《曲线运动》一章的复习课教案
1.理解平抛运动的特点和规律,熟练掌握分析平抛运动的方法。 2.会描述匀速圆周运动,知道向心加速度。
3.能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力,能够分析生活和生产中的离心现象。 4.关注抛体运动和圆周运动的规律与日常生活的联系。
重点难点:理解研究曲线运动的合成与分解方法,掌握平抛运动规律,能够应用牛顿运动定律解决圆周运动问题。
教学建议:本章学习了物体做曲线运动的条件以及运动的合成和分解,并研究了两种曲线运动:平抛运动和圆周运动。其实,该章内容是牛顿运动定律在曲线运动中的具体运用。在教学中要通过本节课再次梳理,让学生掌握本章的概念和规律,加深对速度、加速度及其关系的理解,加深对牛顿运动定律的理解,提高应用牛顿运动定律分析和解决实际问题的能力。
曲线运动
主题1:小船渡河
问题:如图甲所示,一条河岸平行的河流,宽度为L,各处水流速度均为v水,船在静水中的速度为v船,现要坐船渡过这条河流。
甲
(1)若要以最短时间过河,应该怎样调整船头方向? (2)若以最短时间过河,渡河的时间是多少?渡河过程船发生的位移是多少? (3)若以最小位移过河,应该怎样调整船头行驶方向?请用图示来表示。 解答:(1) 如图乙所示,船头应垂直于河岸。 (2)渡河最短时间为t=,渡河过程船发生的位移s=v合t=t=。 (3)欲求小船渡河的最小位移,需分v水v船两种情况讨论。
①若v水v船,则v水和v船的合速度不可能垂直指向河岸,小船不能垂直过河。船的实际航线为船的实际速度(合速度v合)方向,则v合、v水和v船构成一个矢量三角形,根据矢量合成法则可知,以v水的末端为圆心、v船大小为半径画圆,由v水的始端指向圆上各点表示的矢量就是合速度v合,如图丁所示。
乙
丙
丁
知识链接:小船渡河问题要点有①渡河时间只取决于垂直于河岸方向的速度,②渡河位移只取决于船的实际速度(合速度)方向。
主题2:圆锥摆模型
问题:圆锥摆的结构特点为在一根质量和伸长可以不计的细线上,系一个可以视为质点的摆球,在水平面内做匀速圆周运动,如图所示。设摆球的质量为m,摆线长为L,与竖直方向的夹角为α,摆球的线速度为v,角速度为ω,周期为T,频率为f。
(1)摆球的向心力和向心加速度各为多少? (2)摆线的拉力多大? (3)摆球运动的周期是多少? 解答:(1)摆球的向心力为F合=ma=mgtan α=m=mω2Lsin α=m()2Lsin α=m(2πf)2Lsin α 向心加速度为a=gtan α==ω2Lsin α=()2Lsin α=(2πf)2Lsin α。 (2)摆线的拉力
有两种基本思路:当α已知时,F=;当α未知时,F==mω2L=m()2L=m(2πf)2L。 (3)摆球的周期
设悬点到圆周运动圆心的距离为h,根据向心力公式有T=2π=2π。 知识链接:圆锥摆的周期公式T=2π,圆锥摆的周期T仅与摆球做圆周运动的圆心到悬点的距离h以及当地重力加速度g有关,与摆球质量、绳长L、摆角α无关。拓展
一、绳子末端速度的分解
甲
1.如图甲所示,用船A拖着车B前进,若船匀速前进,速度为vA,当OA绳与水平方向夹角为θ时,则: (1)车B运动的速度vB多大? (2)车B是否做匀速运动? 问1:以小船为研究对象,小船的运动为合运动,其运动方向朝什么方向? 答1:水平向右。
问2:小船的实际运动产生哪两种作用效果? 答2:一是使绳子运动,沿OA方向伸长;二是以O点为圆心的转动。 问3:车B的速度与绳子运动的速度是否相等? 答3:相等。
【解析】船的前进速度vA产生了绳子的下拉速度v1(沿绳的方向)和绳子以滑轮为轴的转动速度v2两个分速度,车前进的速度vB取决于由于船前进而使OB绳变短的速度。
乙
(1)把vA分解为一个沿绳子方向的分速度v1和一个垂直于绳的分速度v2,如图乙所示,所以车前进的速度vB应等于vA的分速度v1,即vB=v1=vAcos θ。
(2)当船匀速向前运动时,θ角逐渐减小,车速vB将逐渐增大,因此,车B不做匀速运动。 【答案】(1)vAcos θ (2)不做匀速运动
【点评】物体间通过绳连接而使运动互相关联的运动被称为牵连运动,这类问题的特征是在绳的方向上各点的速度大小相等,解题时一般按以下步骤进行。
第一步:先确定合速度,物体的实际运动速度就是合速度。 第二步:确定合运动的两个实际效果。一是沿绳方向的伸长或收缩运动,改变速度的大小;二是垂直于绳方向的旋转运动,改变速度的方向。
第三步:按平行四边形定则进行分解,画好运动矢量图。
拓展
二、抛物线方程的应用
2.如图甲所示,排球场总长为18 m,设球网高度为2 m,运动员站在离网3 m的线上,正对网前跳起,将球水平击出。
甲
(1)若击球点在3 m线的正上方高度为2.5 m处,问击球速度在什么范围内才能够使得球既不触网也不越界? (2)若击球点在3 m线的正上方的高度小于某个值,无论水平击球速度多大,球不是触网就是越界,试求这一高度。
问1:以抛出点为原点,建立直角坐标系,以时间t为参数,平抛运动的位移方程是怎样的? 答1:x=v0t,y=gt2。
问2:如果消去时间t,得到y与x之间的关系式是怎样的? 答2:如果消去时间t,得到抛物线方程y=x2。
【解析】(1)以抛出点O为原点,建立直角坐标系,如图乙所示
乙
当击球速度较大时,可以保证球不会触网,但可能出界,设刚好压界时击球速度是v1,则抛物线方程为y=x2
边界点P在这条抛物线上,由题意可知,P点的坐标为P(12,2.5),代入方程即可解得v1=12 m/s 当击球速度较小时,可以保证球不会出界,但可能触网 设刚好触网时击球速度是v2,则抛物线方程为y=x2
网的最高点Q在这条抛物线上,由题意可知,Q点的坐标为 Q (3,0.5),代入方程解得v2=3 m/s 因此,击球速度3 m/s
丙
这就是说,网的最高点Q,以及边界点P同在一条抛物线上, P、Q两点坐标为P(12,h),Q(3,h-2) 将P、Q两点坐标代入可得h=×122 , h-2=×32,二式相除,消去v0,解得h=2.13 m 因此,当击球高度小于2.13 m时,球不是触网就是越界。 【答案】(1)3 m/s
拓展
三、对类平抛运动问题的分析
3.如图所示,光滑斜面长为b,宽为a,倾角为θ,一物块沿斜面左上方顶点P水平射入,而从右下方顶点Q离开斜面,求入射初速度。
问1:小球在斜面上受几个力的作用? 答1:受重力和支持力两个力的作用。 问2:小球所受的合力大小是多少,方向如何? 答2:合力为F=mgsin θ,方向沿斜面向下。
问3:小球所受合力的方向与初速度方向具有怎样的关系? 答3:垂直。 问4:能否将小球的运动看作沿初速度方向的匀速直线运动与沿斜面向下的匀加速直线运动的合运动? 答4:能。
【解析】物块在垂直于斜面方向没有运动,物块沿斜面方向上的曲线运动可分解为水平方向上速度为v0的匀速直线运动和沿斜面向下初速度为零的匀加速运动。
在沿斜面方向上:mgsin θ=ma1,得a1=gsin θ 水平方向上的位移:x=a=v0t 沿斜面向下的位移:y=b=a1t2 由上式解得:v0=a。 【答案】a
【点评】初速度不为零,加速度恒定且垂直于初速度方向的运动,我们称之为类平抛运动。 类平抛运动也是命题热点,类平抛运动的处理方法与平抛运动一样,只是加速度a不同而已。在解决类平抛运动问题时,方法完全等同于平抛运动的解法,也是采用运动的合成与分解法。要注意的问题如下: ①需满足的条件为受恒力作用且与初速度的方向垂直。 ②确定两个分运动的速度方向和位移方向,分别列式求解。
拓展
四、竖直面内的圆周运动问题
4.如图所示,半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置。两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内,a通过最高点A时,对管壁上部的压力为3mg,b通过最高点A时,对管壁下部的压力为0.75mg。求a、b两球落地点间的距离。
问1:小球a、b离开A点后做什么运动? 答1:平抛运动。
问2:小球a、b离开A点后的运动时间是否相等? 答2:相等。
问3:a球离开A点前在A点受到的合力大小是多少?方向如何?b球呢? 答3:a球离开A点前在A点受到的合力大小是F合A=mg+3mg=4mg,方向竖直向下。B球受到的合力F合B=mg-0.75mg=0.25mg,方向竖直向下。 【解析】两个小球在最高点时,受重力和管壁的作用力,这两个力的合力作为向心力,离开轨道后两球均做平抛运动,a、b两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差。
对a球:mg+3mg=m,解得:va= 对b球:mg-0.75mg=m解得:vb=
a、b两球离开A后做平抛运动,落地点间距设为Δx,根据平抛运动规律有 Δx=(va-vb)t 2R=gt2 解得:Δx=3R。 【答案】3R
【点评】竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动,这类题的特点:物体做圆周运动的速率时刻在改变,最高点的速率最小,最低点的速率最大。在最低点向心力肯定向上,而重力向下,所以弹力必然向上;在最高点,向心力向下,重力也向
下,但弹力的方向就不能确定了。因此解决这类问题的关键是要分析清楚在最高点或最低点时物体的受力情况,由哪些力来提供向心力,再对此瞬时状态应用牛顿第二定律的瞬时性,有时还要应用牛顿第三定律。很多时候在最高点往往还会出现临界条件,如弹力刚好为零,要注意充分挖掘这些隐含的或临界的条件。
拓展
五、对圆周运动的临界问题的分析
5.如图所示,用细绳一端系着的质量M=0.6 kg的物体A静止在水平转盘上,细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3 kg的小球B,A的重心到O点的距离为0.2 m。若A与转盘间的最大静摩擦力为Ff=2 N,为使小球B保持静止,求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围。(g取10 m/s2) 问1:若B处于静止状态,则物体A处于怎样的状态? 答1:A相对转盘静止。
问2:若角速度取最大值,A有离心趋势,此时A受到的静摩擦力沿什么方向? 答2:指向圆心。
问3:若角速度取最小值,A有向心运动趋势,此时A受到的静摩擦力沿什么方向? 答3:背离圆心。 【解析】要使B静止,A必须相对于转盘静止,即A具有与转盘相同的角速度。A需要的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供。角速度取最大值时,A有离心趋势,静摩擦力指向圆心O;角速度取最小值时,A有向心运动的趋势,静摩擦力背离圆心O。
对于B:FT=mg
对于A:FT+Ff=Mr或FT-Ff=Mr 代入数据解得ω1=6.5 rad/s,ω2=2.9 rad/s 所以2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s。 【答案】2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s 【点评】对圆周运动中的临界问题的分析与求解方法不只是在竖直平面内的圆周运动中存在,其他许多问题中也有临界问题。对这类问题的求解一般都是先假设某量达到最大、最小的临界情况,然后分析该状态下物体的受力特点,再结合圆周运动的知识,列出相应的动力学方程。
曲线
运动
有临界问题
