求数列极限
数学科学学院数学与应用数学
11级电子 张玉龙 陈进进指导教师 鲁大勇
摘 要 数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题， 本文通过归纳和总结， 从不同 的方面罗列了它的几种求法。
关键词 数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量 极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多 样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法 还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代 换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的 四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要 重点注意运用。 泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。 还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了
1.定义法 利用数列极限的定义求出数列的极限.设｛Xn｝是一个数列,a 是实数,如果对 任意给定的 ε 〉0,总存在一个正整数 N，当 n〉N 时,都有 Xn ? a 即可, ε 存在 N=[ 立, 1 ε ],当 n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n
2.利用极限四则运算法则 对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.1+ a + a2 + L+ an 例 2: 求 lim ,其中 a
3.利用夹逼性定理求极限若 存 在 正 整 数 N, 当 n>N 时 , 有 Xn ≤ Yn ≤ Zn, 且 lim Xn = lim Zn = a , 则 有 n →∞ n →∞ lim Yn = a .n →∞ 例 3:求{ 解: 1+ n }的极限.n2 对任意正整数 n,显然有 1 1 + n 2n 2
4．换元法 通过换元将复杂的极限化为简单.an ?1 例 4.求极限lim n ，此时 n →∞ a + 2 有 ，令 解：若 5.单调有界原理
4.例 5.证明数列 证： 令 我们用归纳法证明 若 ≤２ 则 则 有极限，并求其极限。 ，易知｛ ｝递增，且 ≤2.显然 。 。 中两 故由单调有界原理｛ ｝收敛，设 → ，则在 边取极限得 即 解之得 =２ 或 =-１ 明显不合要求，舍去， 从而
5.
6.6.先用数学归纳法,再求极限.1 ? 3 ? 5 ? L ? (2n ? 1) 例 6:求极限 lim n →∞ 2 ? 4 ? 6 ? L ? 2n 1 3 5 2n ? 1 1 解: 0
7.7.利用两个重要极限 lim = 1 , lim (1 + ) x = e .x →0 x → +∞ x x 2 例 7:求 lim (1 + ) x x → +∞ x x x 2 1 解: 原式= lim (1 + ) 2 ? (1 + ) 2 = e ? e = e 2 x → +∞ x x
8.8.利用等价无穷小来求极限 将数列化成自己熟悉的等价无穷小的形式然后求极限., lim 例 8:求 lim x→+ 而0
9.9.用洛必达法则求极限.适用于 和 型 0 ∞ 1 ? cos x 例 9:求 lim x →0 x2 0 解: 是 待定型.0 1 ? cos x sin x 1 = lim lim = 2 x →0 x →0 2 x 2 x
10.10.积分的定义及性质 1p + 2 p + 3 p + L + n p 例 10:求 lim ( p > 0) n → +∞ n p +1 1p + 2 p + 3 p + L +n p 1 n i 解: lim ( p > 0) = lim ∑ ( ) p n → +∞ n → +∞ n n p +1 i =1 n p 设 f ( x ) = x ,则 f (x ) 在[0,1]内连续, 1 i i ?1 i ?x i = , 取 ξ i = ∈ [ , ] n n n n i 所以, f (ξ i ) = ( ) p n 1 1 所以原式= ∫ x p dx = 0 p +1
11.11.级数收敛的必要条件.2 x sin x .2 设 ∑ u n 等于所求极限的表达式 , 再证∑ u n 是收敛的, 据必要条件知所求表达式的 n =1 n =1 ∞ ∞ 极限为 0.例 11:求 lim n → +∞ n! nn ∞ u 1 1 n! =
12.12.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数 的恒等变形。 sin 5 x ? sin 3 x 例 12.求 lim x →0 sin 2 x 解： ? sin 5 x 2 x 5 sin 3 x 2 x 3 ? 5 3 法一：原式= lim ? ? ? ? ? ? = ? =1 x →0 3 x sin 2 x 2 ? 2 2 ? 5 x sin 2 x 2 ? 5 x + 3x 5 x ? 3x 2 cos sin 2 cos 4 x sin x 2 cos 4 x 2 2 法二：原式= lim = lim = lim =1 x →0 x → 0 2sin x cos x x → 0 2 cos x sin 2 x
13.13.奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限。 (?1) x 例 13：求 lim x 的值 x→∞ 2 ?1 解：奇数列为 lim x =0 x→∞ 2 1 偶数列为 lim x =0 x→∞ 2 (?1) x 所以 lim x =0 x→∞ 2
14.14．利于泰勒展开式求极限。 解:设 ∑ u n = 例 14.求 lim(5 x 5 + x 4 ? 5 x 5 ? x 4 ) 1 1 ? 1 1 1 ? 解：原式= lim x ?(1 + ) 5 ? (1 ? ) 5 ? (令 t= ) x → +∞ x x x ? ? 1 ? 1 ? 1 + t + o(t ) ? ?1 ? t + o(t )? 1 1 ? 1? 5 ? 5 ?=2 = lim ?(1 + t ) 5 ? (1 ? t ) 5 ? = t → +0 t t 5 ? ?
15.15.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。 利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量， 无穷小量与无穷大量互为倒数 的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等。 1 例 15：求 lim 2 sin x 的值 x →∞ x 1 是无穷小量，而 lim sin x 是有界变量，所以 x →∞ x 2 x →∞ 1 lim 2 sin x 还是无穷小量，即 x →∞ x 1 lim 2 sin x =0 x →∞ x
16.16.利用数列的几何、算术平均值求极限。 数列{ an }有极限，则它的几何平均值和算术平均值的极限与与原极限相同。 解：因为 lim 例 16：求 lim n an 的值 n →∞ 解： lim n an = lim n n →∞ n →∞ an a a a a a ? 2 ? 1 ? a0 = lim n n ? 2 ? 1 ? lim n a0 n →∞ an ?1 a1 a0 an ?1 a1 a0 n →∞ 设 bn = an ，因为知 lim n an =1 n →∞ an?1 an an ?1 所以，所求原式的极限就等于{ bn }的极限 即原式= lim bn = lim n →∞ n →∞
17.17.绝对值中的极限 若 a n → a (n → ∞) ,则 a n → a (n → ∞) 例 17：求 lim 1 的值 x →∞ x 3 1 1 解： lim 3 = lim 3 =0 x →∞ x x →∞ x
![求数列极限的方法总结[材料]](/templates/pc/static/images/icon_word.2.png){kind=icon}
