物理曲线运动教案（推荐）

【本讲教育信息】

一.教学内容：

曲线运动 行星运动综合复习

二.曲线运动经典例题分析

（一）平抛运动初速度的求解方法 求解平抛运动的基本思路是：水平方向做匀速直线运动，只要求出水平方向的位移和所用的时间，就能求出平抛运动的初速度。竖直方向是自由落体运动，根据匀加速直线运动的规律就可列出时间的有关方程。

例1：图1是研究平抛运动实验后在白纸上作的图和所测数据，根据图中给出的数据，计算出此平抛运动的初速度v0。

图1

分析与解：

例2：如图2为一小球做平抛运动的闪光照相片的一部分，图中背景方格的边长均为5cm。如果取，那么：

（1）闪光频率是 Hz。

（2）小球运动中水平分速度的大小是 m/s。 （3）小球经过B点时的速度大小是 m/s。

图2 分析与解：从图中知，A、B、C三点在水平方向上相邻两点间的距离均为3L；所用时间相等均为t，，而t可根据竖直方向的自由落体运动求得。

（2）（3）

，其中

为竖直方向上经过B点的瞬时速度。

所以

例3：在研究平抛运动的实验中，某同学只在竖直板面上记下了重锤线y的方向，但忘了记下平抛的初位置，在坐标纸上描出了一段曲线的轨迹，如图3所示，现在曲线上取A、B两点，量出它们到y轴的距离，可以求得小球平抛时初速度为 。

，，以及AB的竖直距离h，用这些

图3 分析与解：设初速度为v0，则

，

竖直方向做自由落体运动，有得

（二）有关转动的几个实际问题

同一球体或同一转盘绕同一轴线转动，各点角速度大小相等。宜选用的向心加速度公式为：；宜选用的向心力的公式：。 例4：放在赤道上的物体I和放在北纬60°处的物体II，由于地球的自转，它们的（ ）

A.角速度之比为B.线速度之比为C.向心加速度之比为D.向心加速度之比为

都等于地球自转角速度。由，即

。

分析与解：物体I和物体II都在地球上，角速度于物体II的转动半径因，

则答案：BC

，物体I的转动半径例5：如图4所示，已知，它们距轴的关系是体与转盘表面的动摩擦因数相同，当转盘的转速逐渐增加时（ ）

A.物体A先滑动 B.物体B先滑动

C.物体C先滑动 D.B与C同时开始滑动

，三物

图4 分析与解：三物体绕圆盘转动，是静摩擦力提供向心力。物体滑动的条件是物体受到的最大静摩擦力不足以提供做圆周运动所需要的向心力，即，即说明三个物体哪个先滑动跟物体的质量无关，只跟半径有关，半径较大的先滑动。

。答案：B 点评：有关转动问题，应注意隐含条件，同一转轴的物体上各点角速度大小相等；同一皮带，与皮带接触的各点线速度大小相等。

（三）平抛运动的应用

分析平抛运动的方法是分解为水平和竖直的分运动，水平方向上由于没有受力，做匀速直线运动；竖直方向上由于只受重力，初速度为零，做自由落体运动。

例6：甲、乙两球位于同一竖直直线上的不同位置，甲比乙高出h。将甲、乙两球以v

1、v2的速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是（ ）

A.同时抛出，且C.甲早抛出，且

B.甲迟抛出，且 D.甲早抛出，且

图5 分析与解：如图5，乙击中甲球的条件，水平位移相等，甲的竖直位移等于乙的竖直位移加上h。即

①

②

由②得再结合①得 答案：选D 例7：甲乙两人在一幢楼的三楼窗口比赛掷垒球，他们都尽力水平掷出同样的垒球，不计空气阻力，甲掷的水平距离正好是乙的两倍，若乙要想水平掷出相当于甲在三楼窗口掷出的距离，则乙应（不计一楼窗口离地高度）（ ）

A.在5楼窗口水平掷出 B.在6楼窗口水平掷出 C.在9楼窗口水平掷出 D.在12楼窗口水平掷出

分析与解：设乙在n楼窗口与甲在三楼窗口掷出的距离相等，一层楼高为h，则三楼

高为2h，n楼高为，有 ①

又甲、乙同在三楼时，甲掷的水平距离正好是乙的二倍，有

②

联立①②解得 ∴ 答案：选C 例8：如图6一农用水泵的出水管是水平的。若仅有一钢卷尺和一直棍，怎样估算水泵的流量。

图6 分析与解：流量是单位时间内流过水管的水的体积

经过时间t，从出水管流出的水的体积水管的横截面积

。为水做平抛运动的初速度，S为出

。只要用钢卷尺测出出水管的直径D，即可求S。

v0可通过测量射程x和水泵的高度h，求得联立可得

只要测出管口的直径、射程x和水泵的高度h，即能得出流量Q。

例9：张明在楼梯走道边将一颗质量为20g的弹子沿水平方向弹出，不计阻力，弹子滚出走道后直接落到“2”台阶上，如图7示，设各级台阶宽、高都为20cm，则他将弹子打出的速度大小在 范围，打出弹子时他消耗的体能在 范围。

图7 分析与解：弹子从D点开始做平抛运动，当速度较小时落在C点。此时为弹子打出的速度最小值。

由，

解得，打弹子消耗的体能为 当速度较大时落在B点，此时为弹子打出的速度最大值。 由解得答案：，

，打弹子消耗的体能为

；～

～

三.万有引力定律章节部分易错问题例析

（一）关于万有引力表达式中的r和向心力表达式中的r 例1：两颗靠的较近的天体称为双星，它们以两者的连线上某点为圆心做匀速圆周运动，而不会由于万有引力作用，使它们吸在一起（不考虑其他天体对它们的影响），已知两天体质量分别为m1和m2，相距为L，求它们运转的角速度。

分析：同学们在习惯了万有引力解题定势，即万有引力表达式

提供向心力

的r和向心力表达式

、、

后可能会形成一种的r始终是同一个物理量，殊不知中的r为m、M两者间的距离，而、中的r为圆周运动的轨道半径，两者含义并不相同。在解此题时学生由于忽略两者区别导致如下错误：

设m

1、m2的运动轨道半径分别为r

1、r2，则得

①

③

② 联立①②③三式解得

正确答案：m

1、m2间的万有引力分别提供两者的向心力，从而建立如下等式

④

联立④⑤⑥解得

⑤

⑥

（二）关于星球表面的重力加速度和星球的向心加速度

例2：（2002年上海卷）一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速 度为g1，行星的质量M与卫星的质量m之比比径

，行星的半径R1与卫星的半径R2之

r，行星与卫星之间的距离与行星的半

之比。设卫星表面的重力加速度为g2，则在卫星表面有： 经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面重力加速度的三千六百分之一。上述结果是否正确？若正确，列式证明；若错误，求出正确结果。

分析：同学们对星球表面的重力加速度和星球的向心加速度的概念没有从本质上搞清楚，从而经常将两者混为一谈，凭感觉下结论，认为题中所提供的“设卫星表面的重力加速度为g2，则在卫星表面有：”这一句话是正确的，从而得到“卫星表面的重力加速度为行星表面重力加速度的三千六百分之一”结论是正确的错误判断。

正确解答应该是首先弄清楚重力加速度和向心加速度概念的区别：题中卫星表面的重力加速度应理解为忽略自转时其对表面物体的万有引力与表面物体质量的比值，假设卫星表面有一物体质量为m0，卫星表面的重力加速度为g2，则有 ①

而卫星的向心加速度a应是行星对卫星的万有引力（提供卫星绕行星运转的向心力）与卫星质量的比值。则有：。由此可见题中所列等式“”的错误就在于将卫星的向心加速度当成了卫星表面的重力加速度。理清了重力加速度与向心加速度的概念后，对于行星表面的重力加速度g1可这样求解 ②

联立①、②两式并结合题中已知条件可得卫星表面的重力加速度g2为行星表面重力加速度g1的0.16倍。

（三）关于卫星的发射速度和运行速度

例3：由第

一、第

二、第三宇宙速度的值可知，人造地球卫星在贴近地表时的第一宇宙速度最小；而由公式

可知，环绕半径r越小，其线速度v越大，即贴近地表的环绕速度为最大，这是否矛盾？

例4：关于第一宇宙速度，下列说法正确的是（ ） A.它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度 B.它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度 C.它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度 D.它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度 分析：同学们在解答上述关于宇宙速度、发射速度和运行速度的类似问题时，经常会产生一些错误，诸如将发射速度与运行速度理解为同一种速度；不能判断随着运行轨道半径的增大，运行速度与发射速度的大小情况；或者产生象例题3中那样的困惑。

要解决上述问题，同学们必须真正理解透彻发射速度和运行速度的概念。运行速度是卫星在圆形轨道上运行的线速度，由万有引力提供向心力

得运行速度可知：随轨道越高（即运行半径r越大），运行速度越小，而发射速度是指在地面上将卫星发射出去的速度。虽然轨道越高时运行速度越小，但由于人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功，增大势能，所以要想将卫星发射到离地面越远的轨道上时，在地面上所需要的发射速度就越大。例如要挣脱地球引力，需要的发射速度为，而若要使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度为。所以人造地球卫星发射速度越大，离地面的高度越大，其运行速度反而越小。只有当卫星贴近地面飞行时，其发射速度与运行速度才相等，此时发射速度最小，而运行速度却最大，即第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球飞行的最大速度，也是使卫星能进入近地圆形轨道的最小发射速度。

（四）关于卫星的稳定运行速度和动态变轨速度

例5：有两艘宇宙飞船均在同一轨道上绕地球做匀速圆周运动，一前一后，若后面的飞船突然加速，问能否追上前面的飞船？若不能请进一步分析后面的飞船加速后是向外飞还是向里飞？

分析：不少同学在回答前一个问题时一般都能判断得到“不能追上前面的飞船”这一正确答案，理由是由

可知，飞船稳定运行速度v与圆周轨道半径r是一一对应的，当v变化时，r必发生变化，故后面的飞船加速后会脱离原轨道，无法追上前面的飞船。但在回答后一个问题“加速后，后面的飞船是向外还是向里飞”时，很多同学就会产生“飞船向里飞”的错误结论，理由是根据等式

，当增大时，必有r减小，所以，飞船向里飞，靠近地球，根据分析之所以得出错误结论，是因为不了解该式的适用对象是正在做匀速圆周运动的卫星（物体），即是卫星的稳定运行速度，而飞船加速后（此时的速度称作变轨速度）它将离开原来的轨道，并非正做匀速圆周运动，不能再用等式

分析，而应根据所需向心力与所提供的向心力的大小关系来判断。设飞船在轨道上做匀速圆周运动时所需向心力为，外力提供的向心力为，只有当时，物体做近心运动；当中，飞船速度加大时，由

知，

时，物体才做圆周运动；当时，物体做离心运动。本题增大。而此时的向心力仍，故后面的飞船加速后将由万有引力提供，即，有做离心运动而向外飞，减速向心。

【模拟试题】

1.关于曲线运动，下列说法正确的是（ ）

A.曲线运动一定是变速运动 B.变速运动不一定是曲线运动

C.曲线运动可能是匀变速运动 D.曲线运动其加速度方向一定改变 2.下列关于圆周运动的说法中正确的是（ ）

A.作匀速圆周运动的物体，所受合外力一定指向圆心 B.作圆周运动的物体，其加速度可以不指向圆心 C.作圆周运动的物体，其加速度一定指向圆心 D.作匀速圆周运动的物体，其加速度是不变的

3.物体受到几个外力的作用而做匀速直线运动，如果撤掉与速度共线的一个力，其他力不变，则它有可能（ ）

A.做匀速直线运动 B.做匀加速直线运动

C.做匀减速直线运动 D.做曲线运动 4.如图所示，两轮用皮带传动，没有打滑，A、B、C三点位置见图示，则这三点的向心加速度的关系为（ ）

A.C. B. D.

，

，

5.如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时，突然使它所受力反向，大小不变，即由F变为－F。在此作用下，物体以后的运动情况，下列说法中不正确的是（ ）

A.物体不可能沿曲线Ba运动 B.物体不可能沿直线Bb运动 C.物体不可能沿曲线Bc运动 D.物体不可能沿曲线B返回A 6.如图所示，把一个长为20cm，劲度系数为弹簧的另一端连接一个质量为0.50kg的小球，当小球以做匀速圆周运动时，弹簧的伸长应为（ ）

A.5.2cm B.5.3cm C.5.0cm D.5.4cm

的弹簧，一端固定，作为圆心，

的转速在光滑水平面上

7.如图所示，一个内部光滑的圆锥桶的轴线垂直于水平面，圆锥桶固定不动。有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面作匀速圆周运动，则（ ）

A.球A的线速度必定小于球B的线速度 B.球A的角速度必定小于球B的角速度 C.球A的运动周期必小于球B的运动周期

D.球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力

8.长度为的轻质杆OA，A端有一质量为的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内作圆周运动，通过最高点时小球的速率为2m/s（g取10m/s2），则此时细杆OA受到（ ）

A.6N的拉力 B.6N的压力 C.24N的拉力 D.24N的压力

9.如下图所示，P、Q为质量均为m的两个物体，分别置于地球上不同纬度上，如果把地球看成一个均匀球体，P、Q两质点随地球自转而做匀速圆周运动，则（ ）

① P、Q受地球引力大小相等

② P、Q做圆周运动的向心力大小相等 ③ P、Q做圆周运动的角速度大小相等 ④ P、Q做圆周运动的周期大小相等

A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④

10.a、b为地球上两物体，a处于北纬40°，b在赤道上，c、d为地球卫星，c、d轨道都在赤道平面上，c为近地卫星，d为同步卫星，关于a、b、c、d的T，是（ ）

A.

B.

，

，g、v正确判断C.， D.，

11.宇宙飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站（ ） A.只能从较低轨道上加速 B.只能从较高轨道上加速

C.只能从同一空间站同一高度轨道上加速 D.无论什么轨道加速都行

12.如下图所示，3个质量相等的小球A、B、C固定在轻质硬杆上，而且，现将该装置放在光滑水平桌面上，使杆绕过O的竖直轴匀速转动，设OA、AB、BC上的拉力分别为F

1、F

2、F3，则

。

13.如图所示，在高为H的光滑平台上有一物体用绳子跨过定滑轮C由地面上的人以恒定速度v0向右拉动，不计人的高度，当人从地面上平台的边缘A处向右移动距离s到达B处时，物体的速度v = ，物体移动的距离d= 。

14.绕地球运动的二卫星，如图所示作匀速圆周运动，周期分别为T1和T2，此时相距最近，则两星再次相距最近所需最短时间为 ；再次相距最远所需最短时间为 。

万有引力复习中应注意的几个问题

吴社英

高中物理新教材把“万有引力定律”单独设为一章，主要讲述万有引力定律的发现及其在天体运动中的应用，其中该定律的具体运用是本章的重点之一。本章虽然内容不多，概念较少，但在学习中，如果概念学不透彻，某些概念之间的区别与联系没有理顺，天体运动的物理过程分析不清，在具体解决天体运动的问题时，就可能只知道万有引力提供向心力，缺乏概念的辨析能力和分析问题的能力。

一、不同公式和问题中的r，含义不同

万有引力定律公式FGm1·m2中的r指的是两个质点间的距离，对于相距很远因而2rm·v2可以看做质点的物体，指的是两个球心的距离。而向心力公式F中的r，对于椭

rr3圆轨道指的是曲率半径，对于圆轨道它等于圆半径。开普勒第三定律2k中的r指的是

T椭圆轨道的半长轴。因此，同一个r在不同公式中所具有的含义不同。

例1.如图1所示，两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须以相同的角速度绕某一中心转动才不至于因万有引力而吸引在一起，已知双星的质量分别为m1和m2，相距为L，万有引力常量为G，求：

（1）双星转动的中心位置； （2）转动周期。

图1 解析：设双星转动中心的位置O距离m1为r，与两恒星中心的距离L不同，则：

F引F向m1r2m2Lr2

解得：rm2L

m1m2在求第二问时更应注意距离和半径的区别，对恒星m1有：

mm2G122m1r

LT得转动同期为：

2L3T2

Gm1m2

例2.飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，如图2所示，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。（已知地球半径为R0）

图2 解析：本题用开普勒第三定律求解比较简单。对地球卫星绕地运行时所有卫星的轨道半长轴的三次方跟公转周期平方的比值都相等，对于在圆周轨道上运行的卫星其轨道的半长轴

R3就是圆半径，所以，当飞船在圆周上绕地球运动时，有2k，当飞船进入椭圆轨道运动

TRR02k，由两式联立得飞船在椭圆轨道上运动的周期： 时，有2T'3T'RR03T8R3

故解得飞船由A运动到B点所需的时间为t12RR03T8R3

二、向心加速度与重力加速度

对于向心加速度与重力加速度两个概念，既有区别又有联系：（1）在地球表面的不同纬度处，重力加速度的数值不相等，各处的向心加速度也不同；（2）在距离地面一定高度处绕地心做匀速圆周运动的物体具有的向心加速度和该处的重力加速度相等。

设地球质量为M，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，物体m离开地心的距离为r，在该处的向心加速度为a向，重力加速度为g'，则由：

Mmma向mg'2r MmG2mgRG联立得：a向Rg'g

r2注：在距离地面一定高度处绕地心做匀速圆周运动的物体，重力完全提供向心力，所以物体处于完全失重状态，视重为零，物体本身受的重力即万有引力并不等于零。

例3.人造地球卫星在轨道上做匀速圆周运动，卫星内物体：（

） A.处于完全失重状态，所受重力为零 B.处于完全失重状态，但仍受重力作用

C.所受的重力是维持它跟随卫星一起做匀速圆周运动所需的向心力 D.处于平衡状态，即所受合外力为零 解：略。

例4.用m表示地球同步通信卫星的质量，h表示它离地面的高度，R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，ω表示地球自转的角速度，则该通信卫星所受地球对它的万有引力的大小等于（

）

A.0 B.mgR2Rh2

24C.m3Rg

D.mg 解析：在离地心为r处的a向Rg'g这个表达式可以当做推论公式使用，这样

r2解答就显得更加简便。通信卫星受到地球对它的万有引力的大小

mR2gRFmg'm g2RhRhmRg2232由FRhmRh得：Rh2R2g224，则Fm3Rg，故正确选项是B、C。

三、人造地球卫星的运行速度和发射速度

教材中提到的第

一、第

二、第三宇宙速度都是指卫星相对于地球的发射速率。若地球表面的空气阻力可以忽略，地球是个质量均匀的理想球体，则当人造地球卫星绕地球表面做匀

M·mmv2速圆周运动时，由万有引力提供向心力，即G，得卫星的运行速度v2rrGMr（M为地球的质量），从式中可以看出，卫星离地面越高，其运行速度越小；卫星离地面越近，其运行速度越大。当卫星近地运行时，轨道半径rR（地球半径），这时其运行速度最大，即为7.9km·s1，因此，人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度为7.9km·s1，也就是说第一宇宙速度是卫星的最大运行速度。那么7.9km·s1是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大还是最小的发射速度？教材讲到：“虽然距地面高的卫星运行速度比靠近地面的卫星运行速度小，但是向高轨道发射卫星却比低轨道发射卫星要困难。因为向高轨道发射卫星，火箭要克服引力做更多的功。”具体可以这样来分析： 当一质量为m的卫星以速度v绕质量为M的地球做半径为r的圆周运动，如以无穷远处作为零势能点，则它的动能和势能分别为：

Ek12Mmmv，EpG 2rM·mmv2M2，vG又因G

rrr2所以EkGMm，卫星的总能量 2rMmMmMmGG 2rr2rEEkEpG由以上推导可见，卫星飞得越高，其速度越慢，但是它的总能量却越大，这是发射高轨道卫星比较困难的原因之一。故7.9 km/s是人造卫星的最小发射速度。

例5.关于第一宇宙速度，下面说法中正确的是（

） A.它是人造卫星绕地球飞行的最小速度 B.它是近地圆轨道上人造卫星的运行速度 C.它是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度

D.它又叫环绕速度，即绕地球做圆轨道运行的卫星的速度都是第一宇宙速度 解析：该题看似简单，但由于学生往往概念不清而出错。第一宇宙速度即7.9km·s1是一个特定的数值，是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度。由上面的概念可知，卫星做圆周运动时，离地越高，其运行速度越小，并不是绕地球做圆轨道运行的卫星速度都是第一宇宙速度。如果人造卫星进入地面附近的轨道速度大于7.9km·s1，而小于112.km·s1，它绕地球运动的轨道就不是圆，而是椭圆。因此，该题的正确选项是B。

编者按：所谓近地圆轨道是指地球为理想球体，地球没有大气层的情况下紧贴地面的圆轨道。

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