当f(0,0)m0时，f在原点连续.

若二元函数在某一点连续，则与一元函数一样，可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性以及相应的有理运算的各个法则．下面证明二元复合函数的连续性定理，其余留给读者自己去证明．

定理16.7(复合函数的连续性)设函数ux,y和vx,y在xy平面上点P0x0,y0的某邻域内

有定义，并在点P0连续；函数fu,v在uv平面上点Q0u0,v0的某邻域内有定义，并在点Q0连续，其中

u0x0,y0，v0x0,y0.则复合函数gx,yf(x,y),(x,y)在点P0也连续．

四、有界闭域上连续函数的性质

定理16.8(有界性与最大、最小值定理)若函数f在有界闭域DR2上连续，则f在D上有界，且能取得最大值与最小值．

证先证明f在D上有界．倘若不然，则对每个正整数n，必存在点PnD，使得fPnn,n1,2,.于是得到一个有界点列PnD，且总能使Pn中有无穷多个不同的点．由§1定理16．3(聚点定理)的推论，Pn存在收敛子列Pn

k

，设lim

k

PnkP0.且因D是闭域，从而P0D．

由于f在D上连续，当然在点P0也连续，因此有limfPn

k

k

fP.这与不等式(3)相矛盾．所以f

是D

上的有界函数．

定理16.9（一致连续性定理）若函数f在有界闭域DR2上连续，则f在D上一致连续。即对任何0，总存在只依赖于的正数，使得对一切点P,Q，只要P,Q，就有fPfQ.定理16.10（介值性定理）设函数f在区域DR2连续，若P1,P2为D中任意两点，且fP1fP2，则对任何满足不等式fP1fP2的实数，必存在点P0D，使得fP0。

证：作辅助函数FPfP,PD.易见F仍在D上连续，且

FP10,FP20。这里不妨假设P1,P2是D的内点.下面证明必存在P0D，使FP00。

由于D为区域，我们可以用有限段都在D中的折线连结P1和P2（图16-10）。若有某一个连结点所对应的函数值为0, 则定理已得证。否则从一端开始逐个检查直线段，必定存在某直线段，F在它两端的函数值xx1tx2x1,

,0t1.异号,不失一般性，设连结P1x1,y1,P2x2,y2的直线段含于D,其方程为

yytyy121

在此直线段上,F表示为关于t的复合函数GtFx1tx2x1,y1ty2y1,0t1.它是[0,1]上的一元连续函数,且FP1G00G1FP2.由一元函数根的存在定理，在(0,1)内存在一点,使得

Gt00

。记

x0x1t0x2x1,y0y1t0y2y1,

则有

P0x0,y0D

，使得

FP0Gt00即

fP0.

多元函数的极限与连续

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多元函数的极限与连续习题

一、多元函数、极限与连续解读

第1次 多元函数的极限与连续练习题

函数极限与连续

第十六章 多元函数的极限与连续

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