《数学分析》教案
第三章 函数极限
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第三章 函数极限
教学目的：
1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限
和
，并能熟练运用；
4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。 教学重（难）点：
本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。
教学时数：16学时
§ 1 函数极限概念 （3学时）
教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。
教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：函数极限的概念。
教学难点：函数极限的定义及其应用。
一、复习：数列极限的概念、性质等
二、讲授新课：
（一） 时函数的极限：
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例4 验证
例5 验证
例6 验证
证 由 =
为使
需有
需有
为使
于是, 倘限制 , 就有
例7 验证
例8 验证 ( 类似有
（三）单侧极限:
1．定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域
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我们引进了六种极限: .以下以极限
,
为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
（一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.
局部有界性:
3.
局部保号性:
4.
单调性( 不等式性质 ):
Th 4 若使 ，证 设
和都有 =
( 现证对 都存在, 且存在点
的空心邻域
)
,
有
註: 若在Th 4的条件中, 改“ 就有
5.6. 以
迫敛性:
”为“ 举例说明.
”, 未必
四则运算性质: ( 只证“+”和“ ”)
（二）利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：
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例8
例9
例10 已知
求和
补充题:已知
求和 (
) § 3 函数极限存在的条件（4学时）
教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。 教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。 教学重点：海涅定理及柯西准则。 教学难点：海涅定理及柯西准则 运用。
教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。 本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限
为例.
一.
Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：
Th 1 设函数在,对任何在点
且
的某空心邻域
内有定义.则极限都存在且相等.( 证 )
存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为
单调趋于
.参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.
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教学难点：两个重要极限的证明及运用。
教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。 一．
（证） （同理有
）
例1
例2 .例3
例4
例5 证明极限 不存在.二.
证 对
有
例6
特别当 等.例7
例8
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三． 等价无穷小：
Th 2 ( 等价关系的传递性 ). 等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 )
几组常用等价无穷小: （见[2]）
例3 时, 无穷小
与
是否等价? 例4
四.无穷大量:
1.定义:
2.性质:
性质1 同号无穷大的和是无穷大.
性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大. 性质3 与无界量的关系.
无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.
3.无穷小与无穷大的关系:
无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大
习题 课（2学时）
一、理论概述：
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例7 .求
.注意 时, 且
.先求
由Heine归并原则
即求得所求极限
.
例8 求是否存在.
和.并说明极限
解 ;
可见极限 不存在.
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