上海民航学院
函数、极限与连续测试卷
总分100分命题人:叶茂莹
一、填空题(每空2分,共20分)
1、函数y32x|4的定义域是; 解:|32x|40,32x4,或32x4 2x1,或2x7
17x,或x 2
217x(,][,) 22
2、把复合函数yearctan(1x)分解成简单的函数________________________; 解:yeu,uarctanv,v1x
23、函数yarcsin2x的反函数是_____________________; 1解:ysinx,x, 222
1x
4、lim; xx2x
21x解:limxx2x1xlim1e2 xx2
(2x1)15(3x1)30
;
5、limx(3x2)4
5(2x1)15(3x1)302153302 解:lim4545x(3x2)33
x23x
26、lim2; x2x4x12x1x2limx11x23x2lim解:lim2 x2x6x2x4x12x2x6x281
57、
x1;
2解:
limx1xx1
2x12x1 x13x
13
4x2的连续区间为(x1)(x4)
解:x20,且x1x40
8、函数f(x)
x2,x1,x4,
x[2,1)(1,4)(4,)
ax2bx
19、已知a,b为常数,lim2,则a,b.x2x
1ax2bx1解:因为x的最高次为2,lim2 x2x1
所以a0,b2,即b4
2x0在点x0处连续,则a
x0
x1lim1xxx022x
10、已知f(x)(1x)a解:limfxlim1xx0x0e
2因为fx在点x0处连续,f0alimfxe2,所以ae2。 x0
二、单项选择题(每小题4分,共20分.)
1、下列函数中,定义域为全体实数的是(D)
yx2x(A)(B)y1(C) y2x1(D)yx24x5 lg|x1|
解:(A)yx2x,x2x0,xx10,x0或x1 (B)y1,|x1|0,lg|x1|0,所以x1,x11,即x1,x0 lg|x1|
2x10,2x1,x0 (C
) y(D
)yx24x5x210,xR
2、当x0时,sin2x是x的(C)
(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小
(C) 同阶但不等价无穷小(D) 等价无穷小 解:limsin2x2 x0x
3、下列极限值等于1的是(D)(A)limsinxsin2xsinxsinx(B)lim(C)lim(D)lim xx0x2xxxxx
sinx xx解:(A)lim
(B)lim
(C)lim
(D)limsin2x2 x0xsinxsin20 x2x2sinxsinxlim1 xxxx
14、函数f(x)xsin在点x0处( B). x
(A)有定义且有极限(B)无定义但有极限(C)有定义但无极限(D) 无定义且无极限 111解:因为limx0sin1,所以limf(x)limxsin0 limf(x)limxsin,x0x0x0x0x0xxx
5、下列叙述正确的是(B)(A)分段函数的分界点必是间断点
(B)函数无定义处必是间断点
(C)若limf(x)存在,则x0不可能是第一类跳跃间断点; xx0
(D)若f(x00)f(x00)A,则x0必是连续点
三、简单计算题(每小题5分,共30分)
2x,x0
1、设f(x)x,求f(1),f(1); 2,x0
解:10,f(1)21
110,f(1)21
22、设f(sinx)cos2x1,求f(cosx);
解:f(sinx)cos2x112sin2x122sin2x
f(cosx)22cos2x2sin2x1cos2x
x1x4,
3、设函数f(x)=,求limf(x)及limf(x),问limf(x)是否存x1x1x12x1,x1
在?;
fxlim解:limx45 x1x
1x1limfxlim2x11 x1
x1x1fxlimfx 因为lim
所以limfx不存在 x1
61
4、计算lim2; x2x3x9
6x361112limlim解:lim x2x2x3x2x9x3x3x35
21xsin,x0
5、设函数f(x),讨论f(x)在x0的连续性; x
ax2,x0
解:因为limx0,sin
2x01211,所以limf(x)limxsin0 x0x0xxx0limfxlimax2a,f0a x0
x0x0f(x)0limf(x)f(0),f(x)在x0的连续。 当a0时,lim
f(x)0limf(x)f(0)a,f(x)在x0的不连续,为跳当a0时,limx0x0
跃间断点。
x2,0x
16、设函数f(x),讨论f(x)在x1的连续性.x1x1,
2fxlimx1, 解:limx1x
1x1limf(x)limx12 x1
x1limfxlimfx x1
f(x)在x1的不连续,为跳跃间断点。
四、解答题(每小题6分,共30分)
1、lim
解:
x0x0x1; sin3xx0
1x0x1
6x21axb
2、已知 lim0,求a,b的值; xx1
解:
x21axx1bx1x2ax2abx1bx21limaxblimlim0xxxx1x1x1
1a0,ab0
a1,b
1sin2x,x0
3、函数f(x)x,问常数k为何值时,函数f(x)在其定义域内3x22xk,x0
连续?;
解:
x0limfxlimx0
x0sin2x2, xx0limf(x)lim3x22xkk
因为函数f(x)在其定义域内连续
所以limfx2limfxk x0x0
所以k
2ex,x0
4、设f(x)1,x0求limf(x),limf(x)并问f(x)在x0处是否连续? x0x0sinx,x0x
解:因为
x0xlimfxlime1, x0
x0limf(x)limx0
x0sinx1 xx0所以limfx1limfxf0
所以f(x)在x0处是连续。
5、设函数f在[0,2a]上连续,且f(0)f(2a),证明:存在点x0[0,a],使得f(x0)f(x0a)
证明:令gxfxafx,x0,a 因为f在[0,2a]上连续,所以gx在x0,a连续 g0f0af0=faf0
gafaafa=f2afaf0fa 所以g0ga0
所以存在点x0[0,a],使得gx00。 即存在点x0[0,a],使得f(x0)f(x0a)