求极限的方法

发布时间：2020-03-03 22:13:53 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

求数列极限的方法

极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多

样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法

还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代

换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的

四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要

重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。

还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。

1.定义法

利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn﹜是一个数列,a是实数,如果对

任意给定的〉0,总存在一个正整数N，当n〉N时,都有Xna

是数列{Xn}的极限.记为limXna.n

10.nn!

解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n

1令1/n即可, 

1存在N=[],当n>N时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n

立, 1所以lim0.nn!

2.利用极限四则运算法则

对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.1aa2an

例2:求lim,其中a1,b1.n1bb2bn

解:分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限

1an11bn

12n2n1aaa,1bbb, 1a1b

1an11lim1b1a原式=n1a, 11bn11alimn1b1b

3.利用夹逼性定理求极限例1: 按定义证明lim

若存在正整数N,当n>N时,有Xn≤Yn≤Zn,且limXnlimZna,则有nn

limYna.n

1n}的极限.2n

解:对任意正整数n,显然有 11n2n222, nnnn例3:求{

120,0,由夹逼性定理得 nn

1nlim20.nn

4．换元法

通过换元将复杂的极限化为简单.

an1例4.求极限limn，此时 na

2解：若有，令

则而

5.单调有界原理

例5.证明数列

证：令

我们用归纳法证明

若≤２则有极限，并求其极限。，易知｛｝递增，且≤2.显然。。中两故由单调有界原理｛｝收敛，设→ ，则在

边取极限得

即

解之得 =２或 =-１明显不合要求，舍去，

从而

6.先用数学归纳法,再求极限.

135(2n1)例6:求极限lim n2462n

1352n11解:0 2462n2n1

1352n1S= 2462n

242n设S*=则有S

1S2=S*S

110再由夹逼性定理,得而0S,limn2n12n1

135(2n1)lim=0 n2462n

1sinx1,lim(1)xe.7.利用两个重要极限limxx0xx

2例7:求lim(1)x xx

xx2212解: 原式=lim(1)(1)eee2 xxx

8.利用等价无穷小来求极限

将数列化成自己熟悉的等价无穷小的形式然后求极限.

例8:求limxsinx1

2xx21 xsinx.2解:当x0的时候,xsinx0,xsinx1~而此时,ex1~x2,所以

xsinx1原式=limx02x22

09.用洛必达法则求极限.适用于和型 0

1cosx例9:求lim x0x2

0解:是待定型.0

1cosxsinx1limlim =x0x02x2x2

10.积分的定义及性质

1p2p3pnp

(p0)例10:求limnnp1

1p2p3pnp1nip(p0)=lim() 解: limp1nnnni1n

设f(x)xp,则f(x)在[0,1]内连续, 1ii1i,]xi,取i[nnnn

i所以, f(i)()p n

11所以原式=xpdx 0p1

11.级数收敛的必要条件.

设un等于所求极限的表达式,再证un是收敛的,据必要条件知所求表达式的

n1n1

极限为0.

例11:求limn! nnn

un111n!limlim1 ,则nnn1uenn1n(1)n

n!所以该级数收敛,所以limn=0 nn

12.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数

的恒等变形。解:设un

例12.求lim

解： sin5xsin3x x0sin2x

sin5x2x5sin3x2x353法一：原式=lim1 x03xsin2x2225xsin2x

25x3x5x3x2coin2cos4xsinx2cos4x法二：原式=limlimlim1 x0x0x0sin2x2sinxcosx2cosx

13.奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限。

(1)x

例13：求limx的值 x2

1解：奇数列为limx=0 x2

1偶数列为limx=0 x2

(1)x

所以limx=0 x2

14．利于泰勒展开式求极限。

例14.求x5x4x5x4)

1111515解：原式=limx(1)(1)(令t=) xxxx

111to(t)1to(t)115215= 55=lim(1t)(1t)=t0t5t

15.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。

利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数

的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等。

1例15：求lim2sinx的值 xx

1解：因为lim2是无穷小量，而limsinx是有界变量，所以 xxx

1lim2sinx还是无穷小量，即 xx

1lim2sinx=0 xx

16.利用数列的几何、算术平均值求极限。

数列{an}有极限，则它的几何平均值和算术平均值的极限与与原极限相同。

例16

：求 n

解：n

= nn

设bn=an，因为知nan

所以，所求原式的极限就等于{bn}的极限

即原式=limbn=liman nnan

117.绝对值中的极限若ana(n),则ana(n)

1的值 xx

311解：lim3=lim3=0 xxxx

18.利用黎曼引理

2acospx（a>0）例18：求limp01x

a1cos2pxa111acos2px1limlimdxln(1a)解：原式=limp0p202(1x)2p01x1x

2数列极限的方法还有很多，以上给与大致列举。本文在写作过程中得到了****

老师多次精心指导，在此表示感谢。例17：求lim

参考文献

1.欧阳光中、朱学炎、金福临等，数学分析第三版上册，高等教育出版社，1978年

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