对高中数学课堂教学中问题设计的几点看法
上海市松江二中 艾卫锋
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在数学教学中，从概念的形成与深化，新知识的巩固与应用，学生思维方法的训练与提高，以及学生应用能力和创新能力的增强，无不是围绕着“问题”展开，并在研究问题、解决问题的过程中逐步实现的。美国著名数学家哈尔莫斯曾说:“问题是数学的心脏。”从数学教学的角度看，如何设计一个 \"好\"的问题，它的标准该是什么呢？
从2005年开始，我和同组的尚皓老师以《对高中数学教学中问题设计的研究》为课题，综合运用对比研究、问卷调查等方法，围绕高中数学课堂教学中问题的设计、高中数学作业中问题的设计、高中数学试卷中问题的设计这三个方面对“怎样的问题才是符合学生实际的好问题”进行了研究。整个研究过程进行了三年时间。根据这次研究的情况，再结合我在十年教学实践过程中总结的点滴感受，我想重点谈谈对高中数学课堂教学中问题设计的一些粗浅看法。
课堂问题的设计，应竭力点燃学生思维的火花，激发他们的求知欲望，并有意识地为他们解决问题提供桥梁和阶梯，引导他们逐步掌握全新的知识和能力。然而，并非所有的问题都能达到预期的目标，有些肤浅，平庸的问题，再加上单调的问法，只能置学生于被动地位，抑制学生的思维活动，与以开发学生智力为目标的数学教育背道而弛。所以，实现课堂问题的优化设计，不但要研究问题的类型和提问的策略，技巧等，更重要是要优化设计问题的标准和原则。（下面我的阐述，均以高二第一学期第七章“等比数列”教学为背景）
1、问题应该具有一定的“开放性”。
课堂问题的“开放性”，首先表现在问题来源的“开放”。问题应具有一定
的现实意义，与现实社会、生活实际有着直接关系，这种对社会、生活的“开放”，能够使学生体会到数学的价值和开展“问题解决”的兴趣。而兴趣乃是学生学习的强大的动力，是提高教学质量的要素。因此教师要从材料中选择能引起学生兴趣的热点，富有新意，使学生喜闻乐答。
比如本教材在“等比数列的前n项和”这节课时，安排了这样一个具有较强趣味性的问题引入。
“引例：相传印度国王西拉谟要奖励国际象棋发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒，依此类推，每一个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放完64个格子为止。”国王立即答应了。问国王将会给发明者多少粒麦粒？”
每个孩子都喜欢故事，特别是历史故事，即使高中生也不例外。这个引例充分利用了学生的好奇心，激发他们学习的主动性和积极性，从而有利于知识的迁移，有利于他们明确知识的现实应用。
一开始，我先让同学们利用前面所学知识计算了一下第64个格子中的麦粒数。而当等比数列的前n项和公式推导出来之后，回过头来我又让同学们计算所有格子中的麦粒总数。同学们解决完这些问题后，发现这两个问题的答案
64远比他们想象中的要“可怕”的多。特别是当我摆出这样一个事实“S6421。据查每千克小麦约10万粒，S64约1.841011吨。有资料记载，2004年世界粮食总产量为2.25109吨，因此S64相当于那年世界粮食总产量的82倍。”这些事实对学生的冲击力还是很强的，让他们进一步意识到数学可以帮助他们更准确的认识客观世界。
同时，问题的“开放性”，还包括问题具有多种不同的解法，或者多种可能的解答，打破“每一问题都有唯一的标准解答”和“问题中所给的信息都有用”的传统观念，这对于学生的思想解放和创新能力的发挥具有极为重要的意
义。
在“等比数列的前n项和”这节课最后，我提出这样问题：“已知等比数列an的前5项和为10，前10项和为50，求这个数列的前15项和。”
a1(1q5)101qS10很多同学开始都走了这样一条路：由题得到5,即， 10S5010a1(1q)501q进一步解出a1和q，最后利用a1和q，求出S15。“这种做法完全正确”，我对同学们的做法予以了充分肯定。但同时指出它的缺陷在于中间的计算相对较为繁杂，得到的数据也没有那么“齐整”，比较易错。
而后我让同学思考还有没有其他解法，同时做了一定的“引导”。我把“S15=a1a2…a6a7…a11a12…a15”在黑板上一写，请同学观察a
1、a6和，于是我在黑板上写上a11三者之间的关系，同学很快回答说“成等比”a6a11aaq5。然后请同学继续观察a
2、a7和a12，得到712q5。以此类推，同a1a6a2a7学得到a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15SSSS，即1051510， a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10S5S10S5显然可以很方便的得到S15。
解决完这个问题后，我鼓励同学们继续努力，举一反三，去探索解决“Sm,S2mSm,S3mS2m,S4mS3m,……是否依然成等比？”这个问题。
到此，同学深刻的体会到数学问题的解决，并没有一成不变的方法，解放自己的思想，开拓自己的思维，可以让问题的解决过程“更精彩”。
2、问题应该具有一定的启发性和可发展空间。
课堂问题的启发性不仅指问题的解答中包含着重要的数学原理，对于这些问题或者能启发学生寻找应该能够识别的模式，或者通过基本技巧的某种运用很快地得到解决。课堂问题的可发展空间是说问题并不一定在找到解答时就会结束，所寻求的解答可能暗示着对原问题的各部分作种种变化，由此可以引出新的问题和进一步的结论。问题的发展性可以把问题延伸、拓广、扩充到一般
情形或其他特殊情形，它将给学生一个充分自由思考、充分展现自己思维的空间。正如美籍匈牙利数学家波利亚所说“我们这里所指的问题，不仅是寻常的，它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神”。
比如推导等比数列前n项和公式时，介绍完教科书上的“错位相减法”后，我鼓励同学去探求其他的推导方法。为此我设计了一系列问题：
“同学们，实际上，等比数列的前n项和公式的推导还有其他方法，你们可以在思考一下。”（给出明确的信息“还有其他方法”，强化他们继续探索的信心。）
“同学们再仔细观察Sna1a1qa1q2a1qn1这个式子，如果我将这个式子做这样的一个变化”。（同时原式后补“a1q(a1a1qa1q2a1qn2)”，再在“a1a1qa1q2a1qn2”下用红笔画条线。）
“你们看这红线部分其实是什么？”（马上有同学回答说就是Sn1，于是我在前面的式子继续接着写上“a1qSn1”。）
“那我们现在求什么？”（同学回答说是“Sn”）
“那Sn1怎么办？”（接着彻底放手让学生自己去解决后面的问题。） （于是我们的同学很快找到了这种推导方法的后续步骤：） “ a1qSn1a1q(Snan) 即，(1q)Sna1qan 当q1时，Sna1qan。 1q当q1时，a1a2an，则Snna1。”
“乘胜追击”，我鼓励同学们继续探求其它的推导方法。同时给出一定的提示：“充分利用等比数列的定义一种解法„„”
同学们兴致变得异常高涨，很快在大家的热烈讨论和积极思考下，得到了
aa2a3nq，再结合比例的性质和上a1a2an1
等比数列前n项和公式的另一种推导方法：
“由等比数列的定义，得
aa2a3nq，运用比例的性质，得 a1a2an1a2a3anSaq，即n1q
a1a2an1Snan当q1时，Sna1qan； 1q当q1时，a1a2an，则Snna1。” 至此，同学的聪明才智得到充分的调动。
3、问题应该具有较强的目的性。
课堂问题要能直观的体现教学想要达到的目的，设计的内容要有针对性结合教学内容，针对教学的重点、难点，有助于学生对知识的理解和掌握。同时所设计的问题必须准确、清楚，符合学生的认知特点，适应学生已有的认知水平，切忌含糊不清、模棱两可。教学如果不掌握重点，就不会有真正的教学质量。因此，课堂问题的设计尤为重要。
在“等比数列的前n项和”这节课中，在引导同学推导出等比数列前n项和公式后，我马上让同学完成教科书上的例7，迅速巩固对这个公式的基本运用。
（附例7：求下列等比数列的各项的和：（1）1,,,,27,9,3,,1。） 2431111； （2）
24816但很明显这个公式在实际应用的时候有一个最大的易错点—那就是同学容易忽略在运用公式前必须先判别该数列公比q是否为1。而这在前面的例7中并没有体现出来。所以我就安排了这样一道例题：“已知a0，求21aa3a5…an。”
拿到这道题很多同学是这么做的： “解：由题知aaa…a352n1a(1a2n)。” 21a
显然此解法，忽视了应对此题中的a进行分类讨论，分a1和a1两种情况来解决。虽然只是一次失败的经历，但同学得到应有的“教训”，迅速强化掌握了运用等比数列前n项和公式时的这个注意点。
在“等比中项”这个内容的教学时，为了强化同学对等比数列的“奇数项同号、偶数项同号”这个特点的认识，我安排了这样一个问题：
“在等比数列中an中，已知a11，a59，求a3。”
因为刚刚讲过等比中项的概念，所以很多同学马上看出a3是a1和a5的等比中项，于是得到了“a32a1a59,a33”。正好掉入“预先挖好的陷阱”。大家都说“吃一堑，长一智”，通过这个问题，让我们的同学比较“深刻”的记住了等比数列的这个特点。
我通过实践研究，充分感受到加强数学问题设计的针对性，促进学生“问题解决”能力的提高对提高高中数学教学效率的重要性。课堂问题的设计是课堂教学的重要组成部分，如何从心理学、教育学的角度来研究课堂问题的设计，这是每一位老师应重视的问题。如果问题设计遵从学生认识发展规律，符合学生的学习心理，同时教师指导有方、鼓励及时将会增强学生学习数学的信心与决心，增强学生对数学的热爱和追求。
以上只是我对高中数学课堂教学中问题设计的一些浅显看法。在接下去的教学实践中，我继续努力研究思考这一问题，力争使自己的看法更加客观完善。
主要参考文献
（1）上海市教育委员会：《上海市中小学数学课程标准》（试行稿），上海教育出版社，2004年
（2）奚定华、查建国、陈嘉驹：《高中数学能力型问题》，上海教育出版社，2008年
（3）（美国）H·伊夫斯：《数学史概论》，山西经济出版社，1993年 （4）张奠宙等:《数学教育学导论》，高等教育出版社，2003年
（5）傅海伦:《课题情境与数学问题解决》，载《数学通报》，1994年10月
（6）李让琼：《浅论数学问题解决》，载《教育科研》，2008年4月
(no.1)高中数学教学论文 探索课堂教学中对“问题”设计的思考 新人教版
