求极限的方法小结 要了解极限首先看看的定义哦 A.某点处的极限与该点处有无定义和连续无关，但在该点周围(数列除外）的必 某点处的极限与该点处有无定义和连续无关， 某点处的极限与该点处有无定义和连续无关 但在该点周围(数列除外） 须连续 B.了解左右极限的定义 了解左右极限的定义 C.极限的四则和乘方运算 D.区别数列极限与函数极限的不同之处 D.区别数列极限与函数极限的不同之处 E.注意自变量在趋近值的微小范围内 注意自变量在趋近值的微小范围内， E.注意自变量在趋近值的微小范围内，可以利用它同 B 一起去绝对值
1、代入法——在极限点处利用函数的连续性求极限 ——在极限点处利用函数的连续性求极限、代入法—— Lim(x+1)=2(x->1) 2.约分法——分解因式 Lim(x2-1)/(x-1)=2(x->1) 约分法—— ——分解因式 这只是最简单的约分法， 同时还有分母， 分子有理化。 通分后在用约分法） （ 这只是最简单的约分法， 同时还有分母， 分子有理化。 通分后在用约分法） 3.利用图象——反比例函数、指数、对数、三角函数。。。。。。 利用图象——反比例函数、指数、对数、三角函数。。。。。。 ——反比例函数 Lim1/x=0(x->∞),limax=0(1-∞)、limarctanx=π/2(x->∞)、4 2 4 3 Lim(4x +x +1)/(x +x +1) =(4+1/x 2 +1/x 4 )/(1+1/x+1/x4)=4(x->∞)
4、比值法、Lima n/n!( n->∞,a>0) 因为（ 因为 （ a n+1 /（ n+1） !） / （ a n/n!） =a/(n+1) ( n->∞,a>0) （ ） ） ） n+1 n 所以 0∞) 求
5、极限与导数 —— 利用导数的定义 Lim(e x -1)/x=（ ex）、（ x=0） =1(x->0) ——利用导数的定义、极限与导数—— （ ） 6.有界函数与无穷小的积仍为无穷小 Limsinx/x=0(x->-∞) 7.利用等价无穷小 X~sinx~tanx~arctanx ~ e x-1~ln(x+1),1-cosx~1/2*x 2 , (1+ax)b -1~abx, a x-1~xlna0> Limtan 2 x/(1-cosx)=2(x->0) （ 在利用无穷小时注意它不是充分必要的即应用无穷小转化后若极限不存 不能得到原极限不存在） 在 ， 不能得到原极限不存在 ） 8.利用重要极限 利用重要极限____lim(1+x)1/x=e(1 ∞) 利用重要极限 Lim(1+sin2x)x2=elim sin2x/x2 (解释 sin2x/x2)=e(中间的配凑略 中间的配凑略) 解释 中间的配凑略 1/f(x) limg(x)/f(x) Lim(1+g(x)) =e (g(x),f(x)都是无穷小 都是无穷小) 都是无穷小 ∞ (1 是很重要的一个极限，它可以用取对数法，还有就是上面的 取对数法是幂指 是很重要的一个极限，它可以用取对数法，还有就是上面的.取对数法是幂指 函数的通法， 时上述方法就显得更简单了恩） 函数的通法，当看见 1∞时上述方法就显得更简单了恩） 9.利用洛比达法则 可转化
为 0/0, ∞/∞型) 利用洛比达法则(可转化为 Lim=x/sinx(x->0) 利用洛比达法则 型 洛比达法则哈只需稍微的转化哈。 （ 对于未定式都可用 洛比达法则哈只需稍微的转化哈。同时它同 7 一样都不是 充要的哦) 充要的哦) 10.利用泰勒公式 利用泰勒公式 Lim(sinx-xcosx)/sinx 3 (x->0)=lim(x-x 3 /3!+o(x 3 )-x+x 2 /2!-0(x 3 ))/x 3 =lim (x 3 /3+o(x 3 ))/ x 3 =1/3 (在极限中很少用 ， 但可以解决一些特殊的高数上有哈 ） 在极限中很少用， 在极限中很少用 但可以解决一些特殊的高数上有哈） 11.极限与积分 ___就是利用积分的定义 极限与积分 就是利用积分的定义 _______ 解: = 12.利用柯西准则来求 ！ 12.利用柯西准则来求！ 利用柯西准则来求 柯西准则： 要使{xn} {xn}有极限的充要条件使任给 ε>0,存在自然数 柯西准则 ： 要使 {xn} 有极限的充要条件使任给 ε>0, 存在自然数 N ， 使 得当 n>N 时 ， 对于 |xn任意的自然数 m 有 |xn1)/(x^1/n - 1) ：＝n/m.可令 x=y^mn 得 ：＝ n/m.14.利用单调有界必有极限来求 14.利用单调有界必有极限来求 证明： x1＝ 。。。。。。）存在极限 存在极限， 证明：数列 x1＝2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5 (n=1,2, 。。。。。。）存在极限， 并求出极限值 x1=√2＜2,设 xn＜2,则 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜ 由归纳法 x1=√2＜2,设 xn＜2,则 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜ .∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞ 2,xn 有 界.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞√xn*√xn=xn,∴xn 有 界,∴xn 有极限 a,在 x(n+1)= (2+xn)^0.5 两边取极限 a,在 :a∧2- 2=0,a=2,(a=得:a∧2-a-2=0,a=2,(a=-1 舍).15.利用夹逼准则求极限 15.利用夹逼准则求极限 16.求数列极限时 可以先算出其极限值， 然后再证明。 求数列极限时， 16.求数列极限时 ， 可以先算出其极限值 ， 然后再证明 。 17.利用级数收敛的必要条件求极限 17.利用级数收敛的必要条件求极限 18.利用幂级数的和函数求极限 18.利用幂级数的和函数求极限
