11求极限方法小结

求极限方法小结

求极限方法大概归结为：一 利用单调有界数列有极限先证明极限的存在性，再利用题中条件求出极限。二 转化为已知极限。这里通常利用如下手段进行转化。

（一）夹逼定理

（二）初等变形，如分解因式、有理化、换元等。其依据为极限的运算法则（四则运算法则、复合法则、有界乘无穷小、连续函数极限值等于函数值、将求数列极限有的可转化为求函数极限、泰勒公式）

（三）

ana,等价无穷小替换

（四）洛必达法则及中值定理

（五）公式：limn

则limna1a2

ana；a

（六）转化为级数。 三 转化nn

为定积分。另外对分段函数在分段点的极限可能要考察左右极限。记

an0住以下极限是有好处的。limn

nxa

1；n1a

0；

1nsinx011lim11；lim， （型）；（型） 1elim1ex0nxx0nx

一 利用单调有界数列定理求极限

例 1 x1

3，xn1limxn n

练习

1 x1

，xn1limxn n

2x111，xn11xn，求limxn n22

n 例 2 已知0x1，xn1sinxn，求limxn

练习limsinsinsinn n

n例3已知方程xnxn1x1(n2)在0,1内有唯一正根记为xn，证明limxn

存在并求limxn。 n

二 转化为已知极限

（一）夹逼定理

例1 lim

n!， nnn



例

2 limn

111

练习1 lim222 nn1n2nn

：n3

：

nx1lim(12例3 (1)lim(2)xxx0

x

3).

x

（二）初等变形

2n1) 13

例1 （1）lim(333n

nnn

)(1)(1练习1：lim(1

nx33x2

（2）lim x1x44x3

3161112

) 2：lim(12)(12)(12) n23nn(n1)

xx2x3xnn31

lim练习1：lim，2： 3

： 3x1x11xxx11x

（3）lim

x

2x1

x2

2exex2exexln(12x)

练习1：xlim，2：xlim 3:lim ex2exex2exxln(13x)例2

（有理化）n

练习1

：x1

：x0x)tanx 例3 （换元）lim(1

x1



2sinx

例4（有界乘无穷小）lim xx

arctanx lim练习1：lim 2：xx01cosxln(1x)x

sinxx2sin

11 例5（将求数列极限转化为求函数极限）lim

n1nsin

n

ntan

111cos练习1：lim2：limcos nnnnn

n2

n

例6（两个重要极限的应用）

nsin （1）lim

n

xn

练习1：lim

x0

sinxn

sinx

x

m

2：lim

xa

sinxsina

xa

x2

（2）lim xx1

1

练习1：lim12：limcosx x0x

x

kx

ln1x1

cosx

x4

xsinx2(1cosx)sinxtanx

lim练习1：lim2： 43x0x0xx

（三）等价无穷小替换

例7（泰勒公式）lim

x0

e



x22

x0时，sinxx，tanxx，arcsinxx，arctanxx，1cosx

12x 2

ln(1x)x；ex1x；1x1x 例1 lim

x0



tanxsinx

sinx

练习1：lim

x1

1cosx

x1

：

x0

例2 lim

x0

lnxexxx

1x

3x5x1sinxcosxlimlim练习1

： 2： 3: x0x01sinpxcospxx12

esinx1

例3 lim x0arcsinx2

ecosxe

练习limx0tan2x例4

x0ln1xe1

（四）洛必达法则

0xsinxlncosax

lim例1（，型）（1）lim（2） x0x00xxcosxlncosbx

x0

练习1

：2：

x1sinx32

1

练习1：lim

xa

lnx

4：xlim

xn

(1x)eax12sinx

2：lim 3：lim x0xxxacos3xxn

n0 5：xlim

ex

xa

1x

0,n为自然数

例2（型）lim(

11) x0x2xtanx

11111) 2：lim(x) 3：lim(xx2ln(1)) 练习1：lim(

x1lnxx0xxx1e1x

x

xtan 例3（0型）limx2arcsinxcotx 2：limlnxln(x1) 练习1：lim

x0

x1

x （2）lim1x例4（01型）（1）limx



1x

cos

x

x1



x（3）limx1

11x

例5（微分中值定理）（1）lim

x0

tanxtansinxsectanxsecsinx

lim（2） 33x0sin2xsinxcostanxcoinx



ab2lim练习1：lim 2：arctanxa0,b0 x0x2aa

an

a；a

（五）公式：limana,则lim12

nnnn

例

（六）转化为级数

x

1x1x

x

三 转化为定积分

1n例 limnni1

1pnp练习1

：limln 2：lim

nnnp1n

p0

四 考察左右极限

x2esinx 例 lim1x0xx

e1

五 关于含参极限及已知极限确定参数

例1（含参极限）

x2(a1)xa1:limxax3a3

(xa)(x1)(x1)

limlim2xa(xa)(x2axa2)xa(xaxa2)a1

2a03aa0

1

练习limxsin

x0x

2（已知极限确定参数）（1

）x0

求出a,b。

（2

）limx)0求

,

x

并求limxx)（a0)

x

由limx)

0有0lim

x

x

x

x

x

lim)

xx得

lim

)=lim

x

x

求limxx

)

x

limx

x

lim

x

lim

b2

(c)x

x

b2c

2

(x21)2ab(x1)c(x1)2

练习lim0求a,b,c.2x1(x1)

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求极限的方法

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