经典求极限方法

求极限的各种方法

1．约去零因子求极限

x41例1：求极限lim x1x1

【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。 【解】lim(x1)(x1)(x21)

x1x1limx1(x1)(x21)6=4

2．分子分母同除求极限

例2：求极限limx3x2

x3x31 【说明】

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。x3

【解】limx211

x1

x3x31limx3

x33

【注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方；



axnan10mn

(2) limnn1xa0

xbmm1mn

mxbm1xb0an

bmn

n

3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限xlim(x23x21)

【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】lim(x22(x23x21)(x23x21)

x3x1)xlimx23x21 xlim2x23x210

例4：求极限limtanxsinx

x0x3 【解】limtanxsinxtanxsin

x0x3limxx0x3tanxsinx

lim

x0

tanxsinx1tanxsinx1

lim 33x0x024xxtanxsinx

lim

【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解．．．．．．．．．．．题的关键

4．应用两个重要极限求极限

sinx11

1和lim(1)xlim(1)nlim(1x)xe，第两个重要极限是lim

x0xnx0xxn

一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

x1

例5：求极限lim

xx1

【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑数部分。

x1122122x12【解】limlim1lim1x11e xx1xxx1x1

x

x

x

，最后凑指X

1x2a

例6：(1)lim12；(2)已知lim8，求a。

xx

xxa5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】

(1)常见等价无穷小有：

1x)~e1, 当x0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(12b

x,1ax1~abx； 2

(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．

1cosx~

x

xx

(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 ．．．．．

xln(1x)



x01cosxxln(1x)xx

【解】limlim2.

x01cosxx02

x2

sinxx

例8：求极限lim

x0tan3x

例7：求极限lim

1xsinxxsinxxcosx11limlimlim【解】lim 322x0tan3xx0x0x06x3x3x

6．用罗必塔法则求极限

例9：求极限limlncos2xln(1sin2x)

x0x2

【说明】



或0

0型的极限,可通过罗必塔法则来求。 2sin2x【解】limlncos2xln(1sin2x)sin2x

2x0x2limx02x

lim

sin2xx02x2cos2x1

1sin2x

3 【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解

x

例10：设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限lim

0

(xt)f(t)dt

x0

xx.

f(xt)dt

u【解】 由于



x

x

f(xt)dtx

t

x

f(u)(du)0

f(u)du,于是

x

x

x

lim



(xt)f(t)dt

lim

x0

f(t)dt0

tf(t)dt

x0

xxx

f(xt)dt

x0

x0f(u)du

x

xf(x)xf(x)

=lim

0

f(t)dtx

f(t)dt

x0



x

=lim

)duxf(x)

x0



x

f(u0

f(u)duxf(x)



x

f(t)dt

=lim

f(0)x0

x

=



f(0)f(0)1

.

f(u)du

xf(x)

7．用对数恒等式求limf(x)g(x)极限

2例11：极限limx

x0

[1ln(1x)]

22

x)]

【解】limx

x

ln[1ln(1x)]lim

2ln[1ln(10

x

x0

[1ln(1x)]=limx0

e

=e

xe

xlim

2ln(1x)

0

x

e2.【注】对于1型未定式limf(x)g(x)的极限，也可用公式

limf(x)g(x)(1)=elim(f(x)1)g(x)

因为

limf(x)g(x)elimg(x)ln(f(x))elimg(x)ln(1f(x)1)elim(f(x)1)g(x)

例12：求极限lim1

2cosxxx0x

31.



xln2cosx

2cosx



3

【解1】 原式lim

e

1lnx0

x3

lim3x0x

2 1

limln（2cosx）ln3sinx）

x0x2limx02x112lim

x02cosxsinxx1

6

xlne

2cosx

2cosx

3

【解2】 原式lim

1ln

x0

x3

lim3x0x2

ln（1

cosx1

）

lim

cosx0

x

2limx11x03x26 8．利用Taylor公式求极限

13求极限 limaxax例2

x0x

2,( a0 ).【解】axe

xlna

xlnax212

ln2

a( x2),

a

x

1xlnax2ln2

a( x22

);

axax2x2ln2a( x2).

limaxax2x0x2limx2ln2a( x2)x0x

2ln2

a.例14求极限lim11x0x(x

cotx).

【解】limx0

111sinxxcosx

(cotx)lim x0xxxxsinx

x3x23

x(x)x[1(x2)]lim 3x0x113

)x(x3)

lim3x0x3.

(

9．数列极限转化成函数极限求解

1

例15：极限limnsin

nn

【说明】这是1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。

1

【解】考虑辅助极限limxsin

xx

x2

n2

lime

x

1

x2xsin1

x

lime

y0

11

siny12yy

e



6

1

所以，limnsin

nn

n2

e



6

10．n项和数列极限问题

n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限.

111

例16：极限lim22nn222n2n2n1



 

【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把f(x)看成［0,1］定积分。

11

limfnnn2

fn1n

ff(x)dx 0n

1111

【解】原式＝lim

222nn12n

11

nnn

 



10

121

dxln

2221x



 

111

例17：极限lim2nn22n2nn1

112n

【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成limfffnnnnn

的形式，因而用两边夹法则求解；

(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。

111

【解】lim2nn22n2nn1

因为



 

nnn

n

1n1



1n2nn1

22



1nn



nn1

又lim

n

nn

lim

n

1



＝１ 

所以lim

111

2nn22n2nn1

12．单调有界数列的极限问题

例18：设数列xn满足0x1,xn1sinxn(n1,2,)

（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；

n

xn1xn（Ⅱ）计算lim.n

xn

【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.

【详解】（Ⅰ）因为0x1，则0x2sinx11.可推得 0xn1sinxn1,n1,2,，则数列xn有界.于是

xn1sinxn

sinxx）1，（因当x0时，， 则有xn1xn，可见数列xn单

xnxn

n

调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limxn存在.

imxn0.设limxnl，在xn1s得 lsinl，解得l0，即linxn两边令n，

n

n

x

（Ⅱ） 因 limn1

n

xn

2xn

sinxnxn2



，由（Ⅰ）知该极限为1型， limn

xn

11sinx1xx

sinxx2

1

limsinxx0x

xlime

x0

lime

x0

x

e(使用了罗必塔法则)



6

x

故 limn1

n

xn

xn

1sinxnxnlime6.n

xn

求极限的方法

求极限方法[材料]

求极限的方法

求极限的方法

求极限的常用方法

求极限的方法小结

11求极限方法小结

求极限的一般方法

求函数极限的常用方法

求极限的方法三角函数公式

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