第一章集合复习教案
1.1.1集合的概念
1、集合的概念
（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、„„元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、„„
2、元素与集合的关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA 要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.
3、集合中元素的特性
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.
4、集合分类
根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类： （1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф （2）含有有限个元素的集合叫做有限集 （3）含有无穷个元素的集合叫做无限集
注：应区分，{}，{0}，0等符号的含义
5、常用数集及其表示方法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+ （3）整数集：全体整数的集合.记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q （5）实数集：全体实数的集合.记作R 注：（1）自然数集包括数0.
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，
1．1．2集合的表表示方法
表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
1．列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
2．描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 3．维恩图 1）．概念：用一个封闭图形来表示集合的一种方法。 2）．用法：一般用于集合的运算指不是指不等式问题。
1.2.1集合间的关系
（一）子集、真子集的概念
1．子集的概念：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作AB或BA.若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，或Q不包含P.记作
PQ
2．真子集的概念：若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集.AB或BA.
（二）子集、真子集的性质
传递性：若AB，BC，则AC 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.
（三）集合相等
1、若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.
2、AB,BAAB
补充：若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；
例
1、设集合A={0,1},集合B={x|xA},则A与B的关系如何? 例
2、已知A{x|x2pxq0}，B{x|x23x20}且AB，求p,q满足的条件.课堂练习：
1、满足{a,b}A{a,b,c,d}的集合A是什么
2、已知集合A={x|2x5},B{x|m1x2m1}且AB,求实数m的取值范围
3、设A{x,y}，B{1,xy}，若AB求x,y
1.2.2集合的运算
（一）
一．交集概念：一般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集． 记作A∩B（读作＂A交B＂）， 即A∩B=｛x|x∈A，且x∈B｝． 如：｛1,2,3,6｝∩｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．
又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e｝,B={c,d,e,f}.则A∩B={c,d,e} 二．基本性质
A∩B= B∩A;
A∩A=A;
A∩Ф=Ф; A∩B=AAB 例1．设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x
解：A∩B=｛x|x>-2｝∩｛x|x
解：A∩B=｛x|x是等腰三角形｝∩｛x|x是直角三角形｝=｛x|x是等腰直角三角形｝． 例
3、已知集合M＝｛(x,y)|x+y=2｝,N={(x,y)|x－y=4},那么集合M∩N为(
) A.x=3,y=－1
B.(3，－1) C.｛3，－1｝
D.｛(3，－1)｝
分析： 由已知得M∩N＝｛(x,y)|x+y=2,且x－y=4｝={(3,－1)}.
也可采用筛选法.首先，易知A、B不正确，因为它们都不是集合符号.又集合M，N的元素都是数组(x,y)，所以C也不正确.
1.2.2集合的运算
（二）
一般地，对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做A,B的并集．记作A∪B（读作＂A并B＂），
即A∪B=｛x|x∈A，或x∈B｝． 如：｛1,2,3,6｝∪｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝．
又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e｝,B={c,d,e,f}.则A∪B={a,b,c,d,e,f}
三、基本性质
A∪B= B∪A;
A∪A=A;
A∪Ф=A; ，(AB)(AB);
ABABA;ABABB
四、补充
1、设集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6}讨论A∪B，A，B，A∩B中元素的个数有何关系.
2、n(AB)n(A)n(B)n(AB)（容斥原理）
五、补充例子
1．设A=｛x|x是锐角三角形｝，B=｛x|x是钝角三角形｝，求A∪B.
解：A∪B=｛x|x是锐角三角形｝∪｛x|x是钝角三角形｝=｛x|x是斜三角形｝． 2．设A=｛x|-1
解：A∪B=｛x|-1
3．已知关于x的方程3x2+px－7=0的解集为A，方程3x2－7x+q=0的解集为B，若A∩B={－1}，求A∪B. 3111}，∴－∈A且－∈B. 3331111∴3(－)2+p(－)－7=0且3(－)2－7(－)+q=0
33338∴p=－20,q=－
31由3x2－20x－7=0得：A={－，7}
3818由3x2－7x－=0得：B={－，}
33318∴A∪B={－，，7}
33【解】 ∵A∩B={－注： A∩B中的元素都是A、B中的元素是解决本题的突破口，A∪B中只能出现一次A与B的公共元素，这是在求集合并集时需注意的.
1.2.2集合的运算
（三）
一、全集：在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集.
二、补集：若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作CUA，
三、基本性质
ACUA，ACUAU，CU(CUA)A， CS(CS)=A； CSS=，CS=S。
CU(AB)CUACUB，CU(AB)CUACUB
注：是否给出证明应根据学生的基础而定.
四、补充
1、分别用集合A,B,C表示下图的阴影部分
2、已知全集I={2,3,a2a3}，若A{b,2}，CIA{5}，求实数a,b
23、已知全集I{4,3,2,1,0,1,2,3,4}，集合A{3,a,a1}，
2B{a3,2a1,a21}，其中aR，若AB{3}，求CI(AB)
4、已知全集I={小于10的正整数}，其子集A,B满足CIACIB{1,9}，AB{2}，CIAB{4,6,8}，求集合A,B 注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
