求极限的常用方法

发布时间：2020-03-03 22:14:50 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

2求极限的常用方法 2.1定义法

该方法在求极限的过程中很适于证明题.定义1在此我们用ε-δ定义极限,即设函数f(x)在x0的某个空心邻域

U(x0;1)内有定义,A

为定数,若对任给的ε>0,存在正数δ（

xx0

例1证明limax1(a1).

x0

证任给0(不妨设1)，为使

ax1，（*）

即1ax1，利用对数函数㏒ax（当a1时）的严格增性，只要

㏒a(1)x㏒(1),

于是，令

minloga(1),loga(1)，

则当0

注：本题是直接运用定义法进行证明极限的一类典型例题，解题中关键是值的确定是有技巧的，在以后的解题中要注意这一点.2.2利用单调有界原理求极限

定理1在实数系中，有界的单调数列必有极限.

例2设xn1解因为xn1

12(xn

axn

).其中a

>0,x00,求limxn.

n

2(xn

xn1xn

axn

)

(1

xn.

axn

2axn

)

=a，所以｛xn｝有下界．

12(1

又



)1，有{xn}单减,

然后对两边求极限，有l

1al2l

，则lal0，l

，故limxn

n

注：本题要求的是数列项极限问题，于是我们很自然的联想到单调有界定理；

但是我们首先要根据题中已知的递推关系式来判定该数列的有界性和单调性，经判定符合定理条件之后即可对其运用定理来求解，这也是解此类题的一般思路和方法.

2.3通过连续求极限

在高等数学中,极限是继函数概念的有一个最重要最基本的概念,极限可以进一步阐明函数的连续性,而函数连续性也可以应用于极限的求解.我们知道f在x0连续等价于limf(x)=f(limx),利用这个原理我们可以得到下面的定理.

xx0

定理2若函数f在点x0连续，g在点u0连续，u0=f(x0)，则复合函数gf在点x0连续.公式表示即：limg(f(x))g(limf(x))g(f(x0)).

xx0

这也是我们求极限的一种方法——连续函数法,我们看一道例题:

例3求极限limsin(1x).

x

1解sin(1x2)可以看作函数g(u)sinu与f(x)1x2的复合.

由公式可得，

limsin(1x)sin(lim(1x))sin00.

x1

注：若复合函数gf的内函数f当xx0时极限为a，而af(x0)或f在x0

无定义（即x0为f的可去间断点），又外函数g在ua连续，则我们仍可以用上述定理来求复合函数的极限，即有

xx0

limg(f(x))g(limf(x)).

xx0

2.4利用迫敛性定理求极限

定理3设limf(x)=limg(x) =A,且在某空心邻域U(x0;)内有f(x)≤

xx0xx0

h(x)≤g(x),则limh(x)=A.1

xx0

例4求limx[].

x0

解当x>0时有，

1-x

而lim(1x)=1，故由迫敛性得，

x0



]1,

limx[]=1.x0x

另一方面，当x

]

limx[]=1.x0x

综上我们可得limx[]=1.

x0

注：运用迫敛性定理来解题时,要求我们有一点构造思想,正如本题中1-x

]1这个关系式的构造;然后就是运用相关知识来证明极限的值,再由

迫敛性定理即可求得结果.

2.5依据四则运算法则求极限2

若极限limf(x)与limg(x)都存在,则函数f±g, f•g当x→x0时极限

xx0

也存在,且

⑴lim[f(x)g(x)]=limf(x)±limg(x);

xx0

⑵lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x);

xx0

又若limg(x)≠0,则f／g当x→x0时极限存在,且有

xx0

⑶lim

f(x)g(x)

=limf(x)／limg(x).

xx0

利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发,计算较复杂的函数极限.

例5求lim(xtanx1).



x

解由xtanx= x

sincos

则有，



4

limcosx，

x

limsinxsin

x



4由四则运算法则有，

limsinx

lim(xtanx1)

x



=limx

x



limcosx

x

lim1

x

4



1.

4

注：本题是相对简单的，即直接运用四则运算法则中的减法和除法，把原极限式展开分别求极限即可；其实运用四则运算求解极限时，一般的解题思路就是展开、分别求解极限.

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