函数极限习题

习题1—2

1．确定下列函数的定义域：

（1）y；

2

x9（4）y2．求函数

1sinyx0

(x0)(x0)

（2）ylogaarcsinx；

（3）y

2

； sinx

1x1

（5）yarccosloga(2x3)；loga(4x2)

x22

的定义域和值域。

3．下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？

（1）f(x)x,g(x)x2；

（2）f(x)cosx,g(x)12sin2（4）f(x)

x

,g(x)x0。 x



2

；

x21

（3）f(x),g(x)x1；

x1

4．设f(x)sinx证明：

f(xx)f(x)2sin

x

x

cosx 22

5．设f(x)ax2bx5且f(x1)f(x)8x3，试确定a,b的值。

6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？

1x22223

（1）yx(1x)（2）y3xx；（3）y；

1xaxax

（4）yx(x1)(x1)； （5）ysinxcosx1 （6）y。

2

7．设f(x)为定义在(,)上的任意函数，证明：

（1）F1(x)f(x)f(x) 偶函数；（2）F2(x)f(x)f(x)为奇函数。

8．证明：定义在(,)上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设f(x) 定义在(L,L)上的奇函数，若f(x)在(0,L)上单增，证明：f(x)在(L,0)上也单增。

10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）ycos(x2)（2）ycos4x； （3）y1sinx； （4）yxcosx；（5）ysin2x（6）ysin3xtanx。 11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。

（1）yx3,xsint

（2）yau,ux2； （3）ylogau,u3x22；

（6）ylogau,ux22。

（4）y,usinx2 （5）y,ux3 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1）y(1x)21（3）ysin2(3x1)

2

（2）y3(x1)； （4）ylogacos2x。

2x

（3）yx。

21

13．求下列函数的反函数： （1）y2sinx；

（2）y1loga(x2)；

14．已知函数f(x,y)x2y2xytan

x

，试求f(tx,ty)。 y

15．已知函数f(u,v,w)uwwuv。试求f(xy,xy,xy)。 16．求下列各函数的定义域：

111（1）u； xyz（2）uR2x2y2z2

xyzr

(Rr0)。

习题1—3

1．利用数列极限定义证明：如果limunA，则lim|un||A|，并举例说明反之不然。

n

n

习题1—4

x2(x1)1．设f(x)

x1(x1)

（1）作函数yf(x)的图形； （2）根据图形求极限limf(x)与limf(x)；

x1

x1

（3）当x1时，f(x)有极限吗？ 2．求下列函数极限：

xx

（1）lim；（2）lim2；

x0|x|x0x|x|3．下列极限是否存在？为什么？ （1）limsinx；

x

（3）lim

x0

x

。

x2|x|

（2）limarctanx；

x

（3）limcos；

x0x

（4）lim(1ex)；

x

（5）lim

|x1|

；

x1x1

（6）limex。

x

习题1—5

求下列极限

1112n1

1．lim； 2.； lim22x12xn223n(n1)nnx22x1

4．lim；

x1x21

x25

3.lim； x2x3

(xh)2x2

5.lim；h0h

6.lim

x1x1

x1

。

习题1—6

1．求下列极限：

sinax

（1）lim(b0)；

x0sinbx2xtanx

（4）lim；

x0sinx

（2）lim

tanxsinx

；

x0x3

（3）lim

1cosx

；

x0xsinx

2； x

x

arcsinx

（5）lim；

x0x



（6）lim1

x

1

（7）lim1；

tt

x

t

1

（8）lim1

xx

x3

；

x21

（9）lim(1tanx)cotx；

x0

xa

（10）lim；

xxa

x22

（11）lim

xx21

1

； （12）lim1。

xn

n

2．利用极限存在准则证明：

111

（1）limn2221；

xnn2nn（2）数列,22,222，„的极限存在； （3）lim

x21

1。 x1

x

习题1—7

1．当n无限增加时，下列整标函数哪些是无穷小？

(1)n12n11cosn

（1）2； （2）； （3）； （4）。

n1nnn

2．已知函数

11

xsinx,2,,ln(1x),ex,ex

xx

（1）当x0时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？ （2）当x时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？

（3）“是无穷小”，这种说法确切吗？

x

3．函数yxcosx在(,)是是否有界？又当x地，这个函数是否为无穷大？为什么？

4．求下列极限

n2n1aa2an!000n

（1）lim2； （2）lim； （3）lim ；(|a|1,|b|1)

xn2x1bb2bnxn1

4x21(2)n2nx3

（4）lim； （5）lim； （6）lim2；

16x5x1x(2)3x1x1x

5．求下列极限：

sinx

（1）limex；

xx

（2）limxcos；

x0x

（3）lim



n

n

sinn；

exarctanx

（4）lim；（5）lim； （6）limexarctanx。

xxarctanxxx

6．下列各题的做法是否正确？为什么？

（1）lim

x9x9



x9x9lim(x9)

x9

lim(x29)

1111

2)limlim20

x1x1x1x1x1x1x1

cosx1

（3）limlimcosxlim0。

xxxxx

7．证明：当x0时，arcsinx~x，arctanx~x。 8．利用等价无穷小的性质，求下极限：

（2）lim(

sin2xsin2x

；（2）lim；

x0sin3xx0arctanx

sinxnx

（3）lim（为正整数）；（4）。 limm,n

x0(sinx)mx0cosx

（1）lim

9．当x1时，x33x2是x1是多少阶无穷小？

x11

10．当x时，4是是多少阶无穷小？

x1x111

11．当x时，sin是是多少阶无穷小？

xxx

习题1—8

1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： x

（1）f(x)；

x

x2(0x1)

（2）f(x)；

2x(1x2)

x2(|x|1)|x|(x0)

（3）f(x)； （4）(x)。

1(x0)x(|x|1)

2．指出下列函数的间断点，说明这些间断点属于哪一类？如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。

x21n21（1）y2； （2）y； （3）ycos。

tanxxx3x2

ex(0x1)

3．a为何值时函数f(x)在[0，2]上连续？

ax(1x2)1x2n

x的连续性，若有间断点，判断共类型。 4．讨论函数f(x)lim

n1x2n

5．函数z

y22xy22x

在何上是间断的？

习题1—9

1．设f(x)连续，证明|f(x)|也是连续的。

2．若f(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]上f(x)恒为正，证明：续。

3．求下列极限：

（1）lim

x0

在[a,b]上迹连f(x)

(sin2x)3； （3）limx22x5； （2）lim

x

sin5xsin3x

；

x0sinx

（6）lim

axabsinxsina

(a0)； （4）lim； （5）lim

xbxaxbxa

sinx

（7）lim2；（8）limthx；

xx0xx

ln(13x)

；

x0x

（9）lim(x2x1)；

x

（10）lim

x2

x2x2

；

x4

ln(ax)lna

（12）lim。

x0x

（11）lim

xxx

x1

x

习题1—10

1．证明：方程x3x1在区间（1，2）上至少有一个根。

x1,x2,,xn是[a，2．设f(x)在闭区间[a，b]上连续，b]内的n个点，证明：[a,b]，使得

f()

f(x1)f(x2)f(xn)

n

附件习题

1．用数列极限的定义证明：

(1)n11

（1）lim（2）lim(1n)1； 0；

nnn10（4）lim

n2

n

（3）lim

3n2n24

n

3；

n9n73

2．用数列极限的定义证明数列{(1)n}发散。

n

n

0；（5）lim

2n1

0；

（6）limqn0(|q|1)。

n

3．设a0，用数列极限的定义证明极限lima1。

4．用数列极限的定义证明数列极限的夹逼准则。

5．下述几种说法与数列{un}极限是A的定义是否等价，并说明理由。

（1）对于任意给定的0，存在正整数N，使得当nN时，有|unA|； （2）存在正整数N，对任意给定的0，使得当nN时，有|unA|； （3）对于任意给定0，存在实数M，使得当nM时，有|unA|； （4）对于01，存在正整数N，使得当nN时，有|unA|；

（5）对于任意给定的0，有正整数N使得当nN时，有|unA|K，其中K是与无关的常数；

（6）对于任意给定的正整数m，都有正整数N，使得当nN时，有|unA|。

m

习题18—2

2x12

（1）lim；

x3x13

x21x1

（2）lim

x

1； （3）limxa(a0)；

xa

x41

（4）limcosxcos； （5）lim（6）limex0。 4；

xxx1x1

3．用函数极限的定义证明下列命题：

（1）如果limf(x)A,limg(x)B，则lim[f(x)g(x)]AB；

xx0

xx0

xx0

（2）如果limf(x)A,limg(x)B,(B0)，则

x

x

x

lim

f(x)A

。 g(x)B

4．用Hine定理证明函数极限的四则运算法则。 5．证明极限limxsinx不存在。

x

6．若f(x)在[a,)上连续，且limf(x)存在，证明：f(x)在[a,)上有界。

x

7．设f(x)在(a,b)上连续，又limf(x)A,limf(x)B，且AB，则(A,B)，

xa

xb

x0(a,b)，使得f(x0)。

8．设f(x)在[a,b]上连续，如果xn[a,b]，数列{xn}收敛，且limf(xn)，证明：

x

x0(a,b)，使得f(x0)。

函数极限习题与解析

函数极限

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